On peut remarquer d’ailleurs que les produits

Vx, P y donnent respectivement la mesure des actions

par rapport à ces axes, en attribuant ici au terme mo-

le n° 35. De même les produits RX, RY représentent les moments de la résultante R, pris par rapport aux mêmes axes. Ainsi , l’on voit par ce qui précède , que le

ments des forces composantes , ces moments étant pris

exercées par la force P, pour faire tourner le système autour de l’axe des y et de l’axe des x , axes qui sont perpendiculaires à la direction de cette force. Ils représentent ce qu’on nomme les moments de la force P, pris

ment un sens analogue à'celui qui lui a été donné dans

moment de la résultante d’un système quelconque de forces parallèles est toujours égal à la somme des rao-

Ik

par rapport à une ligne quelconque perpendiculaire aux directions des forces.

De plus , la somme des moments des forces pris par rapport à un axe mené perpendiculairement à leurs directions par un point quelconque de la direction de la résultante , est toujours nulle.

39. A l’égard du cas particulier où les deux résultantes partielles agissant en sens contraires , qui ont été désignées par Q, et Qa , seraient égales , les forces du système sont alors réduites à un couple. Il ne peut donc y avoir de résultante unique. Le plan dans lequel agit le couple est celui qui contient les directions des deux forces égales Qt et Q,. La distance de ces directions est

\/ (S.P.-r,— S.P, jr,)’+(S.P,y,—

et par conséquent le couple tend à faire tourner le système autour d’un axe quelconque perpendiculaire à son plan avec une énergie mesurée par le moment

VtS.P.x,— S.P.x.)M'(S.P^1-S.P1)* = |/(S.Px)*+(S.P^)’.

40. Enfin l’existence de l’équilibre dans le système exigeant évidemment que les deux résultantes partielles Q, et Q, soient égales et directement opposées, c’est-àdire que la distance de ces deux directions soit nulle, les conditions de cet équilibre sont exprimées par les trois équations

S.P=0, S.Px=0, S.Pj'=0. .

La somme des forces est nulle , aussi bien que la somme des moments des forces pris par rapport à une ligne quelconque perpendiculaire à leurs directions.

Autre méthode pour obtenir les résultats précédents.

41. On voit qu’il est indispensable , pour acquérir une connaissance complète des conditions de l’équilibre et de la composition d’un système quelconque de forces parallèles, d’avoir égard aux cas où ces forces se réduiraient à un seul couple , cas dans lequel l’équilibre est impossible, et les forces ne peuvent être composées en une résultante unique. La considération directe des couples donne les moyens de résoudre d’une manière très-simple les questions dont il s’agit. Nous exposerons en premier lieu des notions générales, d’après lesquelles on reconnaît que les couples peuvent être composés et décomposés d’après des lois analogues à celles qui conviennent aux simples forces.

Après avoir distingué , comme on l’a fait dans le n" 35, en quoi consiste l’action d’un couple , on conçoit aisément qu’à un couple donné formé de deux forces opposées P, dont les directions sont distantes de ■®-, on peut , sans que l’action exercée sur le plan matériel soit changée, substituer tout autre couple dirigé d’une manière quelconque par rapport au premier, et formé de deux forces opposées P' dont les directions sont distantes de-æ-', pourvu que l’on aitseulement l’égalité V'tS!=P‘ZO', et que les deux couples tendent à faire tourner le plan matériel dans le même sens. En effet, soient aa, bb[fig. 1 3) les directions des forces P du premier couple, et aa' , bb les directions des forces du second couple. Supposons les forces P appliquées aux points a, b de leurs directions. On pourra les supprimer en les remplaçant par les composantes P”, dirigées suivant aa et bb' , et par les com-

posantes Q, dirigées suivant ab. Or ces dernières forces Q, étant égales et opposées, se détruisent réciproquement. Les forces P du premier couple sont donc entièrement remplacées par les forces P' qui formeront le second couple. Mais les forces P, P' sont évidemment entre elles dans le rapport inverse des longueurs des perpendiculaires an, an. Donc l’on a P'®-' =

ft.2. Il est évident , d’après ce qui précède , qu’étant donnés plusieurs couples placés dans un plan matériel, dont les moments sont représentés respectivement par P'®,,P,'®'\P'W', etc., ces couples peuvent, sans que l’action exercée sur le plan matériel soit changée , être remplacés par un couple unique, formé de deux forces R, égales etagissant en sens contraires, dont les directions soient distantes de p, les quantités R et p satisfaisant à l’équation

Rp — P'®4-P,'®'+P W'+etc..., ou Rp=S.P/®.

En effet, nous pouvons , par la proposition précédente , substituer aux couples proposés de nouveaux couples , dirigés suivant deux lignes parallèles quelconques distantes de p , pourvu que nous réduisions les forces

P, P', P", etc., dans les rapports ~ , etc. Donc ces

forces s’ajouteront et donneront , suivant chaque ligne, une force R , dont la valeur sera

R=P.-+P' — +P"^+etc.

11 faut remarquer d’ailleurs que dans cette formation du couple résultant , les forces provenant respective-

ment des couples qui tendent à faire tourner le plan matériel dans un sens ou dans l’autre se trouveront opposées. Ainsi l’on doit , dans l’équation précédente , donner des signes dillérentsaux moments P^qui appartiennent à des couples agissant en sens opposés. Le signe de la somme S. P -^indiquera le sens de l’action du couple résultant.

43. Nous remarquerons, déplus, que, sans changer l’action exercée sur un système quelconque de points matériels , on peut remplacer un couple par tout autre couple placé dans un plan parallèle au sien , pourvu que les moments des deux couples soient égaux, et qu’ils tendent à faire tourner le système dans le même sens. En effet, soit un couple formé des deux forces égales P agissant en sens opposés aux extrémités de la ligne aa (fig. 14). Traçons dans un plan parallèle à celui deces deux forces la ligne bb égale et parallèle à aa , puis les deux lignes ab, ab qui se couperont en c au milieu de leurs longueurs. Toutes ces lignes étant supposées assujetties invariablement les unes aux autres et au système dont le couple fait partie, on ne changera rien à l’état de ce système en appliquant aux points b, b deux forces égales et parallèles aux forces P agissant en sens contraires, et au point c quatre forces semblables, qui se détruisent deux à deux. Si maintenant on supprime les forces qui se font respectivement équilibre sur les leviers ab,ab, il restera seulement deux forces P agissant en sens opposés aux extrémités de la ligue bb , c’est-à-dire le couple proposé transporté parallèlement à lui -même dans un autre plan parallèle au sien.