TT

et par conséquent que ce terme représente une force égale et directement à la force centrifuge due au mouvement du point matériel dans sa trajectoire décomposée dans le sens de la normale à la surface.

Ainsi la pression normale soullerte par la surface est la somme de deux forces , dont l’une est la composante perpendiculaire à la surface de la force agissant sur le point matériel, et l’autre la composante également perpendiculaire à la surface de la force centrifuge dont ce point est animé , force qui sera connue quand la figure de la trajectoire sera déterminée.

155. Il y a deux cas particuliers qui doivent être considérés à part, celui où la force R est constamment dirigée suivant la normale à la surface sur laquelle se meut le point matériel, et celui où cette force est nulle. On a dans le premier cas dr = o, et dans le second cas l’on a R=o. L’équation obtenue n° 152 se réduit donc

^dt~dt’ d’°^ ^'on conc^ut tfue 1“ v‘‘êsse initiale du

point matériel se conserve sans altération. 11 en résulte ds

que le rapport -jj est constant, ou que I on a 0^=0.

15G. Les équations de la trajectoire obtenues n° 153 deviennent dans les deux cas dont il s’agit ,

clz

d‘y+-j-diz—0\

et elles indiquent que le plan osculateur de la trajectoire est ici un plan normal à la surface. En elfet, en mettant pour d'x et d'y les valeurs données par les équations précédentes dans l’expression fie cos } du n° 154, cette

ejyndjsion devient f • '

cos.

Or, lorsque d'

dz V fdzy ,

ite) +WJ +l'

la valeur de p se réduit à.

ds‘

c’est-à-dire en mettant également pour if.r et d'y les valeurs données par les équations précédentes , à

ds'

Donc nous avons ici cosi!< = — 1. Ainsi , la direction du rayon de courbure de la trajectoire coïncide constamment avec celle de la normale à la surface.

157. 11 est évident d’après cela que la pression IN exercée contre la surface est ici la somme de la force R et de la force centrifuge du point matériel , puisque ces deux forces sont également dirigées suivant la normale et, par conséquent, cette pression, si aucune force n’agit sur le point matériel, se réduit à la force centrifuge.

Le caractère géométrique consistant en ce que le plan oscillateur de la trajectoire est constamment normal à la surface , appartient à la courbe que l’on obtiendrait si l’on entreprenait d’appliquer sur la surface une bande d’une largeur très-petite sans duplicature. Il appartient également à la ligne suivant laquelle s’appliquerait sur la surface un fil tendu entre deux points donnés , abstraction faite de tonte résistance provenant du frottement. Enfin, le caractère géométrique dont il s’agit

Sgÿe ]

convient encore aux lignes tracées sur la surface de la terre par des alignements.

X. Mouvement d’un poiNt matériel pesant sur une courbe DONNÉE.

158. Quelle que soit la ligne décrite par un point matériel pesant, le mouvement de ce point est assujetti à la condition exprimée par l’équation

mv‘ — mv*=2mg[z — z„) ,

z représente la distance du point matériel au plan horizontal des xy au bout du temps t , et v la vitesse de ce point au bout de ce même temps; Zo et sont les valeurs initiales de z et v. L’ordonnée z est comptée de haut en bas, dans le sens de l’action de la gravité ; g représente la vitesse que la gravité imprime dans l'unité de temps aux corps qui cèdent librement à son action. Cette équation n’est que l’application du principe établi dans le n° 14-7, et qui consiste en ce que la force vive acquise par le point matériel dans un temps donné est toujours numériquement égale au double des quantités d’action produites dans le même temps par les forces qui sollicitent ce point.

Si la vitesse initiale est nulle, on a simplement

S=2 'g(z — c„). IWf

La vitesse acquise par le point matériel ne dépend donc nullement de la figure de la courbe, mais seulement de *la différence de niveau entre les points de départ et d’ar-

rivée. Elle est toujours due à cette différence de niveau, comme si le point était tombé verticalement. [Voyez n° 115.)