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Ys '■

Or, les derniers membres de ces équations seront nuis dans deux cas : 1° Si les forces X.Y.Z sont nulles, comme on l’a supposé dans le n° précédent ; 2° si la force qui sollicite le point matériel, et dont X,Y,Z sont les composantes dans le sens des axes, est constamment dirigée vers l’origine des coordonnées (comme cela aurait lieu si cette force était le résultat d’une attraction ou d’une répulsion émanant de ce point). En admettant donc que l’on soit dans l’un ou l’autre des ras dont il s’agit, les équations précédentes se réduiront a

divdx-xdy) d(xdz-zdx) d{zdy-ydz)n

d? — ’ de ’ de

et intégrant une première fois , on en déduira ydx — xdy xdz — zdx zdy yd~ . j

dt ="’ Tt dt

n,l,m désignant des constantes arbitraires.

Ou conclut immédiatement de ces équations que la ligne décrite par le point matériel est alors tomprise dans un plan passant par l’origine des coordonnées ; car si on les ajoute après les avoir multipliées respectivement par z , y et x , il viendra

0 = Ix+mjr+nz,

relation à laquelle les coordonnées du point matériel doivent constamment satisfaire.

Considérons de plus la ligne droite tracée dans ce plan , de l’origine des coordonnées au point dont les coordonnées sont xj-, z, et où le point matériel est situé à la Gn du temps t. Désignons par ;■ la longueur à la Gn du temps t de la ligne dont il s’agit, dont la direction change à chaque instant par l’effet du mouvement du point matériel , et que l’on nomme rayon vecteur. Soit d<-> l’angle inGniment petit compris entre les positions du rayon vecteur qui ont lieu à la Gn du temps t et du temps t-\-dt. La longueur de ce rayon devient r-\-dr à la Gn du temps t-\-dt , et si l’on désigne par ds l’arc décrit par le point matériel dans l’élément du temps dt, on aura évidemment r.'du = ds ’ — dr‘ , ou

, r'ds' — [xdx+ydy+zdzy

CÙt) — ~ — . . ■ ■ ■

Or, l’aire triangulaire inGniment petite décrite dans l’espace par le rayon vecteur r pendant l’élément du temps

dt est r.'dv : donc la valeur de cette aire est

- V r'ds

• — (xdx+ydyxzdz) ' ,

..via

expression qui revient à

V [ydx — xdy)'+{xdz — zdx) ’+{zdy—ydz)’ .

Il est évident d’ailleurs que si le rayon r se trouvait dirigé dans le plan des xy, des xz ou des yz> cette formule

générale donnerait - (ydx — xdy), - ( xdz — zdx) ou

- ( zdy — ydz ) pour les aires que ce rayon décrirait alors

dans ces plans pendant le temps dt ; ou, si l’on veut, ces trois quantités représentent respectivement les aires décrites pendant le temps dt sur les plans des xy , des xz et des yz par les projections du rayon vecteur sur ces mêmes plans. Ainsi , nous trouvons , comme cela doit être, que l’aire décrite dans l’espace par le rayon vecteur dirigé au point matériel est égale à la racine carrée de la somme des carrés des trois projections de cette aire sur les plans coordonnés.

Mais il résulte des équations obtenues ci-dessus que

rapports des projections de l’aire élémentaire -i

sur les plans coordonnés à l’élément du temps dt conservent toujours des valeurs constantes. Donc cette aire elle-même conserve aussi avec l’élément du temps dt pendant lequel elle est décrite un rapport constant. Ainsi l’on conclut de ce qui précède que lorsqu’un point matériel en mouvement n’est soumis à l’action d’aucune force, ou n’est sollicité que par une force quelconque émanant d’un centre fixe , ce point se meut constamment dans un plan passant par ce centre fixe , de manière que le rayon vecteur dirigé du centre fixe sur le point mobile décrit

des aires égales en temps égaux. Les constantes n,rn,l représentent les doubles des aires décrites dans chaque unité de temps par les projections du rayon vecteur sur les plans des xy, des xz et des^s, et l’aire décrite par le rayon vecteur même dans l’unité de temps est

- yr+m‘+n'

Les cosinus des angles formés avec les axes des x , des y et des z par la normale au plan dans lequel se meut le point matériel sont représentés par

V r+m'+n' V l'+nS+ri l^T+m'+n’

Réciproquement , lorsqu’un point matériel se meut dans un plan de manière que son rayon vecteur dirigé sur un point fixe pris dans ce plan, décrit des aires égales dans chaque unité de temps , la force par laquelle ce point matériel est sollicité (si elle n’est pas nulle) est nécessairement dirigée constamment dans le sens du rayon vecteur : c’est ce qu’on nomme une force centrale.

Conservation de la force vive.