Remarquons, d’ailleurs, que l’équation précédente

I rfxyîx)=F(x«)— F(x.) ,

J Vo

dans laquelle F(x) est telle que l’on a </.F(x)=<fx.y(x), ne s’applique pas aux cas où les fonctionsy^x) ou F(x)

^deviendraient mfinies pour une valeur de x comprime entre les limites jC» et de l’intégrale déGnie. En eflêt lorsqu’on a evposé dans le n*> 255 des considérations d’où il résultait qu’unè intégrale quelconque représente toujours la somme d’un nombre inGni de valeurs de la dÜTérentielle , on a dû exclure les cas où les fonctions dont il s’agit prendraient des valeurs in- Gnies.

Lorsqu’on demande la valeur d’une intégrale déGnie

dx.f{x'), et qu’il arrive que la fonction f[x) devient

inGnie pour une certaine valeur a de x comprise entre les limites x^ et x^ de l’intégrale , on ne peut ei| général obtenir la valeur cherchée qu’en partageant l’intégrale en deux parties, dont la première Gnit et don,t la seconde comiÿence à la valeur x=a , c’est-àdire en considérant séparément les deux intégrales dé- Gnies i

[a ÇXe,

I dx.f{x) et I dx-Ax ) ,

dont la somme donnera la valeur demandée. Cette sommé aura une valeur inGnie si les deux parties ont ellesinéines des valeurs inGnies et de même signe, ou si l’une seulement des deux parties est inGnie. Elle aura une valeur indéterminée si les deux parties ont des valeurs inGnies de signes contraires. EnGn elle aurait une valeuf Gnie déterminée si les deux parties avaient des valeurs Gnies.

De même , s’il se trouvait entre les limites x„ et x^, deux valeurs a et a„ pour lesquelles y(x) devînt inGnie

on devrait partager de cette manière l’intégrale définie proposée , - , .

j* dx.J{x)+[ ' dx.J\x)+\ dx.f[x),

et déterminer à part la valeur de chaque terme. Et ainsi de suite si le nombre des valeurs intermédiaires qui rendent /"(x) infinie était plus considérable.

SOT. Il résulte de ce qui précède qu'il revient au même de changer le signe dont une intégrale définie ' est afiectée , ou de renverser l’ordre des limites. Ainsi

^Xu nx„

I dx.J\x)=~-\ dxj\x).

J X, J Xa

’ On peut d’ailleurs changer la variable x qui est sous le signe d’intégration définie , pourvu que l’on change en même temps les limites de manière à leur conserver les mêmes valeurs absolues. Si , par exemple , dans l’ex- " pression précé^e^te , on veut remplacer x par une nouvelle variable t, eu établissant entre ces deux quantités la relation quelconque jc=cy(t) on devra remplacer dx pair et x^, x^ par les valeurs de f qui seraient

déduites respectivement des équations x:o=qi(.r],

308. Nous remarquons enfin que la considération des intégrales définies peut servir à trouver le d^eloppement connu sous le nom de théorème de Tayfoi^ et conduit à une expression remarquable de la partie que l’on néglige en s’arrêtant à un nombre déterminé de termes. D’après ce qui a été dit dans le‘n° 303 <» aura ,

quelle que soit la fonction f, pourvu que cette fonction soit continue entre les valeurs a; et j: 4- A de la variable , ^ ■ ,

V ' . rx+h ■ ^ .

ytx+A)— /tx)=J dx.f{x), '

f{x) désignant le coefficient différentiel ou la (onction dérivée du premier ordre de la fonctionyi[a;). Or, oa peut remplacer dans l’intégrale définie du second membre x par x-\-h — t, en désignant par t une nouvelle* variable , ce qui changera cette intégrale , en ayant égard à ce qui a été dit dans le numéro précédent, en, ,

en sorte qu’on peut écrire

dt.f lx+h—t) ;

rh •

/[x+h)—f[x)—\ dtf[,xJrh—t ).

Gela posé, considérons l’intégrale indéfinie» >

,, , fdt.f{x+h—t)>. . - . . . ...

en lui appliquant le procédé de l’intégration parparties, on trouvera successivement .

J'dx. f (x+A— 0= t../' [x-\rh—t)+fdt. t .f'(x+h—t),

f •/" + J' di. ./"'(x+A—t) ,

j'dt.—f"{x-\^ — 0= ^ ■/"’{x+h—i)+J'dl.— .y'!’(x+A — t),.

etc.

et par çonséq.uent - , ' . .

fdtf{x+h^t)=t.f(^x+h—t)+^ /"(Jr+A— Ô+ ^/!"(jr+A— /)+

Donc, en prenant l’intégrale entre.les limites zéro et h, *•

^ et en substituant cette valeur dans l’équation précédente^

il viendra

/Ix+A)=ytx)+Ar (x)+ 1 f'{x)+^f"{x)+ ^^f^{x)+

A'^* fA

Si r on fait dans cette équation a;=0, puis que l’on écrive x à la place de fi, elle prendra la forme

^x)=yi0)+x/'(0H.Çy”(0)+^/'"(0)+^/''’(0)+,

n est aisé de reconnaître d’ailleurs que. cette nouvelle expression du terme complémentaire de la série de Taylor comprend celle qui a été présentée dans les numéros 85 et 86. Mais tandis que celle-ci est indéterminée, et fait seulement connaître les limites entre lesquelles la valeur du terme dont il s’agit est comprise, l’expression

— Zn'j —

sous forme d’intégrale définie détermine complètement cette valeur.