PAR UN FIL FLEXIBLE

259. Considérons deux points matériels dont les masses sont rn , m , assujettis à se mouvoir sur deux plans inclinés formant avec la verticale des angles 6 , C.’, et liés l’un à l’autre par un fil parfaitement flexible qui passe sur une poulie fixe placée au sommet des deux plans. Soit g la vitesse imprimée aux corps pesants par la gravité dans l’unité de temps. On suppose que le système des deux points matériels a reçu une vitesse initiale quelconque, et qu’il est ensuite soumis à l’action de la gravité : il s’agit de rechercher la nature du mouvement qu’il affectera.

Cette question se résoudra, conformément à ce qui a été dit n° 257 , en exprimant qu’il y a équilibre entre les forces auxquelles sont dus les mouvements des points matériels, et les forces agissant sur ces points prises en sens contraires ; ou, ce qui revient au même, entre les forces perdues par les points matériels. Donc, nommant

v el d les vitesses des points m , m' au bput du temps t , ces vitesses étant supposées positives quand les corps descendent, la condition dont il s’agit sera exprimée ici par l’équation

• « dv , dd

mgcos.6 — m — =mgc os. 5 — m' — ,

ou , comme d — — v ,

dv mcos.9 — wi'cos.9'

dt m-f-m'

En intégrant l’on trouve

mcos.O — /n'cos.9'

gt+V,

V étant la valeur initiale de la vitesse v du point m.

Le mouvement des points est uniformément accéléré

ou retardé; il est dû a une force constante plus petite

que l’action de la gravité dans le rapport exprimé par

/ncos.9 — tn! cos 9'

la fraction .

La tension du fil est le résultat de la destruction mutuelle des forces égales

dv . . dd

//jgeos.9 — m et mgcas.V- — m — ,

qui a lieu par l’eiTetde la liaison que le fil établit entre les deux points matériels. La valeur de cette tension

est donc constante, et exprimée par ^ ^,(cos.9-f-cos.9 jg:

260. Si le plan sur lequel se meut le point m était vertical et le plan sur lequel se meut le point m' horizontal, la formule précédente deviendrait

Le mouvement estdù à l’action d’ùne force moindre que la gravité dans le rapport de la masse du corps descendant à la somme des masses des deux corps. La tension mm! • in-

constante du fil est

261. Si les lignes décrites par les corps étaient toutes deux verticales, la formule dont il s’agit donnerait

. , 2 mm' . ,

La tension du fil est — ■ — - g. Lette expression s apm- \-nt

plique à l’appareil connu sous le nom de machine d’Atwood , lorsqu’on fait abstraction des frottements et des masses du fil et de la poulie.

262. La question n’est pas plus difficile & résoudre dans le cas où les points matériels sont soutenus par des fils qui s’enroulent sur deux cercles de diamètre différent , montés sur un même axe fixe horizontal et parallèle à la ligne d’intersection des deux plans inclinés. Les forces perdues par les deux corps sont représentées , comme dans le n° 259, par

di>

mgcos.Q — m

et m'gc os. 8' — m'

Soient r et r les rayons des cercles sur lesquels s’enroulent respectivement les deux lils. La condition de l’équilibre des forces perdues sera exprimée par l’équation

/ n «&*\ ( l rl , df/\

I mgcos.Q — ni — Jr— I mge os.O — m — lr ;

ou , comme l’on a ici ✓ = ■

mr‘. cos.S — m'rd. cos. 6'

mr’-j-m'r'

En intégrant il vient

mr1. cos.S — m'rr1. cos. 6'

gt+y,

V étant la vitesse initiale du corps m. Les tensions des fils qui soutiennent .les points matériels m et /»' sont respectivement

/nm'(r”cos.64-rr' cos . ù') /n/n,(rT,cos.0-j-r,cos.6^)

mr’+mV 8 61 mr’+mV3 "

263. Nous considérerons encore la question du n° 259 en admettant que l’on tienne compte d’un frottement exercé par chacun des corps sur les plans inclinés , la résistance due à ce frottement étant supposée proportionnelle à la pression exercée par le corps contre ce plan. Soit /le rapport du frottement à la pression pour le premier corps , f le même rapport pour le second corps. L’équilibre des forces perdues sera exprimé, en supposant que le corps m descende , par l’équation

dv , dv

mgcos . 9 — fmgsm.C — m — =m'gcos.b'-\-fm'gsin.b' — m'

d’où l’on déduira comme ci-dessus

dv m(cos.8— /sin.O) — m'(cos.6'-f/'sin.6')

dt m-\-m 8

m[ cos.S — /sin.O) — /«'(cos.G'-f/'sin.G') v

Le mouvement commun- des deux corps est toujours uniformément accéléré ou retardé. La tension constante du fil est .

mm'

m-\-ml

(cos. 8 — ybin.8-|- cos.6'-)^/'sin.8l)g'.

264- Si le corps m descendait verticalement tandis que le corps m! décrirait une ligne horizontale , comme on l’a supposé n° 260 , on aurait simplement

et pour la tension du fil

m-\-ni

Les résultats seraient différents si l’intensité du frottement était supposée dépendre de la vitesse du mouvement. Des expériences spéciales ayant constaté que dans le cas dont il s’agit, les mouvements des corps sont uniformément accélérés ou retardés, on doit en conclure que l’intensité du frottement est entièrement indépendante de la vitesse. Cette intensité est uniquement déterminée pour les divers corps par la grandeur de la pression exercée par l’un des corps sur l’autre."

Mouvement d'un fil parfaitement flexible et inextensible.

265., Pour donner un nouvel exemple de l’applicatiou des procédés du calcul des variations aux questions dç mécanique, on considérera le mouvement d’un fil parfaitement flexible et inextensible. Nous désignerons

par m lu musse de l’unité de longueur du fil , par s l’are de la courbe du fil compté d’un point fixe pris sur cette courbe, et se terminant à l’un quelconque de ses points , et par s0 et s„ , les valeurs de l’arc s pour la première et la dernière extrémité du fil. x ,y, z représenteront les coordonnées du point de l'espace où se trouve à la fin du temps t le point du fil qui est à l’ex trémité de l’arc s. Comme là masse de l’élément du fil qui est à la suite de ce pointest mds , les forces perdues par cet élément parallèlement aux trois axes seront respectivement

, d'x d‘y iTz .

-nlds-r,-mds—,-»lds-jf, .

puisqu’on n’admet pas qu’aucune force extérieure lui soit appliquée. Le fil doit être en équilibre en supposant chacun de ses éléments sollicité par les forces perdues, condition qui s’exprime , comme on l’a vu n° 251, par l’équation

De plus il faut avoir égard à la condition de l’inexten-

sibilité du fil, ce qu’on fera, conformément au n“ 244 ,

comme on l’a vu n" 251 , en ajoutant au premier mem-

9 ' % * g Cs»

bre de l’équation précédente, l’intégrale I Itds, X

désignant la tension supportée par l’élément ds de la longueur du fil. L’équation

P* /<fx d’y cTz \ P»

°= j. "ld{dïs*+d? ** 2Ffa) + J **•

exprimera complètement les conditions du mouvement du système. Les quantités x,y, £ doivent être regardées comme des fonctions de l’arc i et du temps t.

Comme l’on a ...

» , dx . , ' , dy , dz ■ , ods == - Sdx- 4- y- SdyA — — Sdz , ds ds ds

l'équation précédente revient à N

%»+ Î*Wï î £+ * £)]•

(i >\ài

c’est-à-direj en changeant daus le dernier terme l’ordre des signes d et -î^ et appliquant le procédé de l’intégration par parties

Egalant donc séparément à zéro les coefficients des variations Sx, Sy, Sz , dans le terme affecté du signe d’intégration , on aura en premier lieu les trois équations indéGnies

- d (\ dx\

di‘ =

ds \ ds)'

d ( dy\

de’

~ ds \ ds )'

il ,i i- .t.i‘ Ki-plôi

d* z d / dz\

dt‘ ~ds\ ~ds)’

qui doivent subsister pour un point quelconque du (il. Quant aux termes placés hors du signe d’intégratioq , et qui appartiennent aux extrémités du (il, ils disparaissent d’cux-mémes si ces extrémités sont fixes , en sorte que les tensions >„ et des éléments extrêmes peuvent alors avoir des valeurs quelconques. Si les extrémités du fil sont entièrement libres, ces termes ne peuvent disparaître qu’autant que l’on aura = 0 et », = 0| ce qui indique que ces tensions doivent alors avoir des valeurs nulles. Mais si, les 'extrémités du fil étant libres , il y a des forces particulières qui y soient appliquées, forces dont les moments virtuels devront entrer dans l’équation d’équilibre , il est visible que les tensions dont il s’agit devront être respectivement égales et opposées à la force appliquée à l’extrémité correspondante.

266. Nous supposerons que la première extrémité du fil soit fixe et placée dans l’axe des x, et que la seconde extrémité, sans être entièrement fixe , soit assujettie à demeurer dans le même axe. De plus nous admettrons que dans le mouvement du fil, les figures qu’il prend s’écartent très-peu de l’axe dans lequel ses deux extrémités sont placées , en sorte que Ton puisse remplacer sans erreur sensible ds par dx. L’équation exprimant l’égalité à zéro des termes relatifs aux extrémités du fil se réduira à

0 — ), ojt, , -

et l’on ne peut y satisfaire qu’en supposant a„ =0, ou en admettant qu’une certaine force T , dirigée dans le sens de l’axe des x, et dont le moment virtuel soit Tte» se trouve appliquée à la seconde extrémité du fil. Si l'on

adopte cette dernière hypothèse , l’équation précédente devient ' ,

0=iaiïxa -(-X 3xx ,

et se trouvera satisfaite en prenant — X» = T. De plus , par suite de la supposition que la courbe du fil s’écarte toujours très-peu de la ligne droite, on peut admettre que la tension X conserve dans toute l’étendue du fil une valeur constante , égale à celle de la force T. Les équations indéfinies se réduiront alors à

tPx . d‘y 'd'y di cCz m — — = 0 , ira— — =X— , rn ——l dt‘ ’ dt' dx* dt' dx

La première indique que, par suite des hypothèses précédentes, les points du fil n’ont pas de mouvement sensible dans le sens de l’axe des x. Les deux dernières donneront séparément la loi des mouvements de ces points dans le sens des y et dés z. (Voyez les nM V94 et suivants des Leçons d’ Analyse.) On voit que les parties d’un fil peuvent exécuter à la fois des oscillations très-petites dans deux directions différentes, et que ces oscillations ont lieu respectivement comme si elles existaient seules. Cette proposition s’applique en général aux mouvements très-petits d’un système quelconque de points matérièls, et même à tous les effeLs naturels dont les lois peuvent être exprimées par des équations différentielles li* néaires.