L’équation
rf.arcsifi.ar = =dxi IH — x-\ xrA xa -j-'j-ptc l
l/ÎHÏ* \ 2 2.* ^2 4.6 ^2.4.6.8 ^ 7
donne de la même manière, en observant que la valeur de la constante est zéro
arcsin.x=xH + — - — h—; H U etc. :
et en faisant x = 1 on trouve cette expression du ]uombre V,
302. ' On peut d ailleurs obtenir le développement en série d’une intégrale demandée Jdx.fx, non-seulement en développant la fonction fx suivant les puissances de X , ce qui ne donne à intégrer que des termes de la forme aX"dx, mais en décomposant la fonction fx en deux facteurs, ou la mettant sous la forme <fx.-^x , puis déve-^ loppant un seul de ces facteurs , par exemple ^;,x. Le»
termes du développement qui doivent être iuté^és sont alors de la forme axf^.<^x.dx , et il est nécessaire que l'intégration puisse en être effectuée par les méthodes connues.
Soit par exemple la différentielle
djr=
dx
l^'(ax — x‘){l — bx)
En développant le facteur (1 — bx) > il viendra
f (i+Ux + l^ &3a:»+etc.\
Chaque terme de la série donne à intégrer une différen-
tielle delà forme — ■ ■ ce qu'on peut faire d’après
J/ ax — x'
ce qui a été dit dans le n° 287.
XXYIII. INTÉGRALES DÉFINIES.
303. Revenons aux notions présentées dans les numéros 255 et suivants. Soit en général
f{x).dx
une fonction différentielle quelconque de la variable x, et désignons par
l'intégrale de cette fonction différentielle, ou la fonction qui étant différentiée, auray(x).</x pour différentielle. Cela revient à poser
d.Y{jx)x=f(^x).dx, ou plus généralement
— 3ig —
rf[C+F(j:)] =/(x).dx,
C désignant une quantité constante entièrement arbitraire. Etla fonction F(x) pourra être déduite de la fonction différentielle quand celle-ci sera donnée , au moyen des méthodes qui ont été exposées dans les articles précédents. Cela posé, d’après ce qu’on a vu dans les numéros 255 et suivants j- une fonction quelconque peut toujours être regardée comme étant la somme d’un nombre infini de valeurs de sa diflérentielle. Ainsi, l’expression
représente en général la somme d’un nombre infini de valeurs de la diflérentielle J'{x).dx. Tant que la constante C demeure indéterminée la valeur de a; à partir de laquelle on a commencé à sommer les différentielles est également indéterminée; et quant à la valeur de ar à laquelle la somme se termine , c’est la valeur même de cette variaMe qui se trouve sous le signe de la fonction F. ,
Remarquons maintenant qu’un grand nombre de ques' lions importantes exige la recherche de la somme d’un nombre infini de valeurs d’une différentielle proposée , cette somme étant prise depuis une certaine valeur x« de X, à partir de laquelle les différentielles successives sont supposées s’ajouter les unes aux autres, jusqu’à une autre valeur x^ de cette m^e variable , au delà de laquelle on cesse d’ajouter les différentielles. Cette somme s’exprime analytiquement d’une manière générale comme il suit ,
rxa,
I dx./{x) ;
en plaçant au-dessous du signe f la valeur delà variable à partir de laquelle les dillérentielles commencent à être ajoutées , et au-dessus de ce signe la valeur delà variable à laquelle cesse cette additiop. L’expression dontils’agit est ce qu’on nomme une intégrale définie , en entendant par-là que l’intégrale, ou la somme des dillérentielles, est prisq entre des limites déterminées; Xo est la limite inférieure , et la limite supérieure de l’intégrale. Les intégrales définies constituent d’ailleurs , comme on le verra dans la suite , un nouveau genre de fonctions dont l’usage est fort étendu dans l’analyse.
Par opposition aux intégrales définies , les géomètres donnent souvent le nom ^intégrale indéfinie à l’expression
dont la recherche a été l’objet des articles précédents , qui satisfait simplement de la manière la plus générale à la condition d’avoir fx).dx pour dillércnlielle , et qui représente la somme des valeurs de cette différentielle prise depuis une /valeur indéterminée de x jusqu’à la valeuV quelconque que l’on voudra attribuer à cette variable dans le terme F(x). Or, la connaissance de l’intégr.ale indéfinie d’uiie différentielle proposée donne en général immédiatement celle d’une intégrale définie relative à cette même différentfelle prise entre des limites •quelconques. En effet si l’on fait x=Xo dans l’expression C-I-F(x), on aura
