AB C
ni m m
m.du
mg — A — Btt— Cm'
dont l’intégrale, ( rng — A étant supposé positif) , est
rn |/ B’+4C(«^— A)+(B+2Cm)
f— — * ~7- ~ 1 . ■ -4-const.-,
y b' + 4C(/ag- — A) y B’+4G(wg’ — A) — iB+2Gm)
et déterminant la constante de manièreque l’on aitw=U quand t = 0,
Â)+(B+2C«) \/ li’+4C(wg-^Â)-;ii+2CU) (B+2C«) |/I,«;fr4)+ (B+2CU)
Cette équation élant résolue par rapport à u fera connaître la vitesse en fonction du temps t. On pourraitensuile dérermiuer xen fonction de t comme on L’a fait dans le numéro précédent.
122. Nous appliquerons la solution au cas où l’on aurait A— 0 et 15 = 0 , c’est-à-dire où la résistance serait simplement supposée proportionnelle au quarré de la vitesse , hypothèse qui dillère peu de la vérité lorsqu’il s’agit d'un corps grave tombant dans un lluidc tel que l’air ou l’eau. Les expressions précédentes se réduisent alors à
dt=
.du
w" — Cm’’
2 V Ug
V mg V mS
V mg y mg J
et l’on déduit de cette dernière
La vitesse dont U représente la valeur initiale , s’approche continuellement de la limite ]/ —S qu’elle ne pour-
rait atteindre rigoureusement qu’après un temps infini , mais dont elle ne dillère passensihlementaprès un temps limité, et d’autant plus court que la massent est plus petite. On a alors Cu‘=mg-, c’est-à-dire que la résistance est égale au poids du corps. Ce mouvement a le même caractère que celui du nQ 120.
ni 3
L’équation dx — udt donne ici , en mettant pour dt sa valeur en u ,
, u. du
dx— —
et en intégrant et déterminant la constante de manière que x=0 quand u = U ,
i m , ni"
x= — i il
1— | ni"
Si 1 on substitue dans cette expression pour « sa valeur précédente en t, il viendra
123. Si l’on supposait nulle la vitesse initiale désigi par U, ou aurait simplement
lt=A/"^f « — 1
[ — il
et
ou bien
•VcV
IOO —
et lorsque le temps t aura acquis une certaine valeur, cette dernière formule ne différera pas sensiblement de
ou
121. Tout ce qui a été dit depuis le n“ 117 se rapporte au cas d’un corps pesant qui tombe en cédant à l’action de la gravité , et au mouvement duquel est opposée une résistance dirigée en sens contraire de cette action. Si l’on considérait le cas d’un corps qui aurait été lance verticalement de bas en haut, la résistance serait alors dirigée dans le même sens que la gravité, et il faudrait changer dans les formules les signes des termes quireprésentent la valeur de cette résistance.
Dans le cas du n° 120 , il viendrait alors , les x étant comptées maintenant de bas en haut,
du
dt = -
i n wig--t-A+BU
B nig+A.+liU 1
‘JÊL
TJ+
">g+A'\ ml
rng+ A
IL ni ^ «L**
La vitesse diminue progressivement, et devient nulle après un temps dont la valeur est
ni ^ wg-t- A+B IJ Ii mg+ A
HL
*fl
— ÎOI — *
125. Dans le cas du n* 122 , où la résistance est simplement proportionnelle au quarré de la vitesse , on a , les x étant comptées de bas en haut ,
m. du mg+Cu' ’
dont l’intégrale est
t = const.-\/ arc. tang. « \/ ^ ' •
et en appelant U la vilesseinitiale, tj .
l=\/ .T are. tang. rjrel — ■
V (^r ° lllg+LVu r
On en déduit
u=\/ ^tanS;jarctan8-UV/ 7k~‘\/n j'
La vitesse diminue progressivement, et devient nulle après un temps dont la valeur est
V/5*re“"sUV//4'
fi
On a ensuite pour déterminer l’espace parcouru ,
u. du
dx-
d'où l’on déduit
'7 7/4 ^ Illg+G U J
2C’ rng+Cu‘
La bailleur à laquelle s’élève le mobile est
’-SX»V^V£*Vi)
rn
(MJ
En mettant à la place de u sa valeur, on trouve pour l’expression de x en fonction de t,
126. Nous pouvons considérer encore un cas plus simple que les précédents, celui d’un corps lancé suivant une direction quelconque dans un milieu résistant, et qui ne serait pas soumisà l’action de la gravité.
Si la résistance est simplement proportionnelle à la vitesse, il suffira de supposer g=0 et A = 0 dans les formules du n° 120 ou dans celles du n° 124. On trouvera ainsi
La vitesse décroît très-rapidement avec le temps, et quoiqu’elle ne devienne rigoureusement nulle qu’a près un temps infini , 1 espace que le corps peut parcourir
est limité et ne peut surpasserai!.
127. Si la résistance est proportionnelle au quarré **. de la vitesse, on aura Vr ' J* * ?
m.du
d’où l’on déduit
v D J^ed 6y Gdc
*• «ffc
eu
m YCU , \
* ^ #* La vitesse décroît avec le temps, et finit par devenir
* nulle après un temps infini ; néanmoins l’espace parcouru par le corps n’est pas limité, comme il l’est dans
* le cas précédent.
Mouvement rectiligne d’un corps grave au-dessus et au-des-
• sous de la surface de la terre , en ayant egard à la variation de la gravité.
w * 128. La force avec laquelle un corps est attiré vers le
centre de la terre, et qui résulte de l’action de la gravité, peut être supposée constante dans la plupart des applications de la mécanique, pourvu que l’on attribue . à cette force la valeur qu’elle présente eflectivement dans le lieu de la terre où l’on se trouve. Non-seulement cette • valeur varie suivant les lieux , mais de plus, dans chaque point, elle décroît , à mesure qu’on s’élève au-dessus de la surface de la terre, dans le rapport des quarrés des • y . distances au centre; elle décroît également, à mesure qu’on s’abaisse, au-dessous de la surface, dans le rap- ' port des distances au centre. Nous considérerons, en , ayant égard à ces variations , le mouvement d’un corps pesantqu’on laisserait tomber d’une hauteur donnée au- * dessus de la surface de la terre.
JL'* * .
Nousavons ici pour l’équation du mouvement, le corps étant au-dessus de cette surface ,
dlL-,r W
dl‘ & (a — x)’
Dans celte équation :
g est la vitesse imprimée aux corps pesants dans l’unité de temps par la gravité à la surface de la terre ;
jt le rayon terrestre = 1.0-?000’00- =6366198-";
a la distance initiale du mobile au centre de la terre ; x l'espace parcouru par le corps , au bout du temps i , complédehaut en bas.
Multipliant les deux membres par dx , et intégrant, il vient
(dx\> „ R*
— \-const.-
\dt) ^ a—x
ou , en appelant u la vitesse au bout du temps t,
-4- const.
Si la vitesse initiale est nulle, on a en même temps x — 0 , u=0 : cette équation devient alors
u'=2gx-jjq don x= —
a' 2ga
