En différentiant les trois équations du n° 218 , on a

dx

dx

Td.-+dT.-=-ds.pcos.a,

T d. % +dT.%=—ds.pcos.Z.

as as

T d. ds.pcos.y.

as as

Si l’on ajoute ces équations après les avoir multipliées

dx dy dz

respectivement par ; et si Ion observe que

d’où

dx * dy' dz’

~dF+ ds'^d?

dx dx dy dy dz dz

ds ’ ds~^~ ds ds ds ds

il viendra

— dT =pcos . a . dx-{-pcos . 6 . dy-\-pcos .y.dz.

Ce résultat donne la loi d’après laquelle la tension varie d’un point à l’autre du fil. L’accroissement infiniment petit de la tension est égal à la force appliquée h l’élément du fil décomposée suivant la direction de cet élément.

221. Pour faire quelques applications des résultats précédents, on supposera en premier lieu que la force

-7VWÇ T*- — iïr.

•Tfl

désignée par /> est dirigée partout perpendiculairement à la courbe affectée par le fil. La valeur de dH devient alors nulle,. et par conséquent la tension doit- être constante dans toute l’étendue du fil. De plus les trois équations du numéro précédent , qui se réduisent à

, dx

T d. — = — ds.p cos. a , dv

T d. — — — ds.ncos.% , ds

T d. — — ds.pcos.y ,

montrent que la condition de l’équilibre du fil exige que la force qui lui est appliquée soit dirigée dans le plan osculateur de la courbe du fil , ou dans le sens du rayon de courbure de cette courbe , puisque les cosinus des angles a, 6, -/doivent être respectivement proportionnels dx dv dz

aux quantités ^m"ds ^ *e n° des

Leçons d'analyse). En remplaçant donc ici cos. a, cos. 6, cos. 7, parles expressions des cosinus des angles formés avec les axes par le rayon de courbure, dont nous désignerons, la longueur par p , ces trois équations donneront

T=—PP> ou P= •

Ainsi quand un fil tendu est appliqué sur une surface fixe , la valeur de la pression exercée sur cette surface, rapportée à l’unité de longueur, est égale en chaque point du fil à la tension divisée par le rayon de courbure. Cette proposition s’applique à diverses questions importantes dans la Mécanique pratique.

La proposition dont il s agit peut être déduite immédiatement du résultat énoncé n° 215, en observant que les points d’application des forces P, étant supposés placés à une distance infiniment petite les uns des autres , on a

0 1 du 1 ds ~Pi=pds , cos. -2=s,n.-

222. Considérons maintenant le cas particulier où la force désignée par p est supposée constante et dirigée toujours parallèlement h une même ligne verticale , cas dans lequel la courbe funiculaire a reçu le nom de chaînette. Toutes les parties de celte courbe (fig. 27 ) seront placées dans un même plan vertical , conformément à ce qu’on a vu n°2t6. Nous admettrons que ce plan est celui des xy, que la direction de la force p est parallèle à l’axe des y , et de plus que la première extrémité du fil est placée à l’origine des coordonnées. Enfin nous désignerons par P„ et Pa les composantes verticales " des tensions T0 et Ta qui ont lieu aux deux extrémités du fil ; et par Q la valeur commune des composantes horizontales de ces tensions, laquelle, conformément à la remarque faite dans le n° 216 , est aussi la valeur de la composante horizontale de la tension d’un élément quelconque du fil. Les équations du n°218 se

réduiront ici à

et 1 équation du n° 220 deviendra

dT=—pdy. (C)

Pour obtenir de la manière la plus simple l’équation de la courbe formée par le fil, on remarquera que l’équation (c) donne en intégrant

T =consl. — py-

et comme l’on a pour le point A, y = 0 etT=To , il vient T=To— py- (d)

En substituant cette expression de Tdans l’équation (a), on trouvera

d’où l’on tire

Qdr

V' (T0 —py)'—.Q>

dx=± ■

Le signe supérieur doit être pris dans la partie descendante de la courbejusqu’au point le plus bas, et le signe inférieur dans la partie montante au delà de ce point. En intégrant , il vient

x=const.+ Q .1 [to— pyÿV (To-^—Q’l f P J

et en déterminant la constante parla condition que x=Q quandj^=0.

2 ,T°— py+V (To-^RT)3 — Q’

n ’ T TÜ •

En repassant des logarithmes aux nombres , on obtient

px

T-py= l (T„ — P0) e°+i (T„+P0) e Q, (g)

qui est l’équation cherchée de la chaînette.

223. Si l’on désigne par h etf l’abscisse et l’ordonnée du point le plus bas O de la courbe , dans lequel on

dy ,

a = 0 , les équations (e) et (J) donneront

i Q » Q , To-Q