ARBITRAIREMENT ET APPLIQUÉES A UN STSTÈME DE POINTS

MATÉRIELS ASSUJETTIS ENTRE EUXd’üNE MANIÈRE INVARIABLE.

54. Considérons un système formé de plusieurs* points matériels assujettis entre eux d’une manière invariable, auxquels sont appliquées des forces dirigées d’une manière quelconque. Soient, P la valeur de l’une de ces forces exprimée en unité de poids ; x,y, z les trois coordonnées rectangulaires de son point d’application ; «, 6, y les angles que sa direction forme respectivement avec les axes des x , des y et des z. La question consiste: 1° à composer toutes les forces P en une résultante unique , si cela est possible , ou du moins à réduire le

système au plus petit nombre de forces qu’on le pourra ; 2« à exprimer les conditions nécessaires pour que' les forces dont il s’agit se fassent mutuellement équilibre.

Supposons, en premier lieu, le système des forces proposées en équilibre , et proposons-nous d’exprimer les conditions de cet équilibre. Admettons que chacune des forces P ait été décomposée en trois forces P cos. « , P cos, 6, P cos. y, respectivement parallèles aux trois axes des x , desj^ et des z. L’équilibre du système ne sera pas altéré si l’on applique à l’origine des coordonnées dans des directions parallèles aux forces Pcos.a, Pcos.6, Pcos.y, deux forces respectivement égales à chacune de celles-ci et opposées l’une à l’autre. On aura alors, au lieu du système proposé, 1» un système de forces appliquées à l’origine des coordonnées et dirigées dans le sens des trois axes ; 2° un système de couples formés par des forces dirigées parallèlement à ces axes.

On voit en premier lieu que l’équilibre de ce système exige que les forces appliquées à l’origine se détruisent réciproquement, ou que leur résultante soit nulle : ce qui donne les trois équations

S.Pcos.a=0, S.Pcos.g=0, S.Pcos.y=0.

Il faudra en second lieu que tous les couples produits par chacune des forces Pcos.a, Pcos.g, Pcos.y se détruisent entre eux, ou que le moment du couple résultant soit nul. Or le couple produit par la force P cos. a, dont le moment est Pcos.a.J/j^’-t-^’, peut être remplacé par deux autres couples agissant dans les plans des xy et

desj'z, dont les moments seront Pj'cos.*, et Pzcos.z. Le couple produit par la force P cos. 6, dont le moment est P cos.e^x'+z', peut être remplacé par deux autres couples agissant dans les plans des xy etdesyz, dont les moments seront Par cos. 6 et Pzcos.g. Enfin le couple produit par la force Pcos.y, dont le moment est Pcos.y-l/x'+y' , peut être remplacé par deux autres couples agissant dans les plans des xz et dcsy'z, dont les moments seront Pxcos.y et Pycos.y. Au moyen de cette décomposition , tous les couples seront remplacés par d’autres qui agissent dans les trois plans coordonnés. Ceux qui sont dirigés dans le plan des xy donneront en les composant un couple résultant partiel dont le moment sera S.P^cos.» — a: cos. 6); ceux qui sont dirigés dans le plan des xz en donneront un dont le moment sera S.P(xcos.'/- — z cos. a); et ceux qui sont dirigés dans le plan des yz en donneront un dont le moment sera S.P(zcos.6 — y cos. 7). Les expressions précédentes sont écrites en supposant que l’on prenne positivement les moments des couples qui tendent à faire tourner le système dans le sens de a: vers z, de z vers y, dey versa;, et négativement les moments des couples qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé. Les trois couples se composeront en un seul , dont le moment ne peut être nul , à moins que chacun des moments des couples composants ne soit nul , ce qui donne les trois équations

S.P(ycos.« — arcos.Ç)=0, S.P(arcos.y — scos.a)=0

S.P(scos.6— ycos.7)=0,

lesquelles, réunies aux précédentes, expriment complètement les conditions de l’équilibre du système.

ira

55. Ces trois dernières équations peuvent être écrites d’une manière plus simple. Désignons respectivement par ^>,<7, /les plus courtes distances de la direction de la force P aux axes des x, des y et des z. Soit mp[/ig. IC) la projection de la direction de la force P sur le plan vertical des y z : la plus courte distauce/? de cette direction à l’axe desx se projettera sur le même plan en A p perpendiculaire à mp. On reconnnaîtra facilement d’ailleurs que la direction de la force P formant avec le plan des yz un angle complément de a , l’angle compris entre sa projection mp et l’axe des y a pour cosi-