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Ainsi ces expressions donnent en général les composantes dans le sens des axes des cllorts exercés sur le point matériel.

14t. Les résultats qui viennent d’étre exposés permettent d’établir facilement dans tous les cas des équations exprimant les relations existantes entre les valeurs des forces qui impriment ou modifient le mouvement du point matériel , et les fonctions du temps par lesquelles les espaces parcourus en vertu de ce mouvement sont représentés. Supposons en efiet qu’un point matériel dont la masse est m soit soumis à l’action de plusieurs forces , et imaginons chacune de ces forces décomposée en trois autres dirigées parallèlement aux axes des a;, des et des z. Les composantes dirigées dans le sens de chaque axe s’ajoutant entre elles , toutes les forces seront réduites à trois forces rectangulaires, et en donnant pour chaque instant ces trois forces, les actions par lesquelles le point matériel est sollicité se trouveront entièrement définies. Nous représenterons par X, Y, Z les valeurs exprimées en unités de poids des efforts exercés à la fin du temps t sur le point matériel , en vertu de l’action des trois forces dont il s’agit, dans le sens des x, des y et des z. Les quantités X, Y, Z doivent être regardées en général comme des fonctions dépendantes du temps et des coordonnées x , y, z qui fixent la position actuelle du point matériel On aura donc, conformément à ce qu’on a vu dans le numéro précédent , les trois équations

dt'

‘i 'r v ,ndï='’

qui expriment les conditions générales du mouvement de ce point.

Ces équations peuvent également s’écrire

iïx X Y <£z 7

de' m ’ c/t’ m ’ rfr* m ’

et il est visible que les quantités — — sont les valeurs

des vitesses que pourraient imprimer dans l’unité de temps au point matériel les trois forces par lesquelles il est sollicité. Par conséquent, lorsque ces forces seront données en exprimant les vitesses qu’elles sont capables d’imprimer dans l'unité de temps au point matériel, les équations générales du mouvement s’obtiendront en égalant respectivement les coefficients différentiels d'x d'y dxz

~dt' ’ dâ ’ Tiï7 aUX Vltesses 4UC ,es Iorces agissant sur le

point matériel lui impriment dans l’unité de temps dans le sens des x , des y et des z.

Propriétés générales du mouvement d’un point matériel. — Conservation du mouvement rectiligne

142. Les équations du mouvement d’un point matériel expriment diverses propriétés ou principes généraux dont la considération est très-importante , surtout lorsqu’on les étend , comme cela sera fait par la suite , au mouvement d'un système formé de plusieurs points matériels assujettis les uns aux autres, et sollicités par des forces.

Supposons en premier lieu qu’aucime force ne soit appliquée au point matériel : les équations dont il s’agit

se réduiront à

di

cTz

d’où l’on déduit en intégrant une première fois

«te 4

dx

~dt==a’

dt~C *

a,è,c désignant des constantes arbitraires. On en conclut qu’aucune force n’étant appliquée au point matériel, ses trois vitesses dans le sens de chaque axe, dont a,b,c représentent les valeurs, sont constantes ; d’où il suit que ce point se meut en ligne droite d’un mouvement uniforme.

Une seconde intégration donne

x—k+at, y=C+bl, z—C+ct,

A,B,C désignant trois nouvelles constantes arbitraires qui représentent évidemment les coordonnées de la position du point matériel correspondant à t=o. Si l’on supposait a=o, b=o, c=o, les valeurs x,y,z se réduiraient aux trois constantes A,B,C.

Ces résultats n’apprennent ici rien de nouveau : on vérifie seulement que les équations générales expriment, comme cela doit être , la propriété des corps désignée dans le n° 102 par le mot d’inertie.

Conservation du mouvement de rotation. Principe des aires.