Si la courbe est représentée par deux équations

appartenant à deux surfaces quelconques dont cette courbe est l’intersection , on trouvera , par le n° 229 des Leçons d’analyse , pour l’équation exprimant les conditions de l’équilibre

\dy dz dy dzJ

\dx dz

d F d/y dx dz ,

df dF dy

rdF df df d,F\

\d x dy dx dy)S- C°S y~°-

S.Pcos.?

Principe des vitesses virtuelles considéré dans l’équilibre d’un point matériel.

28. Le principe des vitesses virtuelles , considéré dans l’équilibre d’un seul point matériel, consiste dans la proposition suivante : Le point M étant soumis à l’action de plusieurs forces P dirigées arbitrairement, admettons que ce point se déplace , et décrive dans une direction quelconque une ligne droite infiniment petite dont nous désignerons la longueur par Ss, S étant un signe de dilFérenliation. Projetons ensuite cette ligne os sur les directions des forces P : chaque projection mc-

% feaSn

surera l’espace parcouru par le point M dans le sens de la direction de chacune des forces , et nous appellerons moment de la force P le produit de cette force par l'espace parcouru dans le sens de sa direction , en regardant ce produit comme positif quand l’espace se trouvera décrit dans le sens suivant lequel la force tend à entraîner le point matériel , et comme négatif quand l’espace se trouvera décrit dans le sens contraire. Cela posé, la proposition dont il s’agit consiste en ce que le point M ne peut être en équilibre à moins que la somme des moments des forces P ne soit constamment nulle , quelle que soit la direction suivant laquelle ce point s’est déplacé; et réciproquement l’équilibre subsiste nécessairement si la somme «les moments des forces est nulle pour tous les déplacements possibles du point matériel.

Il importe de remarquer d’ailleurs que lorsqu’il s’agit d’un point matériel entièrement libre , la direction delà ligne infiniment petite ds est entièrement arbitraire. Mais quand il s’agit d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface donnée , la ligne ds ne peut plus être dirigée que dans le plan tangent à cette surface j et quand le point matériel est assujetti à demeurer sur une courbe donnée, la ligne ds ne peut plus être dirigée que dans le sens de la tangente à cette courbe.

29. Pour démontrer cette proposition importante , il sufiil de remarquer qu’en supposant l’espace ds parcouru dans le sens de la ligne quelconque qui forme avec les axes des x , desjp et des z les angles X,u,v, et multipliant par foies deux membres de l’équation du n° 21 , il vient Ufo(cos.a.co$.).4'cos.&.cos.p+cos.c.cos.v)

= S.P.fo(cos.a.cos.).+cos.£.cos.g+cos,y.cos.y).

Or, la quantité 8s ( cos.a.cos J-fCOS.e.cos.pKos.y.cos.v) est la projection de fa sur la direction de la force P, et la quantité 8s (cos.a.cos.M-cos.è.cos.ft+cos.c.cos.*) est la projection de Ss sur la direction de la résultante R : donc l’équation précédente exprime en général que le moment de la résultante de plusieurs forces appliqûées à un point matériel est égal à la somme des moments des composantes.

Mais lorsque le point matériel est en équilibre , on a R=-0 s’il est entièrement libre; et l’on a

cos.«. cos A -+- COS .{t +COS.C. cos.v = 0

si ce point est assujetti à se mouvoir dans une surface ou dans une ligne donnée , puisque la résultante est alors nécessairement dirigée perpendiculairement à la surface ou à la ligne. Donc on a dans tous les cas de l’équilibre d’un point matériel

S.P.os(cos.a.cos.).+eos.S.cos.f»+cos.y.cos.v)=:0,

et réciproquement si cette équation subsiste, l’équilibre des forces P est assuré.

30. Nous représenterons dans la suite par Sp la projection sur la direction de la force quelconque P de l’espace fa décrit par le point matériel , et par Sr la projection de os sur la direction de la résultante R; en sorte qu’on aura

Sp— fa(cos.a.cos.>+cos.6.cos.fi+cos.'y.cos.v £r==fa(cos.a.cos.).+cos.&.cos.pfcos.c.cos.v).

L'équation exprimant que le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes s écrira alors

Rfa=rS.PJ/7,

et l’on aura pour exprimer les conditions de l’équilibre des forces P,

On considère dans ces équations p et r comme représentant les distances du point matériel M à certains points fixes pris sur la direction des forces P et R. Ces distances sont des fonctions des coordonnées x,y,z du point M. Les quantités infiniment petites vp, Sr, représentent les variations que les distances p et r ont subies lorsque le point M s’est déplacé de la quantité infiniment petite vs , déplacement qui répond lui-même à des variations Sx,8y,3z subies par les coordonnées de ce point. Les valeurs des forces P sont également considérées en général comme données en fonction des coordonnées xj-, z , appartenant à la position actuelle du point matériel.

Il est aisé d’ailleurs de reconnaître que la seule équation (A), à laquelle on joindra les équations exprimant les conditions du déplacement du point matériel , s’il n’est pas entièrement libre , suffit pour donner les conditions del’éqnilibrc, telles qu’elles ont été obtenues dans les n0ï 19 et suivants.

En ellet , remarquons que 3p étant la projection de& sur la direction de la force P, on a

vp — fotcos.Lcos.a+cos.u.cos.S+cos.v.cos.y) ;

Mais

3s.co3.ï=Sx, Ss.cos.[>=3y, vs.cos.v— Sz -■ donc

3p=3x. cos. a+Sy.cos.G+oz. cos. y,

en sorte que l’équation (A) peut s’écrire

Cela pose , supposons en premier lieu le point matériel auquel les forces P sont appliquées entièrement libre. Les trois variations Sx,3y,3z de ses coordonnées correspondanles à un déplacement possible de ce point seront entièrement arbitraires. Donc l’équation précédente ne peut exister en général qu’autant que l’on aura séparément

S.Pcos.a=0, S.Pcos.6=0, S.Pcos.7 = 0,

qui sont les trois équations de l'équilibre d’un point matériel libre trouvées dans le n° 22.

Supposons en second lieu le point matériel assujetti à se mouvoir sur une surface représentée par l’équation

F(jr,r,s) = 0,

à laquelle doivent satisfaire les trois coordonnées de ce point. On aura alors entre les variations 3x,Sy,Sz la relation qui se déduit de l’équation précédente en la difl’érentiant, et remplaçant dx , dy et dz par Sx, Sy et Sz , relation qui est

JF , JF JF,

-r -&r+— 0/+ — (jZ=0.

dx dy dz

Or, si l’on prend dans cette équation la valeur de l’une quelconque des variations 3x,3y,5z; qu’on la substitue dans l’équation (a), et que l’on égale séparément à zéro les termes affectés des deux variations restantes qui demeurent arbitraires, on retrouvera les équations qui ont été données dans le n° 25.

Admettons enfin que le point materiel soit assujetti à se mouvoir sur une courbe donnée représentée par les équations

les variations Sx,Sy,Sz devront alors satisfaire aux deux équations dillérentielles

df df df

-j- ox-H-j-iî>-+-j-as=0, — «+ 7— Sjr-r—3z=0.

dx dy dz r' r,~

dF.

dx "

dï

rfP.

Si l’on prend dans ces équations les valeurs de deux quelconques de ces variations , et que l’on substitue ces valeurs dans1 l’équation (a) , la troisième variation disparaîtra, et l’on trouvera pour équation finale, exprimant les conditions de l’équilibre, celle qui a été donnée dans le n° 27.

III. Composition et équilibre de plusieurs forces parallèles APPLIQUÉES A UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ASSUJETTIS ENTRE EUX d’üNE MANIÈRE INVARIABLE.

31. Nous considérons ici un système de points matériels supposés assujettis les uns aux autres , de manière que leurs positions respectives ne puissent subir aucun changement, comme cela aurait lieu si ces points appartenaient à un corps solide et parfaitement rigide. Des forces quelconques , mais dont les directions sont toutes parallèles entre elles, sont appliquées à ces points. Nous admettons en général qu'une partie de ces forces tend à transporter le corps dans un sens, et l’autre partie à le transporter dans un sens opposé.

Nous .avons présenté dans les n05ll et 14 la notion de la résultante de deux forces. La résultante de plu-

sieurs forces appliquées à un système de points matériel est la force par laquelle ce système serait sollicité , de la même manière qu’il l’est par l’ensemble des forces proposées; en sorte que si l’on appliquait au système une force égale et directement opposéeàcette résultante, l’action des forces proposées serait entièrement détruite et le système se trouverait en équilibre.

Un système quelconque de forces appliquées à plusieurs points matériels étant donné , on ne peut pas toujours trouver pour ce système une seule résultante , et par conséquent on ne pourrait pas toujours faire équilibre aux forces proposées par l’application d’une force . unique. La question consiste : 1* à déterminer la résultante lorsqu’elle existe, et dans tous les cas à réduire le système proposé au plus petit nombre de forces qu’il est possible ; 2° à déterminer les conditions de l’équilibre du système.

32. Soient en premier lieu deux forces parallèles P, P', qui agissent dans le même sens. En composant ces deux forces par le principe du levier, la valeur de leur résultante sera

lt=P+P';

la direction de cette résultante sera parallèle aux directions des deux forces et comprise dans le même plan; elle partagera l’intervalle de ces directions en parties réciproquement proportionnelles aux forces. Ainsi désignant par x,x', les perpendiculaires Am, Am' (fig. 10) abaissées d’un point quelconque Apris dansle plan desdeux forces P, P' sur leurs directions , la distance An delà direction de la résidtante R au point A sera exprimée par r.r+PV r+p' ' •

33. Admettons en second lieu que les deux forces parallèles données P, P' sont dirigées en sens opposés. Soit P la plus grande de ces deux forces , et supposons que l’on applique au système, dans le plan des directions des deux forces P, P', une troisième force P — P' agissant en sens contraire de la force P, et placée de manière que les distances mn, mm' (fg. 11) soient entre elles dans le rapport de P' à P. 11 y aura équilibre en vertu du principe du levier. Donc l’action résultante des deux forces P,P' est la force R égale et directement opposée à la force P — P' puisque l’application de celte force P — P' établit l’équilibre dans le système. Ainsi la résultante des forces proposées a pour valeur

et la distance An de sa direction au point quelconque A pris dans le plan des forces est

Px— P'x'

34. Il est nécessaire d’examiner le cas particulier où l’on aurait P=P'. Dans ce cas , si l’on a également x—x', les deux forces données sont égales et directement opposées : leur résultante est nulle , et le système est eri équilibre. Mais si en meme temps que les deux forces P, P1 sont égales et opposées, les directions de ces forces ne coïncident pas l’une avec l’autre , l’expression précédente

p.r pv

A n = ^ — de la distance delà direction de la résul-

tante au point A devient infiniment grande.

Ainsi la résultante des forces proposées est nulle et sa direction est placée à une distance infinie des directions

de ces forces, ou plutôt clle6 n’ont pas de résultante. Un tel système constitue ce qu’on nomme un couple.

35. Considérons un couple quelconque formé de deux fofces égales et parallèles P, agissant en sens contraire, mais nondircctcmentopposées, eldésignons parw la distance rnn (/ig. 12) des directions de ccs forces. L’action de ce couple sur le plan matériel auquel il est appliqué ne peut êLrc remplacée par une force unique : celte action est d’une nature qui lui est propre, et ne pourrait être détruite que par celle d’un autre couple. Pour voir d’ailleurs en quoi consiste l’action du couple proposé , on peut supposer qu’un point quelconque A du plan matériel, auquel il est appliqué, devienne fixe. L’action simultanée des deux forces P tendra à faire tourner ce plan autour du point A, dans le sens indiqué par la flèche , et la mesure de cette action sera la différence des moments P. Am , P. An , c’est-à-dire P®.

On peut donc dire qu’aussitôt qu’un couple est appliqué dans un plan matériel , ce plan tend à tourner autour de l’un quelconque de ses points avec une énergie mesurée par le moment du couple, dont l’expression analytique est P®. C’est en cela que consiste l’action de ce couple.

Cette action ne peut être remplacée, comme on l’a déjà dit, par une force unique qui tend, non pas à faire tourner, mais à déplacer le plan matériel dans le sens de la direction de la force. Mais si l’un des points du plan matériel devenait réellement fixe, ce plan ne pourrait plus être transporté dans l’espace -, il ne pourrait que tourner autour du point devenu fixe. Alors les actions de la force et du couple , pour opérer ou em-

pécher ce mouvement de rotation , deviendraient tout à fait comparables. L’action du couple serait toujours me surée par le moment P®, dont la valeur est indépendante de la position du point fixe par rapport aux directions des forces P; et l’action d’une force Q serait mesurée par le moment Qq , en désignant par q la distance du point fixe à la direction de la force. La force fera équilibre au couple si P <r=Qq , et si le couple et la force tendent à faire tourner le plan matériel en sens opposés.

36. Soit maintenant le système de plusieurs forces parallèles P,P',P", etc. , appliquées à des points matériels assujettis entre eux d’une manière invariable , et distribués arbitrairement dans l’espace. Supposons que l’on ait mené un plan perpendiculaire à la direction des forces, dans lequel on a tracé les axes rectangulaires Ax,A.j, et soient etc. , les points où les direc-

tions des forces proposées P,P',P", etc. , rencontrent ce plan. Nous désignerons par .ret y, x! et y', x" et y", etc., les coordonnées des points rn,m',m", etc.

Cela posé, admettons! en premier lieu que toutes les forces proposées agissent dans le même sens. On les composera facilement deux à deux par le principe du levier. La résultante des deux premières forces P, P' aura pour valeur P+P'- Sa direction rencontrera le plan xAy dans un point de la ligne mm' qui partagera cette ligne en parties réciproquement proportionnelles a ux forces P, P' ; d’oùl’on conclut facilement que les coordonnées

, . t t .. P-r+PV Pr+PV

de ce point seront respectivement - ^ , et .

En composant de même la résultante des deux pre-

mières forces avec la troisième , puis la seconde résultante avec la quatrième force , et ainsi de suite, on trouvera qu’en nommant R la résultante totale , et X,Y les coordonnées du point où sa direction rencontre le plan xAy, on a

et X

S.Py R J

équations par lesquelles la grandeur et la direction de la résultante sont déterminées.

37. Si maintenant on suppose qu’une partie des forces proposées agisse dans un sens, et l’autre partie dans le sens contraire , que l’on désigne par Pi l’une quelconque des premières forces , et par P, l’une quelconque des secondes forces, on réduira d’abord le système à deux résultantes partielles Q, et Qa, agissant en sens contraires, mais qui ne seront pas en général directement opposés. On aura pour les valeurs de ces résultantes partielles :

et les coordonnées de leurs points d'application seront

pour la iorce Q,, — — — et — rr— ,

1 C f\ S pv*. . S.P.X, pour la lorce Q,, — t: — et — ^r— .

Va V»

Ces deux forces Q, et Q, se composeront ensuite (sauf le cas particulier où l’on aurait Q,=Q,) en une seule résultante R , comme on l'a vu n01 32 et 33. L’on aura

et les coordonnées X, Y du point où la direction de celte résultante rencontrera le plan des xy seront

Nous aurons donc ici , comme dans le cas précédent , pour déterminer la résultante cherchée ,

pourvu que dans les sommes désignées par S l’on donne des signes contraires aux forces qui agissent en sens contraires. Il est visible , d’ailleurs , que l’on doit également donner des signes contraires aux coordonnées x et y, suivant qu’elles se trouvent comptées sur les parties positives, ou sur les parties négatives des axes Ax,Ay.