C-fF(xo

pour exprimer la somme des valeurs de la différentielle J{x),dx prises depuis une certaine valeur indéterminée •dex jusqu’à la valeur x„; et si l’on fait x = x„ dans la

^ 3ai —

même, expression, sans- changer la constante C , on aura

C+F(jr« )

pour exprimer la somme des valeurs de cette diiiérentielle prise depuisla même valeur indéterminée de x jusqu’à la valeur . Donc, la différence de ces deux e:^pres-

sions, c’est-à-dire ' •

représente la somme des valeurs de la différentielle dont il s’agit , prise depuis la valeur x^ de x jusqu’à la valeur x^.

On voit par ce qui précède que l’équation , , d.¥{x)=f{x).dx •

entraîne généralement la suivante rxm

c’est-à-dire que l’on a la valeur d’une intégrale déCnie en retranchant l’uné de l’autre les deux valeurs que prend l'intégrale indéfinie lorsqu’on y donne à la variaBle les valeurs correspondantes aux limites inférieure et supérieure entre lesquelles l’intégrale définie' doit être prise.

30ii. Il résulte de ce qui précède ^que l’on obtient toujours facilement la valeur numérique d’une intégrale

définie I dx.J\x), lorsqu’on peut obtenir sous forme ' " x^ . . ^ .

finie, ou en série convergente, la fonction F(x), d(>ntl#

différentielle est dx.f{x). Cela n’est pas toujours pOssi'^ ble, et quand on ne peut y parvenir, on est obligé de calculer la valeur numérique dont il s’agit pat des méthodes d’approximation qui seront exposées dans la suite. Dans les cas même où la fonction F(x) peut être obtenue sous forme finie, l’usage des méthodes d’approximrution est souvent préférable à la recherche directe de cette fonction.

305. Les notions précédentes deviendront très-sensibles si l’on considère . comme on l’a déjà fait dans le n“ 256, la variable x comme l’abscisse , et la fonction F(x), ou plus généralement C+F(x), comme l’ordonnée d’une courbe. Une différentielle quelconque

d[C+F(x)]=^x) .«tr

de cette fonction représente l’accroissement infiniment petit de l’ordonnée lorsqu’on passe de l’abscisse x à l’.ibscisse x-4^x. La somme de ces accroissements de l’or- . donnée qui ont lieu depuis une certaine valeur x„ de x jusqu’à une autre valeur x«, est évidemment égale à l’excès de l’ordonnée répondant à la dernière limite sur l’ordonnée répondant à la première limite , c’est-àdire à y a — y O ou F(Xu) — F(xJ.