X.XA: X„Y„Z,;X„etc
on eut appliqué encore à chaque point d’autres forces dont les moments virtuels seraient représentés par les termes qui résultent de l’introduction des quantités VJL, f»^M,v«îN ,etc., dans cette équation. Pour fixer les
— aa3 —
idées, supposons que dans l’équation L = 0 il n'entre que les coordonnées xt, yt, z , du point m,. Le terme )..5L de l’équation (C) reviendra à >
Donc ce terme représente véritablement la somme des moments virtuels de trois forces
dL dL dit x dx, ’ X X A ’
appliquées au point m, , et dirigées respectivement dans le sens des x , des y et des z. Supposons que la fonction L contienne encore les coordonnées x, ,y,, z, du point m% , le terme i.iîL de l’équation (C) présentera de plus la quantité
dL dL dL
ldï/SxÆ, dï:*yÆX n, -Sz' »
c’est-à-dire la somme des moments virtuels de trois forces
X dx, ’ A dy, ’ X dz, ’
supposées appliquées au point /» , et dirigées respectivement dans le sens des a;, des^et des z. Et ainsi des autres.
Nous ajouterons que les forces
dL dL dL
'iü: x*,’
appliquées au point m, et dirigées parallèlement au*
rf
x, :iux y et aux z, peuvent être regardées comme les trois composantes d’une force unique dont la valeur est
force qui serait dirigée dans le sens de la normale à la surface que représente l’équation L=0 , lorsqu’on y regarde les coordonnées x^y„ z , comme seules variables. De même les forces
d.L dL dL
* dxj A dy,’ dz , ’ pi
appliquées au point m„ peuvent étreregardées comme les trois composantes d’une force unique dont la valeur est
et qui serait dirigée dans le sens de la normale à la surface que représente l’équation L=0 lorsqu’on y regarde les coordonnées x,,/,, zt comme seules variables. Et ainsi des autres. Les forces dont il s’agit représentent évidemment les résistances qu’opposent les parties du système aux efforts qui tendent à déplacer les points ou à changer leurs distances actuelles. Et c’est par cette raison qu’il est permis déconsidérer chaque point du système comme entièrement libre, lorsque l'on tient compte de ces mêmes forces.
On voit parce qui précède que toute équation L=0, entre les coordonnées des points du système, exprime
;-$** ’y * -f - w. " XW-:. -
V 'T v ’ «itS
— aa5 —
l'existence de liens établis entre ces points, et concourent à l’équilibre du système comme le feraient les forces
dL dL dh
* dx, ’ * dy, ’ dz, '
appliquées au point m, parallèlement aux axes ; les forces
dL dL dL
1 dx, ’ * dy, ' 1 dz,'
appliquées au point m, : et ainsi de suite. Le coefficient > reste indéterminé. Une autre équation de condition ÎVI = 0, entre les mêmes coordonnées, équivaut de même aux forces
dm dm dm
appliquées au point m, , et aux forces
* dy.
appliquées au point m,, etc. Le coefficient p reste également indéterminé. Il en est de même à l’égard des autres équations de condition.
246. On voit en outre que la méthode indiquée n° 244 conduit à déterminer les conditions de l’équilibre d’une manière tout à fait indépendante des valeurs que pourraientprendre les indéterminées X,p,v, etc. Maiscette méthode donne aussi le moyen de trouver les valeurs de ces quantités , ce qui fait connaître les efforts supportés par
cwi
les parties du système. En effet , l’équation (C) donne autant d’équations distinctes qu’il y a de coordonnées des points du système ; et si l’on réunit à ces équations les équations de condition L=0, M=0, N=0, etc. , qui sont en même nombre que les indéterminées etc. , on a toujours autant d’équations qu’il est nécessaire pour déterminer les coordonnées de tous les points et les quantités etc., quand les forces sont données ; ou pour déterminer les forces appliquées à tous les points dans le sens de chaque axe, et les quantités*, ft, », etc., quand la figure du système est donnée.
247. Il peut arriver que les équations L==0, M=0, N=0, etc., ne donnent que d’une manière imparfaite ou incomplète la constitution du système. Par exemple, si l’on veut exprimer par une de ces équations que le point m est assujetti à demeurer sur une surface fixe donnée , cette équation indiquera que le point ne peut se mouvoir suivant la direction de la normale à la surface, ni dans un sens, ni dans l’autre, et qu’il peut seulement se déplacer suivant une ligne quelconque dirigée dans le plan tangent ; et cependant il est possible que le point ait la liberté de se mouvoir en tous cens , extérieurement au coips terminé par la surface. De même, une équation , exprimant que la distance de deux points est invariable, conviendra au cas où ces points sont réunis par une verge inflexible et inextensible; mais s’ils sont réunis par un fil, l’équation n’indiquera pas suffisamment l’état du système, car la présence de ce fil prévient seulement les déplacements par l’effet desquels la distance des deux points est augmentée. On doit conclure de celte observation que les résultats auxquels
on se trouve conduit par 1 application du principe des vitesses virtuelles ne suffisent pas toujours pour déterminer complètement les conditions de l’équilibre, et qu’il faut encore examiner, d’après les signes dont les valeurs des quantités etc., se trouveront affectées, quel est le sens des efforts supportés par les liens ou par les obstacles fixes qui font partie du système , et si , d’après ce sens , les résistances nécessaires à l’équilibre auront réellement lieu.
Exemples de l’application du principe des vitesses virtuelles.
24-8. On a vu, dans l’article II, l’application du principe des vitesses virtuelles à la recherche des conditions de l’équilibre de plusieurs fortes appliquées à un seul point. Considérons maintenant üh système de points matériels liés entre eux d’üne manière invariable et formant un corps solide. Pour appliquer ici ce principe, on doit déterminer, dans l’équation générale (A) du n° 243
S.Xte+S.Y^+S.Zj2= 0,
les variations tfx, Sy, iz, d’après la condition que dans un déplacement quelconque subi par le corps, tous les points matériels conservent leurs positions respectives et leurs distances mutuelles.
Pour parvenir aux équations d’équilibre , concevons les points du corps rapportés à Un nouveau système de coordonnées rectangulaires .r',y',z' ; nous aurons
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x=.a-\-ax! -j- bÿ -j-cr', j' — e+a'x' -j- b'ÿ -f-c'z', z=zy-i-a"x"+b/y+c"z",
en désignant par a, 6, y, les coordonnées de la nouvelle origine , et faisant
a = cos.xx’ , b— cos.xÿ, c=cos.xzf, af= co&.yx1, b'=co&.yy, d=cos.yz\ a"=cos.zx>, 6"=cos. zy, c"=cos.zz' ;
d'où résultent les relations
a’-j-a'*-|a"»=l f b'+W'+V'^zX, c'+d'+d'*=i ,
ab+a!V+a"V'=0, ac-f-aV+aV'=0, 6c+iV-fa"c"=0,
qui laissent indéterminées trois des quantités a, b,c, etc. Or le système proposé étant un corps solide , si l’on conçoit que les axes des a/,y,z' fassent partie de ce système , ud déplacement quelconque changera la position de ces axes , ainsi que les coordonnées x,y,z, mais ne changera pas les coordonnées x!,y,z'. On peut donc différentier les équations précédentes en regardant x! ,y,z' comme constantes , ce qui donnera , en marquant les différentielles par le signe S ,
&r=Æc-{- x'Sa -\~yàb -f- z'Sc ,
Sy = &-\- jd3a!+ ySb'+z'Sd ,
5z = -f x/Sa"+y3b"+z'3d' .
Supposons maintenant qu’avant le déplacement, lés axes des a/, y', z' coïncidaient avec les axes des xy,z. On aura x =xf,y==y', z=z'; et par conséquent a=i, b—0.
c=0 ; a'= 0, b'—l , c'^O ; a"= 0, t/'~ 0, c"= 1. Ainsi nous pouvons écrire
5x = 5a -j- Jr5a -j- zSc ,
Sz = 3y +x8a"+y3b"+z3d',
ou bien , comme les équations de condition étant diflérentiées se réduisent, à cause des valeurs précédentes, à 5a = 0 , 56'= 0, 3c" ~ 0 ; 56-f-5a'=0; 8c + 3a"— 0; 5c'-f 56 "=0;
Sx—Sa.-\-ySb — z3a",
Sy =56 — xSb -(- z3c\
3z=3y-\- xSa" — ySd ,
où les quantités 5a" ,56,5c'., sont entièrement arbitraires. Nous sommes maîtres d'ailleurs d’écrire au lieu de ces expressions
Sx — 3a -j -y S-if — zSa ,
Sy =56 — xSif+zSy ,
3z = 57 -j- xSa — y3<f ,
en désignant par 5<p, Sa et 8if trois angles quelconques infiniment petits. Il reste à distinguer ce que représentent ces angles , qui se trouvent substitués respectivement à 3c', Sa" et Sb. Or, dans l’hypothèse de la coïncidence primitive des axes des x'j',z! avec les axes des xj-, z , 5c' est le cosinus de l’angle qui s’établit entre l’axe des.y et l’axe des z ', cosinus dont la valeur ne diffère point de celle de l’angle décrit par le système autour de l’axe des x. De même Sa est le cosinus de l’angle
qui s’établit entre l’axe des z et celui des x', dont la valeur est égale à celle de l’angle dont le système tourne autour de l’axe des y. Enfin, 8b est le cosinus de l’angle qui s’établit entre l’axe dçs x et l’axe des^', dont la valeur est égale à celle de l’angle dont le système a tourné autour de l’axe des z. Donc les trois angles infiniment petits expriment respectivement dans les, foi;-*
mules précédentes les déplacement angulaires, aptpur des axes des x, des y et des z. Ces angles sont supposés positifs lorsque, considérant l’angle trièdre formé par les parties positives des axes , la rotation a lieu de x vers z , de z vers y, et de vers x.
Il résulte de ce qui précède que l’on représentera un déplacement arbitraire infiniment petit des points d’un corps solide en admettant que tous ces point se sont transportés des quantités 8*,3s,8y, dans le seps des trois axes des coordonnées ; et que ces mêmes points ont décrit autour des trois axes les angles 3<f,3<a,ty. Les valeurs des quantités $*,3G, J7 et sont entièrement arbitraires
et communes à tous les points, du corps. Les formules précédentes expriment les variations que subissent les coordonnées de chaque point par l’effet de ces mouvements.
Si maintenant on substitue les valeurs précédentes de Sx,3y,Sz, dans l’équation donnée par le principe des vitesses virtuelles qui est posée au commencement dp ce numéro , on aura
+S . Z ($ykx5u—ySf)—0 ;
d’où l’on conclut , à cause de l’indépendance de », P, etc. :
— ’2jr\ —
S.X=0, S.(Xy— Yx)a=0,
S.Y=t©', S.(Ys — Xy)— 0',
S.Z=0, S.(Zx— Xx)=0.
Ces dernières équations expriment complètement les conditions de F équilibre du corps solide , conformément à ce qu’on a vu n° 54 .
249. Il importe d’observer que le déplacement d’un point quelconque d’un: corps solide , représenté par les expressions
3x=ySty — zSwt \
Sy=zzS<f — X(fy, > (/»}
Sz =xÆ« — ySf, )
et résultant de trois mouvements de rotation exécutés autour des trois axes dès x, des y et des z, peut toujours être considéré comme étant dû à un seul mouvement de rotation qui aurait lieu autour d’une certaine ligne passant par l’origine des coordonnées. En effet , 1° si l’on pose <tr=0, */=0, Sz—Ù , c’est-à-dire
/tfy— -z&i= O, 2&p — xJ>{>=0, x&>-— ySf =tO , ou bien
on voit que les coordonnées qui satisfontà «es équations appartiennent à' une ligne droite passant par l’origine et formant avec lès axes des x, des y et des z des; angles1 dont les cosinus sont respectivement
Æw
v/ V îü’-{^ Su'-\-Sÿ
d’où il résulte que les points placés sur cette ligne droite que nous nommerons taxe de rotation , sont demeurés immobiles.
On reconnaît que tous les autres points du corps ont tourné autour de l’axe de rotation ; car si ce mouvement a eu lieu , l’arc infiniment petit décrit par l’un quelconque de ces points , dont les projections sur les axes sont ix,Sy,Sz , sera perpendiculaire , 1° à l’axe de rotation, ce qui est exprimé par l’équation :
2° à la ligne menée de ce point à l’origine des coordonnées , ce qui est exprimé par l’équation
x.i x-\-y.Sy -f- a.<Î2=0.
Or les expressions [m) de Sx,fy,Sz, satisfont effectivement aux deux équations précédentes.
On obtient l’angle S3 décrit par tous les points du corp autour de l’axe de rotation en observant que l’espace
parcouru par un point quelconque est V3x7-j -ây’-j-iz* , ou en mettant pour Sx,Sy,Sz, les valeurs (m),
1/ zJ*)1 .
Or, si le point est situé dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation et passant par l’origine des coordonnées , le second terme de la quantité qui est sous le radical est nul, et x’-f^’-f-z1 est le rayon de l’arc qui a été décrit. Donc
Ainsi les mouvements de rotation exécutés autour de divers axes se composent et se décomposent suivant les mêmes lois que les mouvements rectilignes. L’axe de la rotation So est la diagonale du parallélipipède rectangle construit sur trois lignes proportionnelles aux rotations composantes fy, &>,&{> , et la rotation résultante 39 est elle-même proportionnelle à cette diagonale.
250. Nous considérerons actuellement l'équilibre du polygone funiculaire qui a été le sujet des n°* 213 et suivants. En conservant les notations du n° 213, les équations de condition sont ici
f0—V (X,— Xo)’-f (y,— y°)'Mz— *3\
f=V (•*•—*.)’ -f Cr — y,)3 -H %—*,)’ ,
etc.
L’équation (A) du n° 243 devient :
ToCos.a<,.ir0-t-P,cos.a,teI-j-P,cos.a,.Jj:,4-...-f-T.cos.a«.Jj:»+i -(-T0cos.60.iîj'D-4-P1cos.ël^,-|-P1cos.ei.5y,-j-...-(-T«cos.&„.Jy.4.i -f-T0cos. c0 . Szo -f-P.cos . f,3z, -|-P, cos .y, 3z, -f- . . .-f-T, cos . c, . Sz, + « .
En diüerentiant les équations de condition précédentes et marquant les différentielles par le signe 3, elles donneront
Q (*.— yt)(ty-Sy0)+(z— Z0)(Jz — 3zo), 0 (3x,— 3x,)+(y y,)(jy 8y,)+(z — z.) (3z,—3z,\
. — x,) (^i — toJ-jrÇyj—j',) [tyj — — zJ(^z» — faj
etc..
fT.+,—x.) (fa,+ n—far,)4 <r»+ >-y») (*r»+ >— fo.) +(z«-+i—
Par conséquent si , conformément à ce qui a été dit n° 245-, on ajoute ces équations au second membre de l’équation précédente, après les avoir multipliées respectivement par des indéterminées X0,X,,X, Xn ; et si
l’on égale ensuite séparément à zéro les termes qui se trouveront affectés des variations Sxu, Sy0, tfz„ ; 3xnSynSz, ; Sx, , etc., on obtiendra les équations suivantes, qui expriment les conditions de l’équilibre :
■ 0=T„cos. — X, Pour le pointw»J 0=Tocos.è„ — X,
x, — x0 fo ’
' fo ’ f 0=Tocos.co — Xo Z‘ ■— .
fo
0 = X„ — (- P.COS. a, — X,
Pour le point ot, < 0 =X0
f. f^P, cos. 6,— X,*- — ,
[Q=X0 ^ + P. cos. 7,t— X,
Pour le point m, 0=X,
etc.,
+ P, cos. a,— x, + P,cos.Ç— X, -f- P, cos. 7,— X,
yjr-y,
i0a^ÎSS=5
Pour le pointm. 1
+T«cos.a»
-(-T, cos. 6»
-+-T« cos.c.
Ces résultats s'accordent évidemment avec ceux qui ont été donnés dans les n°* 213 et 214. Les coefficients représentent, conformément à ce qu’on a vu n°245, les tensions supportées par les divers côtés du polygone. La première et la dernière des équations précédentes indiquent que les forces appliquées aux points extrêmes doivent être dirigées dans le sens des côtés extrêmes et égales à la tension de ces côtés. Les autres équations indiquent que la force appliquée à chaque sommet du polygone doit être égale et directement opposée aux tensions des côtés contigus.
251. Nous emploierons enfin le, principe des vitesses virtuelles à la recherche des équations de la courbe funiculaire dont on s’est occupé dans les n°* 218 et suivants ; et la solution de cette question pourra donner une idée de la manière dont la méthode des variations s’applique aux problèmes de mécanique.
En conservant ici les notations du n° 218, l’équation qui exprime l’égalité à zéro de la somme des moments virtuels de toutes les forces appliquées au fil est :
T0cos.ao. £r0 -{-T0 cos.ô0. ^0-f-T„cos. c, ,Szo -f-T„cos , T» cos . b„ . Sy<, -f-T»cos . c„ . Sz*
■ I ds(pco$,a.ijc-\-pcos.G.Sy-{-pcos.y.3z).
La seule condition à laquelle le système soit assujetti consiste en ce que la longueur des éléments ds du fil est invariable , en sorte que l'on doit poser pour chacun de ses éléments l’équation
ds = const. ou S.ds = 0.
Pour suivre donc la règle donnée n°2fc&, il faudrait multiplier chacune de ces équations par une indéterminée , et les ajouter toutes au second memhre de l’équation précédente. Gela revient évidemment à ajouter à
pu
ce second membre l’intégrale \ \.ds , dans laquelle \ est
vSo •
regardée comme une quantité variable avec s , et pouvant prendre une valeur indéterminée. D’après cela l’équation exprimant les conditions de l’équilibre , et analogue à l’équation (C) du n° 2M, sera :
T„cos .a0.3xo -f T0cos.è0 .<îy0-f T„cos.c.Jz 4-T,cos.an,.te»-f-Ta,cos.^a,.^(,-|-Taicos.ca,.J2»
■f I ds(pcos.a. Jx-f- pcos . 6 . . y . 5z) -|- I l.Sds
J s0 JS,
Cette équation doit Subsister quelles que puissent être les valeurs attribuées aux variations des coordonnées des divers points de la courbe. Elle est tout à fait semblable aux équations auxquelles on est conduit pour la solution des questions de maxima ou minima des intégrales définies, et peut se traiter de la même manière. On remarquera donc que la relation
ds dx‘-\-dy'-\-dï>
donne
dx . 3dx-\-dy . 3dy-\-dz . 3dz
3ds= ;
ds
et par conséquent
C\ Çs“ , , rdx Sdx dy Sdy dz Sdz- 1
Ji0 + * ds + H d7 T
En changeant l’ordre des signes d et 3, et effectuant les intégrations par parties qui doivent faire disparaître les différentielles des variations, cette expression se transformera en
valeur qui doit être substituée dans l’équation précédente.
Si l’on fait cette substitution , et si l’on égale ensuite séparément à zéro les termes affectés des variations des coordonnées qui sont entièrement indépendantes, 1° il viendra, pour le premier et le dernier point de la courbe , les équations déterminées ,
dx
0=Tocos.ao — X„ ,
0=T„cos. ù—\ ,
0 =T„COS. C„ — i. — — :
dx„
0=T(,cos,aa,-f-^« >
0=Tmcos.6»-|-}i1, ,
dsot
0=T„eos.c„ ;
ata
d’où l’on conclut que les forces appliquées aüx points extrêmes doivent être dirigées dans le sens des derniers éléments, égales et Opposées h la tension que ces éléments supportent, tension qui est représentée dans toute l’étendue de la courbe par la valeur de la quantité À.
2° On aura pour tous les points de la courbe , en égalant séparément à zéro les termes affectés de Sx,3y,3z qui sont restés sous le signe d’intégratiob, les équations indéfinies ,
aOz)-0*
Ces dernières équations s’accordent avec celles qui ont été données n° 220- En les intégrant on aura des équations qui s’accorderont avec celles du n° 218.
Remarque générale.
252. Pour reconnaître à quoi tient cette analogie entre les méthodes qui s’appliquent aux questions de maxima et minima , et celles qui sont propres à la re-
cherche des conditions de 1 équilibré d'un système de forces , on remarquera que dans l’équation
S.P.ô/j=0 , ou 0 ,
qui exprime en général les conditions dont il s’agit, on peut dans la plupart des cas naturels regarder le premier membre comme étant la variation d’une certaine fonction n des variables p„p„pH etc., en sorte qu’on aurait
Æn= Pt.ip,-f-P,.cÇp,-f.Ps.(5^3-f- etc.
L’équation précédente exprime donc la condition du maximum de la fonction ri. Ainsi l’on ne peut résoudre une question d’équilibre sans résoudre en même temps une question de maximum ouminimum. Onconçoitd’ailleurs que s’il existe certaines conditions auxquelles les variations àp„àp,Jp, , etc., soient assujetties , il conviendra d’y avoir égard. La manière dont cela doit se faire a été expliquée dans les nM 512 et suivants des Leçons d’analyse , et on voit que les procédés indiquésdans ces numéros sont entièrement conformes à ceux qui ont été exposés ci-dessus.
253. Considérons le cas particulier où toutes les forces appliquées au système seraient verticales et constantes , c’est-à-dire le cas où le système serait formé d’un assemblage de corps pesants liés les uns aux autres d’une manière quelconque , sans qu’aucune force étrangère leur fût appliquée. Toutes les lignes p„p,,p3l sont alors parallèles; P,,P„P, , etc., sont constantes ; et par conséquent,
n=P,p,-f-P,p,4-P^,+ etc.
Les lignes p„ p„p„ etc., peuvent être comptées à partir de points fixes quelconques pris dans les directions des forces. Si l’on suppose ces lignes comptées à partir d’un même plan horizontal quelconque, la quantité précédente divisée par la quantité constan te ,P. , +P. . +P j,®tc., c’est-à-dire la fonction
P,P.-fP.P.+P»P3+ctc- P,+P,-|-P ,-H etc • ’
représentera la distance du centre de gravité des corps du système au plan horizontal dont il s’agit. Les conditions nécessaires pour que le système soit en équilibre sont donc celles qui doivent avoir lieu pour que le centre de gravité des corps dont ce système est composé soit placé le plus haut et le plus bas possible. Nous exposerons dans la suite des considérations appartenant à la dynamique, qui sont nécessaires pour étendre et pour compléter ces notions.
