Dans l’équation précédente x = a+bt+ÿft

les constantes a, b, g ont été supposées positives. En général , le signe de a dépendra de la position du point matériel par rapport à l’origine des x à l’instant où l’on

commence à compter le temps ; on le fera négatif si cette position est en arrière de l’origine. Le signe de b dépend de la direction du mouvement initial du corps ; on le ferait négatif si ce mouvement était dirigé de manière à diminuer l’abscisse x. Enfin on doit donner à g- le signe + lorsque l’abscisse x est comptée de haut en bas, c’est-à-dire dans le sens du mouvement que la gravité tend à imprimer. On lui donnerait le signe — dans le cas contraire.

On voit parla que l’équation

x=—bt+^gt\

qui donne pour l’expression delà vitesse dx

“= di=-L+gtt

représente le mouvement d’un corps grave qui serait lancé de bas en haut avec la vitesse b. L’action de la gravité diminue progressivement la vitesse du corps :

cette vitesse devient nulle après un temps — , et l’espace

qui a été parcouru verticalement de bas en haut est

alors , c’est-à-dire la hauteur due à la vitesse b ;

d’où l’on voit que le corps monte contre la direction de la gravité précisément à la hauteur dont il aurait dû descendre pour acquérir sa vitesse initiale. Parvenu à ce point , le corps redescend , et son mouvement s’accélère uniformément.

Mouvement rectiligne d’un corps grave, dans le cas où ce mouvement est altéré par une résistance .

117. Les numéros précédents font connaître la nature du mouvement d’un corps qui céderait sans aucun obstacle à l’action de la gravité. Dans la réalité , la chute des corps ne s’opère pas d’une manière exactement conforme aux résultats qui ont été présentés , parce que la résistance des fluides dans lesquels les corps se meuvent, ou d’autres obstacles, altèrent le mouvement que la gravité tend à imprimer.

Revenons aux notions présentées nos 105 et 106. Soit m la masse d’un corps. L’action de la gravité sur ce corps est représentée par le poids mg. Cette action est absolument pareille à celle d’une main qui suivrait le corps en le poussant par l’intermédiaire d’un ressort, ce ressort étant continuellement comprimé comme il le serait par le poids mg. C’est cette même action qui surmonte la résistance que l’inertie du corps oppose à la variation de son mouvement, et qui fait augmenter constamment la vitesse de ce corps de la quantité g dans l’unité de temps. Si l’action dont il s’agit venait à cesser, ou si elle était détruite par une action égale dirigée en sens contraire, la vitesse du corps n’augmenterait plus , et son mouvement deviendrait uniforme.

118. Les résistances qui altèrent le mouvement des corps graves produisent absolument le même effet qu’une main qui agirait sur le corps , par l’intermédiaire d’un ressort , dans une direction exactement contraire à celle du mouvement. Soit donc F la valeur en unités de poids de l’effort provenant de la résistance, c’est-à-dire de

l’efïort avec lequel le ressort dont on vient de parler se

trouverait comprimé. Le corps poussé par la gravité avec

l’effort mg , repoussé en sens contraire avec 1’efFort F,

est dans le même cas que s’il était seulement poussé

dans le sens de la gravité avec l’effort mg — F. D’où il

suit que ce corps n’acquerra plus dans l’unité de temps

, , , . mg— F F

la vitesse g, mais seulement la vitesse — — — , ou g — — .

D’après cela, en se rapportant au n° 109 et suivants, désignant par x l’espace parcouru au bout du temps t, par u la vitesse acquise au bout du temps , en sorte

dx . , ,

que u— -jr-, on voit que le mouvement du corps est assujetti à la condition

d'x du F

dF= dt=S~~ m'

Lorsque la valeur de la résistance F sera donnée, aussi bien que l’état initial du corps, on pourra toujours déduire de cette équation la nature du mouvement.

Dans les cas naturels, l’effort de la résistance , désigné ci-dessus par F, dépend le plus souvent de la valeur de la vitesse actuelle u , et peut être regardé comme une fonction déterminée de cette vitesse. On écrira donc ï(u) à la place de F, et par conséquent

du 1

s=e--iw.

d’où

dt =

du

g-lf(u)

et f =

- r -tt-

en désignant par U la vitesse initiale du corps. La relation entre u et t étant ainsi obtenue , on déterminera ensuite l’expression de x en fonction de t en mettant à la place de u sa valeur en t dans l’équation

dx=u.dt , qui donne

et quelquefois il sera plus facile de déterminer x en fonction de u, en mettant à la place de dt sa valeur en u et du dans la même équation , ce qui donne

ru u.du JUg-— — <f [h

Après l’intégration on substituera si l’on veut à la place de u sa valeur en t.

119. Nous considérerons les formes les plus simples que l’on puisse admettre pour la fonction ? («)•

Le premier cas est celui où l’on poserait ç(u)=A, la lettre A désignant une constante, ce qui revient à dire que la résistance consiste dans un eflort constant , indépendant de la vitesse du corps, et dont la valeur en poids est A. Le mouvement est alors conforme à ce qu’on a vu dans les n01 114 et 115, pourvu que l’on

substitue à la place de g la quantité g . Ce mouve-

ment est toujours uniformément accéléré; mais l’accélération est moins rapide, et d’autant moins que la masse du corps est plus petite.

120. Le second cas est celui où l’on poseraitç(u)=A4-Bu, l’efïort de la résistance étant censé formé de deux parties, l’une constante et l’autre proportionnelle à la vitesse.

On aurait alors

dit—

du

mm

dont l’intégrale est

t=const. ./ I g- .—u ).

Désignant par U la vitesse initiale, et par conséquent déterminant la constante de manière que « = U quand t = 0, il vient

ni mg — A — BU B mg — A — Bu ’

équation d’où l’on tire

ms — A\ t me — A

u— ( U - le m +— 2 —

e désignant la base des logarithmes hyperboliques. La

mg— A

vitesse s’approche sans cesse de la limite — ~jj~> qu’elle

n’atteindrait rigoureusement qu’après un temps infini, mais dont elle diffère très-peu après un temps d’autant plus court que la masse m est plus petite. Le mouvement du corps s’approche donc sans cesse , et bientôt ne diffère plus sensiblement d’un mouvement uniforme

dans lequel l'espace— g — est parcouru dans l’unité de

temps. On a alors mg—h.+Ru, c’est-à-dire que la résistance est égale au poids du corps.

Ou a d’ailleurs

dx = dt

et en intégrant et déterminant la constante de manière que ar=0 quand t = 0,

— niff — A

pour l’expression de l’espace parcouru au bout du temps t.

121. Supposons encore v(«) =A+Bu+C«\ ce qui revient à regarder la résistance comme étant formée de trois parties , l’une constante, la seconde proportionnelle à la vitesse, la troisième proportionnelle au quarré de la vitesse. On aura

du