TION DES LONGUEURS DES COURUES , DES AIRES ET DES VOLUMES

, 1° Aires des courbes pisnes.

309. Considérons une courbe quelconque i^pportée à deux axes rectangulaires. Proposons-nous de trouver l’aire de cette courbe , c’est-à-dire la valeur numérique de la surface comprise entre l’axe, la courbe et deux ordonnées quelconques. Désignons par

l’équation de la courbe , et parx„, or. les adiscisses qui répondent aux ordonnées par lesquelles l’aire qu’il s’agit d’évaluer est limitée^ On a trouvé dans le n* 156 qu’en désignant par u la fonction de x qui représentait la valeur de l’aire comptée d’une origine quelconque jusqu’à l’ordonnée correspondante à l’abscisse x, la différentielle de cette fonction était exprimée par

du=jrdx.

Or l’aire qu’il s’agit d’évaluer est évidemment la somme des valeurs en nombre infini que prend la différeotielle du lorsqu’on donné à x dans cette difierentielle toutes ses valeurs comprises entre x„ et Xu . Donc , conformément à ce qu’(m a vu dans l’article précédent cette aire est exprimée par l’intégrale définie

11 est entendu que dans cette expression les limites et sont deux nombres donnés correspondants aux positions des ordonnées qui terminent l’aire. Le résultat de l’opération indiquée par l’expression analytique dont il s’agit est également un^ nombre déterminé, représentant la valeur de cette aire.

Mais on peut aussi imaginer' que la première limite X.. est seule donnée et fixe , et que la secmide limite est indéterminée et arbitraire. Alors on représentera Simplement cette seconde limite par x. 'Le résultat de l’intégration définie sera alors une fonction dé x représentant l’aire qui- comme&ce à l’ordonnée correspondante à l’abscjÿsê X,, et qui se termine à une autre ordonnée quelconque correspondante à l’abscisse x. En désignant cette aire par «, nous écrirons donc ‘ - ' '

310. Si' la courbe proposéé est^ rapportée à des coordonnées polaires , son éqbation sera donnée sous la forme ,

w désignant l’angle compris entre le rjyon vecteur dont la longueur est /• et une ligne fixé. L’airë u est ici l’espace triangulaire compris entre la courbe et deux rayons vecteurs formant avec' l’axe fixe, l’un l’angle «o, l’autre l’angle quelconque <>>. Comme l’on a trouvé dans le n« 199 ' ' ,

du — 4 r'du ,

on aura donc i«i

«='l rfw.r’.

311. Soit, “par exemple, l’ellipse rapportée À ses diamètres rectangulaires , dont l’équation est

a et 6 désignant les demi->diamètres OÂ et OB (6g. 43). L’aire OBmp sera exprimée d’aj»^ le n' 309 par

X désignant l’abscisse Op. Pouf obtenir la valeur de cette intégrale déOnie. il faut considérer l’intégrale indé6nie / </x|/ a* — x*. On pourrait la rendre rationnelle en employant la transformation indiqu,ée n“ 276. Il serait plus simple Je là mettte sous la forme

/ dx . et de considérer à ©art ks deux par-'

r a'dx /* x'dx , , '

ties / . — / . dont la première s in-

tègre immédiatement d’après le n” 281 , < et dont la seconde s’intégrerait en la considérant comme une di6érentielk binôme, et opérant d’ime manière semblable à ce qu’on a faitn* 287. Mais Usera plus simple encore de poser >■'.'■ •

Ko’-^X’=<X, d’où x’= — ^

t désignant une nouvelle variable ; ce qui-donne

1 \ r i a' r dt

J dx Va'-x'=S^^dx = - rx’- - j *.x'= g “ 2 J TÏÏ? ’

par conséquent

J dx ka*— x’=C+ î ta?— ^ arc tang. t ,

ou .

j' dx ka’— x’=C+ ^ X l/a— J:’— " «’ arc tang

puis en prenant l’intégrale depuis x=0 jusqu à x=x,

/•x A ^ 1 /n ka’ — x’\

J^rfxk^W=-xka’-^+2a*(^2“^''® x /

Œ -xka’ — x’H — arc tang. — ■

= -x|/a’-^x’+-o’-arcsû»-—

L’expression de l’aire demandée est donc

« = — ka*— x*+ — arc sm^ -

1 arc sin. — .

Ck)mme — est l’aire du triangle Omp, bn voit que laire

a,b . ardu secteur OBm est — arcsin. — . En taisant x=a, on 2 a

aura - — pour l’aire.OBA, et par conséquent nai pour l’aire entière de l’ellipse.*

312. Soit Fhyperbole rapportée à ses axes dont l’équation est

En désignant par U l’aire h.pm {fig. 46), Op représentant l’abscisse x , on aura

Pour obtenir l’intégrale indébnie x’—a‘ , on fera

comme ci-de!l6us.

— «*= tx , d’où ~ ,

et ■

f dxl^x'—a^=/t.xdx=^tx ' — ^ f dt.x'ss- tjif——

Mais •

a:W=C-»- Wx’+£/LJ,

r dxy:^'=c+ 1 X .

et en prenant l’intégrale depuis a; = a jusqu’à x = x, il vient

Digilized bÿ Coogle

L'expression de Taire hmp dont il s’agit est donc

: ab x —a

u= — yx—a —.1

xy ab

OCY

Gonune — représente Taire .du triangle Omj» , on

voit que Taire du secteur 0mA est représentée par Q,b / X y\

— •/( — ^ ^ aire devient infinie lors^e Èe point

m s’éloignant à l’infini le rayon Om se confond avec Tasymptote.

313. L’équation de l’hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes étant

xy^- ou y=-.

Taire représentée par u , cotnprise entre les ordonnées correspondantes aux abscisses x^, x, est exprimée par

dx a X

— ■ ou u= — . l — .

X 2 Xo'

Si Ton pose a=l, on a simplement

It= l — :

ainsi les logarithmes népériens des nombres donnent immédiatement les aires de l’hyperbole équilatère. C’est par cette raisqp que ces logarithmes ont été nommés logarithmes hyperboliques. . ‘ ‘

3H. L’équation de la Jmrabole, en comptant les ordonnées du sommet , est

ou y=i )/'îpx.

L’aire dmp (fig. h■^) est” donc représentée par

qui revient à

u=-y2px’, ou u=z-xy.

L’aire Qmp est donc les - du rectangle orrnp ; et l’aire

omr en est le - .

3l5. Si l’on considère la courbe dont l’ordonnée est

a désignant une constante positive , et plus grande que l’unité , l’expression de l’aire (6g. 48) représentée

par U, et terminée aux abscisses Op etOq, représentées par x^ et x , sera * -

u= I dx.a^ ,

J Xo

et comme l’on a l’intégrale indéBnie Jdx a* = il

viendra

L’aire comptée à partir de OB du côté des x positives

sera donc — ^ — ; et l’aire comptée à partir de OB du

• côté des X négatives sera — — . Cette dernière expression donne , en supposant j ^ pour l’aire comprise entre l’axe et la courbe prolongée à l’infini.

316. Dans la cycloïde (fig. 49 ), les ooordonnées op, mp d’un point quelconque de La courbe étant représentées par x,y , on a , comme on l’a vu n” 178 ,

jc=R(u — sin.»), j''=R(l — cos.u),

R désignant le rayon Gr du cercle générateur, et a l’angle mCr. L’aire omp sera exprimée par

ydx ou

• ru

( = R* I <fw(l — cos.w)’.

Mais on a

— cos.*i)’=/rf«(l — 2cos.6»+cos.***)= — 2cos.»4-^cos.2m^

*!- »— 2sin.6i-t- - sin.2u.

Doiic

it = R’^^ U — 2sin.u-(- î «n. 2u^.

Cette formule donnera la totabté de l’aire omna , comprise entre la première partie de la cycloïde et l’axe 0<i, en y faisant m=2jc. La valeur de cette aire est donc 3 jtR’ , c'est-4-dire le triple de l’aire du cercle générateur.

On peut remarquer d’ailleurs que l’aire

Oqtm-=fiqtp — 0mp=2Rj:— « •

= — (ta — sin.ùcos.M) :

donc i’espace Oqtm est égal à la partie rms du cercle générateur, et par conséquent' l’espai^ Qqtnm est égal à la moitié du cercle générateur.

317. On pourra toujours, au moyen de l’opération qui vientd’étre expliquée, év,aluer imeaire quelconque comprise dans un contour tracé sur un plan. Car soit {fig. 50) le contour dont il s’agit , rapporté à des coordonnées rectangulaires. Désignons par x^, les abscisses extrêmes OP, OQ ; par X une abscisse quelconque Op,' et par y, et y, les ordonnées m,p et mp correspondantes à cette abscisse , et appartenant respectivement aux deux courbes M/»,N.et Mm,N qui fonnent le contour. Ces ordonnées doivent être données en fonctions de x, et il est visible d’après ce qui précède que l’aire Mto.Nto, est exprimée par l’intégrale définie

f “dx{y^—y,).

J Xo

Si le contour Mm,Nm, est discontinu , et composé de parties distinctes , dont les ordonnées ne soient pas exprimées par une même fonction de l’abscisse x, on pourra partager l’aire proposée , et l’intégrale définie qui en exprime la valeur, en plusieurs parties correspondantes respectivement aux portions du contour dont les ordonnées ont une expression commune. La valeur de chacune de ces parties se calculera séparément. Dans les, cas mêmes où les ordonnées du contour ne sont pas données par une ou plusieurs expressions analytiques formées de l’abscisse X , mais où l’on connaît seulement les valeurs numériques des ordonnées de certains points de ce contour, il existe, comme on le verra dans la suite , des

méthodes au moyen desquelles on peut évaluer approximativement l’inté^ale définie par laquelle l’aire est représentée.

318. Pour présenter une application de la formule.du n° 310, nous considérerons la spirale logarithmique, dont l’équation donnée n* 204. est

L’aire triangulaire comprise entre la courbe et les deux rayons vecteurs r et r« qui forment entre eux l’angle w— w, sera donc

c’est-à-dire

Dans les cas particuliers où la^i , et r±=e“ , l’aire dont il ' s’agit est donc le ^ de la diflérence des carrés construits sur les deux rayons vecteurs.

1° Ix)Dgaeurg des courbes planes.

319. En appliquant ici les considérations qui ont été présentées dans le n* 309, et se rappelant que l’on a trouvé dans le n' 157 que la différentielle de l’arc d’une courbe rapportée aux coordonnées rectangulaires x, y,

«t représentée par l’équation

«tait exprimée par

Digilized by Coogle

on aura évidemment l’intégrale définie

pour l’expression générale de la longueur de l’arc de la courbe compris entre les points correspondants aux abscisses Xa et X.

320. De même, si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires , et représentée par l’équation

comme on a trouvé dans le n° 200,

pour l’expression de la difl'érentielle de l’arc , on aura

pour l’expression générale de la longueur de l’arc de la courbe compris entre les points correspondants aux valeurs w, et U de l’angle qui détermine la direction du rayon vecteur.

321. Si l’on considère, par exemple , comme dans le n" 312, l’ellipse rapportée à ses diamètres rectangulaires, do^t l’équation

^+■^ = 1 donne r= - V' a’ — x'. ^ = — a- b* a dx

il viendra

Jo V a a— 3 ? J O a[a—x)

pour l’expression de l’arc compté du sommet dé la courbe jusqu’au point dont l’absdsse est x. Ein introduisant l’excentricité désignée par e dans le n’ 197, ou faisant a’ — b'=ae, cette expression s’écrfra

On ne peut pas l’obtenir sous forme finie, mais on peut la développer en série convergente de diverses manières.

Remarquant, par exemple, que— est toujours une fraction, on peut poser x=a cos. f, d'où dx= — et

i = — af df — e’cos.’ip ;

ou en développant (1 — e*cos.’iy)î’ ,

A \ Cf /«* . 1 l-3e‘ , 1.3.5e* . \

j + aj cos. f+2-cos. gCOS. p+__cos. ç4^tc.j.

Or, on a , par la seconde des formules écrites n” 29Ü» ,

<io.cos.’çs= — sm.ç.oos.ip+— ç+li ,

<iç,cos.*ç=: jsm.ç.cos. <p+ — sm.j.cos.ip+— ç+C,

«tp cos.^ = - yn.f.cos. f + j^gSm-^.cos. sm.f.cos.j+ f +C ,

rff .cos. ? = 3 sin.f .cos.’»4-— sm.f .cos. Ÿ+ ■ ■ sin.y.cos. «>

+ " - . - ;. -sin.y.cos.T+ ^ ^ — y+C,

etc.;

et en prenant les intégrales depuis ®=— jusqu’à •»=s>,

y d^.cos.‘f= lsin.|.cos.f— 1 0—?^,

fî . 4 1 . , 1-3 . 1.3 /ir \

I rf?.cos.V= jSin.ç.cos.’<f+— sin.f.cos.7 — — (5 — ? K

^ty.cos. ç=-sin.î.cos. ç+^-sin.f.cos. ?+2X6*‘“-?-‘=os-f— 2^6 V 1 » , f’’ » . 1 . , 1-7 . 5 l.S.i .

I df.cos. f=-sin.ç.cos.’î+— sin.<p.cos. <p+— - sin.ç.cos. ?

etc.;

+ — sin.f.cos.® — — I ® I

ce qui donne les valeurs de chaque terme de la série précédente.

Si l’on suppose x = a, et par conséquent cos. <fi = 1 ou ç=0, l’expression précédente de s donnera pour la longueur du quart du contour de l’ellipse s

Tzaf^ /I V .V .V 1/1-3.5.7 ,Y n

32^. L’équation de l’hjperbole

- dr

— . — ^ = 1 donne r = - — a*. ^ ~ ^ t

a b' ''a ’ dx a

toi a

— Mo -

et par conséquent

ou, en faisant a+b'=ae,

pour l’expression de l’arc compté du sommet de la courbe jusqu’au point dont l’abscisse est x. Comme

ICI X est toujours >■<*, nous poserons x= i — , dou

cos. <p

, a sin. ad'i

dx= et • • ,

COS.<f ^

n .y-, Ç- P e / COS. <t

s = <* I 7 “ y e — cos. ^' = a I . a* ^-y 1

J cos.N> J, cos. e

Ou , en développant ^ 1——^ j ’

s— a I at. 1 l — — -icos. <f — - — ;cos.*v

I cos.’vV 2e’ 2 4e^

r = fl«.tang.<f--<f-fl 1 rf<,^-cos.V

Les termes de' la série seront donnés par les expressions de Jdy. cos.'f, Jd(f.co$.*<f, etc. du numéro précédent, en supposant la constante arbitraire C égale à zéro.

• Remarquons que l’équation de l’asymptote étant -X, la distance du centre de la courbe au point de

l’asymptote dont l’abscisse est x, est

ex =-

cos. <f

Soit r cette distance : on aura

1 — sm.^ a, , /I 1

r — s=.ae H I a<?l - r-rcos.“

cos. t 2e J \2 4e’

si l’on iuppMe x = ^, et par conséquent cos. »=0 ou

f = -, cette dernière foribule donnera pour la limite 2 . »

Ters laquelle tepd l’excès de r sur s , à mesure que l’abscisse X devient de plus en plus ^ande ^ en remarquant

1 — sin. <t cos. ? , V \

que = : =0 lorsque <r = - ,

cos. f. 1-l-sin. tf ^ 2 /

4eL^'^2\2ë/ 3\2.4 e*/ 4V2.4.6