L'équation

/ d?x cTv d*z \

S' \ de dë dë y I

a laquelle bn vient de parvenir directement dans le n“ 255, exprime à proprement parler que l'équilibre doit subsister dans le système proposé, d’une part entre

d‘x d^y cCz

les forces m —— , m —, m — que produiraient , si

dC dt 1 dd 1 r

les points matériels leur cédaient librement le mouvement affecté véritablement par ces points , et d’autre

part entre les forces X, Y, Z appliquées extérieurement au système, ces dernières forces étant prises en sens contraire. On reconnaît eüectivement que le mouvement du système doit être réglé de manière que la condition dont il s’agit soit constamment satisfaite.

Pour démontrer cette proposition, considérons en général l’une quelconque des forces appliquées extérieurement au système. Si le point matériel sur lequel agit celte force était libre, il prendrait le mouvement quelle tend à lui imprimer, conformément à la loi qui a été rappelée ci-dessus , n° 254 ; mais la liaison mutuelle des parties du système oblige en général le point dont il s’agit, à prendre un autre mouvement. Or on peut concevoir la force appliquée au point matériel décomposée en deux autres forces , dont l’une imprimerait à ce point , s’il était libre, le mouvement qu’il prend véritablement ; et il est visible que cette première composante produit seule le mouvement du point, et que la seconde composante est détruite par l’ellet des actions mutuelles qui s’établissent entre les parties du système. La première composante est la force conservée , et la seconde est la force perdue par le point matériel. Ainsi l’on voit que la nature des mouvements aflectés par le système, consiste en ce que les forces perdues doivent se détruire réciproquement, ou se faire constamment équilibre en vertu de la liaison des points matériels. C’est en cela que consiste le principe établi par d’Alembert.

Les forces appliquées au système dans le sens des trois axes ayant été représentées ci-dessus par X, Y, Z. et les forces capables de produire les mouvements allectés par les points matériels suivanllesmêmesdireclions,

c’est-à-dire les forees conservées, étant représentées par

* d‘x d'y dz

mdF1 m IF ' m~dê I

les forces perdues sont exprimées par

2?’ '-"‘de-

Z — ni

La condition de l’équilibre entre ces forces est donc donnée par J’équation.

S (\—m ~ S (Y—m^yy+S (z—m ÿ ^z=0,

qui revient à la précédente , et à laquelle on doit réunir les équations de condition appartenant au système. On voit d’ailleurs qu’établir l’équilibre entre les forces perdues , est la même chose qu’établir l'équilibre entre les forces conservées et les forces appliquées au système prises en sens contraires ; puisque pour chaque point du système, la force perdue est égale et directement opposée à la résultante de la force conservée et de la | force appliquée au système prise en sens contraire.

258. En exposant les notions précédentes, nous regardions les forces appliquées au système comme agissant d’une manière continue, et imprimant aux divers points matériels des mouvements qui changent eux-mêmes d’une manière continue et progressive , en sorte que les vitesses ne varient en général que d’une quantité infiniment petite dans un intervalle de temps infiniment petit. Mais il est quelquefois nécéssaire'de considérer l’action de certaines forcés qui, exerçant de très-grandes pressions dans un temps extrêmement court, font varier,

(le quantités finies , les vitesses des parties du système, quoique la durée de ces actions soit sensiblement nulle. Dans les cas de ce genre on peut admettre que pendant la durée extrêmement petite des actions dont il s’agit , la position des points matériels du système n’a pas changé, d’où il suit que dans l’équation précédente

S.m (ÿ Sx + ÿ ÎH-J &) =S(Xfcr+Y*H-Z&) ,

on peut regarder les quantités Sx, Sj , Sz comme ne variant pas avec le temps. Si l’on multiplie par dt les deux membres de cette équation , et si l’on intègre depuis t = 0 jusqu’à t = t , il viendra donc

=S(*rj’x*-f Sy j* Y«fc-f Sa j* Z dt) ,

dje d/y (ïz

en représentant par — , les vitesses, pourt=0,

du point matériel dont la masse est m. Or, dans cette dernière équation , les quantités

(dx dx A (dY dy \ / dz dz\

"l\dt dt ) ’ m\dt dt ) ’ "\dt ~~ dt)

sont les quantités de mouvement acquises par le point matériel dans le sens de chaque axe , et

j*Zdt .

sont les quantités de mouvement r| ui lui ont été impi i-

mées dans le même sens par les forces qui le sollicitent. Ainsi elle exprime que les quantités de mouvement acquises par les parties du système pendant la durée très-courte de l’action que nous considérons ici, doivent faire équilibre aux quantités de mouvement imprimées par les forces prises en sens contraire ; c’est-à-dire, en d'autres ternies, que le principe de d’Alembert subsiste dans les cas où il s’opère un changement brusque dans le mouvement du système aussi bien que dans ceux où ce mouvement ne varie que par degrés insensibles.