Soit encore

x — a+bt+ct *, d’où

dx

a, b, c désignant des constantes. On voit ici 1° que la constante a représente comme ci-dessus la distance initiale du point matériel, à l’origine des x; 2° que la constante b représente la valeur initiale de la vitesse du point matériel ; que cette vitesse croit proportionnellement au temps , et qu’elle reçoit dans chaque unité de temps un accroissement égal à 2c ; 3° que le point matériel est sollicité par une force dont l’action est invariable et lui imprime dans l’unité de temps une vitesse égale au double de la constante c. Si l’on désigne par m la masse du point matériel, cette force exerce constamment contre ce point un effort exprimé en unités de poids par 2mc.

Le mouvement représenté par l’équation précédente est appelé mouvement uniformément accéléré, parce que la vitesse croît avec le temps, et croit de quantités égales en temps égaux. Nous supposons ici les constantes b et c positives.

113. Ces exemples suffisent pour montrer comment l’équation x=y(t) exprime la nature du mouvement rectiligne d’un corps, et fait connaître les principales circonstances de ce mouvement, telles que la vitesse du corps à un instant donné , la valeur à un instant donné de la force par laquelle le corps est sollicité , et l’état initial de ce corps , c’est-à-dire sa position et sa vitesse à l’origine du mouvement. Réciproquement on conçoit que si l’on donnait la valeur de la force qui sollicite le corps en fonction du temps t , c’est-à-dire le coefficient différentiel du second ordre de la fonction x —f{t), une première intégration ferait connaître l’expression de la vitesse u en fonction de t , ou le coefficient différentiel

du premier ordre de cette fonction ; et une seconde intégration donnerait l’expression de la fonction ellemême. Les constantes introduites par ces intégrations se détermineraient évidemment d’après la considération de l’état initial du corps. Mais le plus souvent , dans les questions naturelles, l’expression des forces qui sollicitent les corps n’est pas donnée en fonction du temps : les valeurs de ces forces dépendent de la position actuelle des corps, ou de leurs vitesses actuelles, ce qui peut rendre difficile la recherche des mouvements qui résultent de l’action de forces données.

Mouvement rectiligne d’un corps produit par l’action de la gravité.

114. 1] résulte des notions présentées dans les nm 103, 104 et 105, que la nature d’une force telle que la gravité consiste en ce qu’elle imprime toujoursx aux corps qui cèdent à son action , dans chaque partie égale de temps, une partie égale de vitesse. On définira donc la nature du mouvement résultant de l’action de cette force en exprimant simplement que lit, vitesse croît également en temps égaux. Or cette circonstance est indiquée par l’équation

x — a+l>t+ct‘

du n° 112, puisqu’on a vu que dans le mouvement qu’elle représente la vitesse croissait de la quantité constante 2c dans l’unité de temps. Donc l’équation précédente est propre à représenter la nature du mouvement des corps qui cèdent librement à la gravité. L'observation apprend effectivement que les propriétés du

mouvement des corps graves sont conformes à ce qui est énoncé n° 112.

De plus, si , comme cela est d’usage , on désigne par la lettre g la vitesse 9m, 80896 par seconde que la gravité imprime aux corps pesants en une seconde à Paris , il est

clair qu’il faudra faire 2 c=g, ou c = -g ; en sorte qu’en écrivant

on aura l’expression exacte du mouvement des corps graves : x est une abscisse comptée verticalement de haut en bas à partir d’un point fixe ; a est la distance de ce corps à ce point fixe à l’instant d’où l’on commence à compter le temps ; b est la vitesse du corps à ce même instant, c'est-à-dire la vitesse initiale.

115. Considérons en particulier le cas où le corps est placé à l’origine des a;, et n’a point de vitesse initiale lorsqu’il commence à se mouvoir en cédant à l’action de la gravité. On a alors simplement

et si l’on désigne par u la vitesse acquise par le corps au bout du temps t , on aura de plus

dx

u =z —=fft.

dt 6

Les espaces parcourus , représentés par x , croissent comme le quarré du temps. La vitesse croît proportionnellement au temps. On déduit des équations précédentes

i<=V %rJC,

JC— ■

Un corps après être tombé de la hauteur x a donc acquis la vitesse {/‘ig.x. Ce résultat s’exprime communément en disant que la vitesse due à la hauteur x est égale

à \S2g.x. Réciproquement on dit que la hauteur— .dont

le corps doit être tombé pour avoir acquis la vitesse u , est la hauteur due à la vitesse u. La considération des vitesses dues aux hauteurs et des hauteurs dues aux vitesses revient fréquemment dans les applications de la mécanique, et particulièrement dans l’hydraulique. On a calculé des tables de leurs valeurs correspondantes.

L’espace parcouru dans la première unité de temps

est - g -, et comme g représente la vitesse que la force

imprime dans l’unité de temps , on voit que l’espace dont il s’agit est représenté par la moitié du nombre qui représente cette vitesse. En général , si , après un temps quelconque t , le mouvement du corps devenait uniforme , ce corps parcourrait ensuite dans un temps égal a t un espace double de celui qu’il avait déjà parcouru.