FORCES QUELCONQUES ET ASSUJETTI A SE MOUVOIR SUR UNE
LIGNE OU SUR UNE SUIi^CE DONNÉES.
146. Soit d’abord un point matériel sollicité par des forces quelconques , et assujetti à se mouvoir sur une ligne quelconque donnée et maintenue dans une position fixe. La question consiste l°à déterminer le mouvement du point matériel ; 2° à connaître l'effort qui sera exercé contre la ligue maintenue fixe, dans chacune des positions occupées successivement par ce point.
Quelles que soient les forces appliquées au point matériel , on peut toujours les remplacer par une seule force R . dont nous représenterons comme dans le n“ 141 les composantes dans le sens des x, desj' et des z, par
X, Y, Z. Et nous remarquerons en premier lieu que cette force R se décompose nécessairement elle-même en deux autres , l’une P dirigée dans le sens de la tangente menée à la courbe donnée dans le lieu où se trouve le point matériel, et l’autre Q perpendiculaire à cette tangente. Cette dernière force Q est évidemment détruite par la résistance de la courbe , et n’exerce aucune action pour produire le mouvement du point matériel. La force P, au contraire , n’exerce aucune action sur la courbe , et imprime au point matériel son mouvement. En désignant d’ailleurs par x,y,z les coordonnées du lieu où se trouve le point matériel à la fin du temps t , et par ds l’élément de la courbe qui répond aux éléments dx,dj,dz parcourus dans le sens des axes pendant le temps dt par le point matériel , on aura évidemment
d. r dy „ dz
Ml r ■ jpqrV*? tiw
Quant a la force Q, ses composantes dans le sens des axes des.r, des et des z seront respectivement
y pl£i
V ds '
P dy ds ’
clz
Ainsi les forces P,Q dont il s’agit seront facilement exprimées lorsqu'on aura donné les forces X, Y, Z.
En second lieu , à l’égard de la résistance opposée par la courbe , dont la direction est nécessairement perpendiculaire à cette courbe , on peut également la concevoir décomposée en deux forces : la première détruit la force Q et lui est égale et directement opposée ; la • seconde est une force inconnue , à l’égard de laquelle on sait seulement que sa direction est perpendiculaire à la courbe, et qu’il s’agit de déterminer. Nous désignerons par N cette seconde force , et par /, m, n les angles que sa direction forme avec les axes des x , des / et des z. L’existence de la partie N de la résistance de la courbe est l’ellel de l’inertie du point matériel , qui tend constamment à sortir de la courbe dans laquelle il est retenu, et à continuer son mouvement en ligne droite avec sa vitesse actuelle. De plus, comme la force Q et la partie de la résistance qui lui est opposée se détruisent mutuellement , le mouvement du point matériel est uniquement produit ou modifié par les forces P et N. La force N se déterminera évidemment par cette condition que le point matériel étant supposé entièrement libre, et sollicité par les deux forces P et N, ce point prenne en vertu de faction de ces deux forces le même mouvement qu’il prend effectivement dans la courbe donnée.
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Cela posé , remarquons que la vitesse du point maté-
ds
riel «à la fin du temps t est — , dont les composantes dans
le sens des axes des x, des y et des z , sont respectivement
ds dx dsdydsdz t| ■
dt ds ’ dt ds ’ dt ds
Ainsi le point matériel acquiert pendant l’élément du temps dt dans le sens des axes des vitesses respectivement égales aux diflérentielles de ces quantités , c’est-àdire à
d's dx ds , fdx\ d's dy ds fdyy
dt ds
ds ds dy ds (dy\
dt \dsJ ’ dt ds^~ dt \ ds J*
d's dz ds ( dz~\ dt ds dt >■ ds l ’
et ces diflérentielles étant divisées par dt donneront les vitesses acquises à la fin du temps t, pendant l’unité de temps dans le sens de chaque axe. Il résulte de là, conformément aux principes établis dans l’article précédent , qu’en désignant par ni la masse du point matériel supposé libre et sollicité par les forces P et N, on a pour exprimer les conditions de son mouvement les équations
r d‘s dx ils ,( dx\ mi -rrfc 1- .TT ~T J
dt'
ds J
ds
j d's dy ds / dy\
\Jïê 27 + dt' ' dst „
=P , q-Ncos/ ds
=P-^— f-Ncos.m ds
d's dz ds
m| de ds +dt
n dz
P-r4-J\ros.«.
as , s ■
1V7. îVous remsirij lierons que la direction de la foret IN étant perpendiculaire à ia courbe on a .nécessairement la relation
it •.
: :> . l&Ai
(lx , dy dz
—COS./+ — cos.m+ — cos./i =0.
as Us ds
De plus, les q uan ti tés d ^ d(^j^ sont
respectivement proportionnelles aux cosinus des angles formés avec les axes par le rayon du cercle osculateur de la courbe, comme on le voit par le n° 237 des Leçons d’analyse : donc on a également la relation
dx ( dx\ dy ( dy\ dz , ( dz\
^■d\d7J+ts-d\^)+^-d\dl):=0-
D’après cela , si l’on multiplie respectivement les
, , , , dx dy dz . ,
équations precedentes par et si onles ajoute.
on trouvera
ds ds ds d’s
Le point matériel sollicité par la force P, qui est constamment dirigée dans le sens de la courbe, se meut donc en suivant cette courbe comme il se mouvrait en suivant une ligne droite dans le sens de laquelle la même force P serait constamment dirigée.
Cette équation peut d’ailleurs s’écrire
dsd s
m — — =P ds.
dt
ou bien encore
dsd’s
m -y- = Xdx+Ydy\ Z dz, dt‘
dsd' s
m — — = l\ar,
dr désignant dans le n° l’espace parcouru pendant l’élément du temps dt par le point matériel suivant la
direction de la force R dont X, Y, Z sont les composantes. On en tire comme dans ce numéro
d’où l’on conclut que les propositions énoncées dans les
n°* 144 et 145 subsistent également dans le cas où le point matériel est assujetti à se mouvoir dans une courbe quelconque maintenue dans une position fixe. Si le point matériel n’est sollicité par aucune force, sa vitesse se conserve sans altération. De plus , l’accroissement de la force vive , qui a lieu dans un temps donné , est toujours égal au double de la quantité d’action imprimée pendant ce temps par la force qui agit sur le point matériel , ce qui lient à ce que les forces qui représentent la résistance de la courbe produisent toujours des quantités d'action nulles , puisque les espaces décrits dans chaque élément du temps par le point matériel suivant la direction de ces forces ont toujours des valeurs nulles.
tenue , les trois équations posées à la fin du n° 146 se réduisent à
et peuvent s’écrire, désignant le rayon du cercle oscu-
lateur de la courbe
"l~\?t)ds-a\Ts
KdlJ ds \ds
J=Ncos.C
)=Ncos./n,
: ^ L ' rM
)=Ncos.n.
» -r- M ft "
En élevant ces équations au quarréet les ajoutant, on trouvera
et par conséquent
ou en ayant égard aux expressions de cos. 1, cos.g, cos.v données n" 237 des Leçons d’analyse ,
cos,l = cos.l, cos.m = cos.k, cos./i =cos.v.
Ainsi la direction de la force N coïncide constamment avec celle du rayon du cercle oscillateur de la courbe dans laquelle se meut le point matériel , et cette force agit de manière à tendre à rapprocher ce point du centre de courbure. Elle dépend uniquement de la vitesse du t’oint matériel et de la grandeur du rayon de courbure qui ont lieu dans chaque point de la courbe.
On voit d’après ce résultat que la tendance du point matériel à conserver la direction actuelle de son mouvemenl , produit contre la courbe dans laquelle ce point est retenu un ellort dirigé constamment dans le sens du rayon de courbure de celte courbe. Cet ellort, appelé force centrifuge parce que le point matériel tend tou-
jours à s’éloigner du centre de courbure , est détruit par la résistance de la courbe. Sa valeur est représentée en
unité de poids par l’expression m— f-y-j . en sorte qu’il
est capable d’imprimer au point matériel , dans l’unité
, c’est-à-dire égale
anquarréde la vitesse actuelle du point matériel divisé par le rayon de courbure de la courbe.
Remarque relative au mouvement d'un point matériel entièrement libre.
1Ü9. Lorsqu’un point matériel, par l’efiet d’une cause quelconque , se meut en ligne courbe, la force centrifuge subsiste. Si ce point est retenu dans une courbe donnée , cette force centrifuge est détruite par la résistance de la courbe. Si le point matériel se meut librement , la force centrifuge doit être détruite par les forces mêmes qui sont appliquées à ce point. On conçoit d après cela que le mouvement libre d’un point matériel doit être assujetti à cette condition , que les forces qui lui sont appliquées puissent toujours être remplacées par deux forces seulement , l’une dirigée dans le sens de la tangente et l’autre dirigée dans le sens du rayon de courbure de la ligne qu’il décrit, dont la première produise le mouvement du point matériel dans le sens de cette ligne, et dont la seconde détruise la force centrifuge.
En effet , supposons la force R appliquée au point matériel décomposée en deux autres forces, l’une R' dirigée suivant la tangente de la courbe , l’autre R" dirigée
de temps , une vitesse égale
Oigitizëd by
* Tf
— iü3 —
suivant le rayon de courbure. Les équations générales du n" 142 deviendront
' c/.ç ris \
rfs /’
et il s’agit d’en déduire les valeurs de R' et R". Or en multipliant d’abord chaque équation par le coefficient de R' dans cette même équation et ajoutant , le ternie contenant R" sera nul puisque la direction de cette force forme avec celle de R' un angle droit , et il viendra simplement
t dx.d'x+dy.cTy+dz.cPz
de'
ds
:R’ 011 "* dé
en sorte que la force R' ne dillère point de la force qui a été désignée par P dans le n® 146.
150. Si l’on multiplie ensuite chaque équation par le coefficient de R" dans cette même équation, et si on les ajoute, le coefficient de R' sera nul à son tour, et l’ou aura
ou
ni
ou enfin ( en ayant égard à l’expression de p donnée n" 237 des Leçons d'analyse ), , À J* £
%• a. ^ ^ T il* • -
lu force R" est donc égale à celle qui a été désignée par N dans le n° 14-6.
Mouvement d'un point matériel sur une surface donnée.
151. Considérons maintenant un point matériel sollicité par des forces quelconques et assujetti à se mouvoir sur une surface donnée maintenue dans une position fixe . La question consiste à déterminer 1° la ligne décrite par le point matériel sur la surface (ligne que l’on nomme en général trajectoire ) et le mouvement du point dans le sens de cette ligne ; 2° la pression exercée par le point matériel contre la surface, qui est nécessairement dirigée perpendiculairement à cette surface.
Nous désignerons , comme dans le nu 146 , par R la force agissant à la fin du temps t sur le point matériel, çt par X, Y, Z les composantes de cette force dans le sens des axes des x , des^ et des z. L’équation de la surface que le point est assujetti à décrire sera représentée en général par
et les coordonnées de la trajectoire devrontsatisfaire à cette équation. Nous désignerons par N la résistance de la surface à la pression qu'elle supporte , et nous remarquerons que la force R se décompose nécessairement en deux autres, l’une dirigée perpendiculairement à la surface , et qui se trouve détruite ; l’autre dirigée dans le plan tangent à la surface, et qui seule agit pour produire le mouvement du point matériel. La force N doit
dabord détruire la première des deux forces dont oli vient de parler; de plus, elle doit balancer l’elfet de l’inertie du point matériel qui tend sans cesse à sortir de la surfacedans laquelle il est retenu. On saitque la direction de la force N est perpendiculaire à la surface, et on en déterminera complètement la valeur d’après cette condition que le point matériel supposé entièrement libre étant soumis à l’action des deux forces R et N, ce point prenne le même mouvement qu’il prend effectivement dans la surface donnée.
D’après cela, en se rappelant les expressions générales des cosinus des angles formés avec les axes par la normale a la surface qui ont été données n° 217 des Leçons d analyse , on posera les équations.
dz
dx
rn— =X— N dC
dx
ni — = Z+N
dC
dz
dÿ
VWW7'
Hiv
qui , réunies à l’équation de la surface z — , doi- . # . ;
vent servir à déterminer le mouvement du point maté- , riel et la résistance de la surface désignée par N. Dans » . ‘ • / ces é(juations, les coordonnées x ,y,z appartiennent au . * •" '
.* point de la surface où se trouve place le point w *
.• ». . i. » ÎS -.V. . V *
• ,.v . y.id jt ’
la fin du temps t ; — et ~ représentent les valeurs que
prennent en ce point les coefficients différentiels de la fonction z déduits de l’équation z=J(y,x).
152. Cela posé, soit ds l’élément de la trajectoire du point matériel décrit pendant l’élément du temps dt , dont les projections sur les axes sont représentées respectivement par dx,dy,dz. Cet élément forme un angle droit avec la normale à la surface. Par conséquent, si l’on multiplie respectivement les équations précédentes dx dy dz
par et s* on *es ajoute, le terme contenant N
disparaîtra, et il viendra
d.r.d ‘ x+dyd‘y+dzd‘ z dC :
Xdx+Y dy+Zdz ,
ou (comme au n"!!^),
d'où l’on déduit
dstPs
Ainsi les propositions des n°* 144 et 145 relatives au mouvement d’un point matériel libre conviennent également au mouvement d'un point matériel assujetti à se mouvoir dans une surface donnée. L’accroissement de la force vive dans un temps donné est toujours égal au double de la quantité d’action produite par les forces agissant sur le point matériel. Si le point matériel n’est sollicité par aucune force, sa vitesse initiale se conserve sans altération.
153. Quant à la ligne décrite par le point matériel, nous remarquerons qu’cn éliminant N entre les trois équations du n* 151, on trouve les deux suivantes ,
dx
rPy+ -j- dz= dy
dtix+£z)
dans lesquelles on pourra remplacer m Par l’ex"
pression R dr trouvée ci-dessus. Mettant de
plus à la place de z sa valeur en x et y tirée de l’équation de la surface, les deux équations précédentes ne contiendront plus que ces deux variables. Elles pourront servir à déterminer la projection de la trajectoire demandée sur le plan des xy lorsque la vitesse initiale du point matériel aura été donnée en grandeur et en direction.
154. Enfin, quant à la pression normale représentée par N , si l’on multiplie chacune des trois équations du n° 151 par le coefficient de N dans cette équation, et si l’on ajoute , il viendra
*x-iï+z
dx dy
t^-d’x+ep-dy—d,z
dx dy
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Le premier terme représente évidemment une force égale et directement opposée à la composante de la force R dirigée dans le sens de la normale à la surface. A l’égard du second terme , il peut s’écrire
1 l ds V' \dx dy )
" * ?' Or, d’après les expressions des cosinus des angles formés par le rayon de courbure p d’une courbe avec les axes , qui ont été données n" 236 des Leçons d’analyse, si l’on nomme i{/ l’angle formé par le rayon de courbure de la trajectoire avec la normale à la surface , on aura
co..J=i
ou, en eilectuant lesdiliérentiations indiquées , et observant que dz=~dx+^j-dy, puisque les coordonnées x,y,z doivent satisfaire à l’équation de la surface.
eos.|=
^-(Tx+^f-cPy—eTz p a jr dy
On voit donc que le second terme de l’expression précédente de pi peut s'écrire . .
