VII. Mouvement rectiligne des corps

108. L’analyse mathématique donne les moyens d’exprimer facilement les lois des phénomènes qui appartiennent à la dynamique. Dans la géométrie, on détermine communément la position d’un point en donnant ses distances x, y, z à trois plans rectangulaires supposés fixes. Admettons que ce point soit en mouvement et occupe successivement diverses situations dans l’espace : les distances x,y, z seront alors des quantités variables , dont les valeurs changent à mesure que le temps s’écoule, et qui sont par conséquent des fonctions du temps l qui s’est écoulé à partir d’un instant déterminé pris pour origine du temps. Si l’on connaît les valeurs de x,y, z en fonction de t , on aura les moyens de déterminer la position du point à un instant quelconque , et par con séquent la nature de son mouvement sera entièrement connue.

109. Nous considérerons d’abord le cas où un point matériel (c’est-à-dire une certaine quantité de matière, une masse que l’on suppose concentrée dans un volume extrêmement petit) se mouvrait en ligne droite , ce qui suppose évidemment que la force qui agit sur le point matériel , s’il en existe une , est dirigée dans le sens de cette ligne droite. Il suffit alors , pdur déterminer à chaque instant la position du point matériel , de prendre une seule coordonnée x comptée à partir d’une origine

fixe et regardée comme une fonction du temps f. Une équation telle que

exprimera la nature du mouvement : x représente la distance comptée d’un point fixe, à laquelle le corps se trouve à la fiu du temps t , qui est la variable indépendante.

Cela posé , le mouvement aflecté par le corps , et dont la nature est exprimée par la fonction y(t), est un résultat nécessaire de diverses circonstances. La valeur de la distance x qui correspond à un temps quelconque t dépend l°du lieu où le corps était placé à l’instant où l’on a commencé à compter le temps ; 2° de la vitesse qu’il avait à ce même instant; 3” de la grandeur de la force constante ou variable avec le temps , par laquelle ce corps a été sollicité pendant toute la durée du temps t. Si l’on donnait la position et la vitesse initiales du corps, et l’expression en fonction du temps de la force qui le sollicite, on devrait pouvoir en conclure la forme delà fonction <p (t). Réciproquement la fonction <p(r) étant donnée , on en conclura la valeur de la vitesse du point matériel au bout d’un temps quelconque , et l’expression de la force qui produit le mouvement de ce point.

1° Quant à la vitesse qui a lieu au bout du temps t, on se rappellera que d’après les n0' 100 et 101 la vitesse est le rapport de l’espace parcouru au temps employé à le parcourir, ou l’espace parcouru pendant l’unité de temps. Désignant par M un certain temps écoulé après le temps t, et par àx l’espace parcouru pendant ce temps,

le rapport — représenterait donc la vitesse demandée

si la valeur de ce rapport était constante, ou si \x était proportionnel à âf. Or, en général, la valeur du rapport dont il s’agit dépend de la grandeur absolue de l’accroissement M, et il est visible que l’on ne peut attribuer ici aucune valeur finie déterminée à cet accroissement : i° parce que cette valeur serait arbitraire ; 2° parce que ce serait faire dépendre la détermination de la vitesse qui a lieu au bout du temps t des modifications que peut subir le mouvement du point matériel après ce temps. Donc l’accroissement âf doit être supposé plus petitque toute grandeur donnée, ou infiniment petit , c’est-à-dire qu’on doit prendre pour l’expression de la vitesse au bout du temps t la limite dont s’appro-

ÙJT

che la quantité — lorsque \t tendà devenir égal à zéro,

limite qui n’est autre chose que le coefficient différen-

tiel Il résulte de ces considérations , tout à fait semdt

blables à celles qui ont été présentées dans les n°* 5 et suivants des Leçons d’analyse , qu’en désignant par u la vitesse du point matériel qui a lieu à la fin du temps t, l’équation x — <y (t) entraîne toujours la suivante

ou

d.?(e) di ’

La vitesse est donc représentée par le coefficient différentiel du premier ordre de l’expression analytique qui donne l’espace parcouru au bout du temps t en fonction de ce temps.

110. 2° Quant à la valeur delà force par laquelle le corps est sollicité au bout du temps t, on se rappellera

également que , d’après les n<» 1 04- et suivants, la force qui produit ou modifie le mouvement d’un corps est mesurée par la quantité de mouvement que cette force imprime dans l’unité de temps , c’est-à-dire par le produit de la masse du corps multipliée par la quantité dont la vitesse de cette masse s’accroît dans l’unité de temps. Soit en général At un certain temps écoulé à la suite du temps t, et Au l’accroissement reçu par la vitesse u pendant ce temps. Le rapport — donneraitdonc la vitesseac-

quise dans l’unité de temps si la valeur de ce rapport était constante, ou si l’accroissement Au était proportionnel à At. Cette proportionnalité n’ayant pas lieu en général , les mêmes considérations qui ont été exposées dans le numéro précédent montrent que la vitesse acquise dans l'unité de temps doit s’exprimer par la limite

vers laquelle tend — lorsque At devient de plus en plus

du

petit , c'est-à-dire par le coefficient différentiel ^ .On en conclut donc que l’on a

du d‘x d'.f(t) dt~~dë==~dtT ’

pour l’expression de la vitesse que la force par laquelle le point matériel est sollicité à la fin du temps t imprime à ce point matériel dans l’unité de temps. Ainsi cette vitesse est représentée par le coefficient différentiel du premier ordre de l’expression de la vitesse du point matériel en fonction du temps , ou par le coefficient différentiel du second ordre de l’expression de l’espace parcouru en fonction du temps.

rr

Si la masse du point matériel est désignée par m, la quantité de mouvement acquise par ce point dans l’unité de temps sera donc

du fTx

rn—r—m — —— m dt dt'

de Mi)

~Ér''

et par conséquent ces expressions donnent en unités de poids , d'après le n° t07, l’eflort exercé contre le point matériel , à la fin du temps t , par la force qui le sollicite.

111. Nous considérerons d’abord les formes les plus simples que puisse prendre l’équation x = ?(t). Soit en premier lieu

x=a+bt, d’où

a et b désignant des constantes. Il est visible . 1° que la constante a représente la distance à laquelle le point matériel se trouve de l’origine des x à l’instant où l’on commence à compter le temps ; 2° que le point matériel parcourt des espaces égaux en temps égaux , c’est-àdire se meut d’un mouvement uniforme , dont la vitesse est représentée par la constante b ; 3" que le point matériel n’est sollicité par aucune force. Il se meut par l’effet de la vitesse qui lui avait été imprimée avant l’instant où l’on commence à compter le temps, et ce mouvement se conserve sans altération.

L’équation précédente est ce que l’on nomme l’équation du mouvement uniforme.