XVII. Équation générale du mouvement d’un système

DE POINTS MATÉRIELS SOLLICITÉS PAR DES FORCES QUEL- CONQUES. PRINCIPE DE d’aLEMBERT.

254. Les conditions générales du mouvement d’un point matériel soumis à l’action de diverses forces, ont été exposées dans l’article VIII, pour le cas où le point matériel était entièrement libre , et dans l’article IX , pour les cas où ce point était assujetti à se mouvoir sur une ligne courbe ou sur une surface courbe donnée. Il s’agit présentement d’établir les conditions générales du mouvement d’un système de points matériels assujettis entre eux d’une manière quelconque. Nous con-

devons toujours le système formé de la manière qui a été indiquée dans les nw 229 et 230, et nous le supposons sollicité par des forces dont l’action s’exerce d’une manière continue comme celle de la pesanteur.

La loi du mouvement d’un point matériel libre consiste en ce que la quantité de mouvement acquise par le corps dans l'unité de temps , et dans la direction de la force par laquelle ce corps est sollicité , est constamment égale à l'effort exercé sur le corps par cette force.

Si le point matériel est assujetti à se mouvoir dans une ligne ou dans une surface donnée , la recherche des conditions de son mouvement se ramène au cas d’un point matériel entièrement libre, conformément à ce qu’on a vu dans l’article VIII, en introduisant dans les équations générales qui expriment ces conditions la force qui représente l’eflort exercé par lequel le point matériel est retenu dans la ligne ou dans la surface. Et l’on peut déduire de ces équations générales la connaissance du mouvement du point matériel et celle de l'ellort dont il s’agit.

255. Considérons maintenant un système de points matériels assujettis entre eux d'une manière juelconque , qui se meuvent , et auxquels sont appliquées des forces. La liaison établie entre ces points ne permet pas en général qu’ils cèdent librement à l’action des forces qui leur sont respectivement appliquées, et qu’on puisse déterminer leurs mouvements d’après les règles qui conviennent à un point matériel. 11 s’établit évidemment entre tous les points, ou entre quelques-uns des points du système considérés deux à deux , des actions intérieures par l’effet desquelles leurs mouvements

sont modifiés. Le mouvement île l’un quelconque îles points matériels considéré à part résulte , 1° de sa vitesse initiale; 2" de la force extérieure qui lui est appliquée ; 3° des actions intérieures qui s’établissent entre ce point et les autres points du système, actions qui dépendent elles-mêmes de la nature des liaisons par lesquelles le système est constitué. Mais si l’on tient compte de ces efforts intérieurs, on pourra évidemment exprimer les conditions du mouvement de chacun des points du système delà même manière que si ces points étaient libres de se mouvoir indépendamment les uns des autres.

D’après cela , en représentant par :

m la masse de l’un quelconque des points matériels ;

x,y,z, les trois coordonnées rectangulaires du lieu où ce point se trouve situé au bout du temps t\ X,Y,Z, les efforts, exprimés en unités de poids , exercés sur le point m par les forces extérieures qui lui sont appliquées dans le sens des axes des x , des^, des z -,

E, F, G, les efforts, également exprimés en unités de poids , exercés sur le même point parallèlement ' aux axes , et provenant des actions intérieures qui s’établissent entre le point m et les autres points du système ;

on aura, conformément au nQ 141, pour chacun des points du système, les équations :

dt'

Admettons maintenant que considérant le système dans l’état où il se tronve au bout du temps t, on lui imprime un mouvement quelconque infiniment petit, sans que les conditions de la liaison des points matériels soient violées, et par l'effet duquel le point m ait décrit respectivement dans le sens des x, desj- et des z , les espaces 8x,Sy,Sz. Multiplions la première des équations précédentes par Sx, la seconde par Sy1 la troisième par Sz, et ajoutons toutes les équations obtenues de cette manière. Oq obtiendra ainsi l’équation unique ,

s’m (dF -é ^ + dê' Sz )=

le signe S indiquant une somme formée des quantités qui suivent ce signe appartenant à tous les points du système. En effet la somme S(E£r-j-Fi^-|-GJz), des moments virtuels dus aux forces intérieures est nécessairement nulle d’après ce qui a été dit n° 239.

De plus, si le système n’est pas entièrement libre, et si quelques-uns de ses points sont assujettis à demeurer dans des surfaces ou des lignes fixes données, les résistances de ces surfaces ou de ces lignes introduiront de nouvelles forces , mais dont les moments virtuels seront toujours nuis, comme on l'a remarqué dans le n° 240. L’équation précédente subsistera donc encore dans ce cas.

256. Celle équation exprime les conditions générales du mouvement du système : en la réunissant aux équations de condition par lesquelles la nature de la liaison des points matériels est définie, on aura tout ce qui est nécessaire pour déterminer les mouvements de tous les points matériels. Les variations Sx , 3y, Sz doivent satisfaire aux équations dont il i’agit, et ne sont assujetties à aucune autre condition. Elles représentent des espaces quelconques infiniment petits qui peuvent être décrits par les points du système, lorsqu'on lui fait subir un léger changement de figure à partir de celle qu’il affectait à la fin du temps t. Les espaces Sx , Sy, Sz ne doivent pas en général être confondus avec les espaces représentés par dx, dy, dz qui sont effectivement parcourus par les points du système dans l’instant dt qui suit le temps t, par l’effet du mouvement actuel de ce système. 11 serait possible que les conditions de la liaison des points matériels fussent telles que dx , dy, dz ne pussent pas être substitués dans l’équation précédente à la place de&c, ty,àz.