Des équations

nous déduisons

dxcPx+dyd’y

(Pr/x+Q^jJ

Üim

et en intégrant

m 2^ (Pdx+Qdjr);

dt ’

l’intégrale du second membre étant prise depuis les valeurs correspondantes à un instant donné.

Changeant les coordonnées rectangulaires x , y en coordonnées polaires, appelant r le rayon vecteur AM, et w l’angle de ce rayon avec l'axe des x, ce qui donnera

j-=rcos.M, y =rsin.w;

et nommant F la résultante des deux forces P , Q , que l’on sait être dirigée suivant MA , en sorte que

P=Fcos.&>, Q = Fsin.w; l’équation précédente devient

dt1

Et comme l’on sait par la première loi que l’aire décrite par le rayon vecteur AM dans le temps dt est constante, on peut écrire , C étant une constante,

. r' ,do>=Cdt;

ce qui change cette équation en

On en déduit

db) =

C dr

ijÊ-4*4ri

Digilized by Googl

9gmr S

ce qui déterminerait la figure de l’orbite si la force centrale F était donnée en fonction de la distance r.

En diiiérentiant l’équation précédente, elle donne

F = mC‘

dr

ce qui déterminera la force F lorsque la figure de l’orbite sera connue.

187. D’après la loi énoncée, la figure de l’orbite est ici une ellipse dont un des foyers est en A. L’équation de cette courbe est donc

l+e.COS.(w — 'ZD')’

en représentant par *-

a le demi-grand axe de l’ellipse ; ' .

e l’excentricité;

-z® l'angle formé par le grand axe avec l’axe des .r. r •&=. On déduit de cette équation ,

fl rfr y e’sin.*(» — <z®) 2 11

^ fl» J = a\ i—é‘y ~ar{i— e’)~ 'âî(ï^ër)'

D’après cela , l'expression de F du n° précédent devient

mC’

d’où I=-

m ar‘{\—é‘)

La vitesse — , que la force dirigée suivant MA qui pro-

duit le mouvement de la planète pourrait imprimer à

celte planète dans l’unité de temps, est donc, dans toute l’étendue de l’orbite, proportionnelle à A.

Troisième coi. Les quarrés des temps des révolutions des planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites : d’où l’on conclut que les mouvements des diverses planètes sont produits par une même force dont l’intensité varie en raison inverse des quarrés des distances de ces corps au soleil.

188. Les aires décrites par les rayons vecteurs étant proportionnelles au temps, l’équation r.du = C.dt, dans laquelle r.'d- > représente le double de l’aire décrite dans le temps dt , donne

Zv.a'V !— e'=CT,

en désignant par T le temps de la révolution de la planète: Mettant dans l’expression de ~ du n" précédent la

valeur de C qui résulte de cette équation, il viendra

e raPPort étant constant pour les diverses planètes

d après la loi énoncée, la valeur de — pour l’unité dt

distance est donc aussi constante. Donc la force émanant du soleil, qui régit les mouvements des planètes, agit également dans toute l’étendue du système planétaire sur des masses égales placées à égales distances du soleil. Cette force ne varie que par le changement de la distance. $

Principe île la gravitation universelle.

189. Les mouvements des satellites autour des planètes étant à fort peu près assujettis aux mêmes conditions que les mouvements des planètes autour du soleil, les résultats précédents conduisent à considérer le3 mouvements des astres comme étant régis par une force d’attraction mutuelle existant entre toutes les substances matérielles , proportionnelle a la masse des parties qui s’attirent , et réciproque au quarré de la distance actuelle de ces parties. Cette hypothèse, développée par le calcul , donne les lois du système du monde.

La force d’attraction qui s’exerce entre deux corps planétaires doit être regardée comme émanant de toutes les parties de ces corps. Mais leur figure est à fort peu près sphérique, et il sera démontré par la suite que la force d’attraction dont il s’agit peut être supposée émaner du centre des planètes, comme si toute leur masse était concentrée dans ce point. D’après cela, considérons deux corps planétaires dont les masses sohl respectivement M et m, la distance de leurs centres étant désignée par r. La force avec laquelle chacun de ces corps est attiré vers l’autre, exprimée en unité de poids, doit, conformément au principe que l’on vient d’énoncer , être

représentée par , en désignant par y un coefficient

constant. Ainsi, ces corps étant supposés céder librement à cette attraction, le premier s’approchera du second en

acquérant la vitesse dans l’unité de temps, et le ser

cond se rapprochera du premier eu acquérant la vi-

tesse -pp dans l’unité de temps. Donc, si l’on considère

Je mouvement relatif du second corps par rapport au premier, c’est-à-dire le mouvement par lequel la second corps s’approche du premier regardé comme fixe dans l'espace , il faut regarder ce second corps comme acquérant dans l’unité de temps la somme des deux vitesses

précédentes , c’est-à-dire la vitesse ^^7^.

190. D’après ce qui précède, M désignant la masse du soleil, m la masse de la planète et /■ la distance actuelle des centres de ces deux corps, la force à laquelle sera dû le mouvement de la planète par rapport au soleil doit être capable d’imprimer à la masse m de la planète la

/‘.(M+/ra) , ,

vitesse ; dans I unité de temps. Un devra donc

rem

placer — par dans 1 équation du n° 188 ,

qui

i deviendra ainsi

Va»

TJ

11 paraît donc que dans l’hypothèse de la gravitation

universelle le rapport — , n’est pas rigoureusement le

même pour toutes les planètes. Si les observations indiquent une valeur constante pour ce rapport , c’est parce que les masses des planètes sont toutes très-petites par rapport à la masse du soleil.

191. La connaissance de la grandeur du rayon de la terre, et de l’intensité de la pesanteur à sa surface, donne les moyens de déterminer les rapports des masses de toutes les parties du système solaire, et l’intensité de la

pesanteur dans les divers points de ce système. Soit m la masse de la terre, p la masse d’un corps placé à une petite distance au-dessus de sa surface , et p le rayon de cette surface. Ce corps, d’après le n° précédent, tendra à s’approcher du centre -de la terre en acquérant dans l’unité

i i • f in+u) . f.m . *

de temps la vitesse * ; — ou simplement -r- si f* est

très-petite par rapport à m. Donc iXgjàjQj ■

g désignant la vitesse acquise dans l’unité du temps par les corps graves tombant à la surface de la terre ( en faisant abstraction de l’effet du mouvement de rotation propre de la terre et supposant la terre parfaitement sphérique ). En comparant cette équation à la précédente , on a

m gc, T’ rn gp’T3

M+w 4-Ja> ’ jVf 4k*<i3— g'p’T’1

expression du rapport de la masse du soleil à celle de la terre.

192. Soit maintenant une autre planète dont m' est la masse, a le grand axe de l’orbite, T' le temps de la révolution ; l’équation du n° 190 donnera

ou en mettant pour^/Ia valeur —

m —in — JVI .

’Okÿfeed lar - >gk

— l'JO —

Le rapport entre la masse m d’une planète qui a un satellite et la masse M du soleil peut être déterminé d’une autre manière. Soit u la masse du satellite, a le demi-grand axe de l’orbite qu’il décrit autour de la planète, t le temps de sa révolution. L’équation du n° 190 appliquée au système de ces deux corps donnera

et, comme l’on peut négliger m par rapport à M, et n par rapport à m, ou déduit de ces deux équations

aVF

193. Pour déterminer la vitesse g 1 qui serait imprimée dans l’unité de temps aux corps tombant à la surface d’une planète dont la masse serait m1 et le rayon de la

surface g-/, on remarque que l’équation J-iT- = g rela-

tive à cette planète, étant comparée à l’équation semblable relative à la terre posée n° 191 , donne