XIX. Choc DE DEUX CORPS SOLIDES

267. Considérons deux corps sphériques homogènes, ou plus généralement deux corps homogènes dont la figure est celle d’un solide de révolution. Admettons

que les axes de ces deux corps étant placés dans une même ligne droite , ils se meuvent dans le sens de cette ligne avec des vitesses différentes. Lorsque les deux corps viendront à se rencontrer, il y aura choc, c’est-àdire que les corps exerceront, pendant un petit intervalle de temps, un effort l’un contre l’autre , et qu’ensuite, cet effort ayant cessé, ils continueront à se mouvoir suivant la même ligne, aveedes vitesses différentes de celles qui avaient lieu à l'instant où le choc a commencé. Il s’agit de rechercher les circonstances de ce phénomène , et principalement de déterminer, d’après la connaissance des masses respectives des corps et de leurs vitesses initiales , les valeurs des vitesses finales qui ont lieu quand le choc est terminé.

Il est nécessaire, pour se former des idées exactes sur ce sujet, d’avoir égard à la propriété des corps solides désignée sous le nom d’élasticité , c’est-à-dire à la faculté qu’ils présentent de changer un peu de figure, lorsqu’un effort est exercé sur une partie de leur surface , de résister à ce changement , et de reprendre d’eux-mêmes , complètement ou en partie , quand l’effort a cessé, leur figure primitive. Lorsque deux corps viennent à se choquer, ils exercent l’un contre l’autre un effort dont l’intensité varie pendant la durée du choc , et par l’effet duquel la figure de leur surface subit près du point de Contact une légère altération, que nous désignerons par le nom d impression. La profondeur de l’impression est d’autant plus grande que l’effort exercé est plus grand , et il existe en général une relation entre l’effoft exercé et la profondeur de l’impression produite, qui dépend de la figure et

de la constitution physique du corps. Cela posé, on nommera

m , ni les masses des deux corps 5 V, V' les vitesses des centres de gravité des deux corps à l’instant où le choc commence (ces vitesses sont supposées dirigées dans le même sens, V étant plus grande que V'); v , u' les vitesses des centres de gravité des deux corps à la fin du temps t, compté à partir du commencement du çhoc ;

x , x' les distances des points où sont placés les centres de gravité des deux corps à la Un du même temps, comptées à partir d’un point 8xe sur la direction de leur mouvement ; t , 1 les profondeurs des impressions faites dans les deux corps au même instant , qui sont toujours des quantités très-petites ;

N la valeur de l’elîort exercé à la fin du temps t , par chacun des corps contre l’autre.

Comme on ne suppose pas ici qu’aucune force extérieure agisse sur les corps , leurs mouvements ne sont altérés pendant le choc que par l’effet de leur action mutuelle. En tenant compte de cette action, on peut d’ailleurs, comme on l’a remarqué n* 255 , exprimer les conditions du mouvement de chaque corps de la même manière que s’il était libre. Nous avons donc ici , en supposant (ce qui est permis) , la masse entière de cha que corps concentrée dans son centre de gravité , les deux équations . #

mæ* n d? ~ N’

ou bien

• dp v m— = — N,

dt ' dt

et en ajoutant celles-ci :

mdv-\-m!dd=tQ.

Cette dernière donne en intégrant ,

. mt>-\-m't/=const

ds>

Js *

d’où il 6uit que la somme des quantités de mouvement des deux corps conserve une valeur constante pendant toute la durée du choc. On a donc

mv •\-m'd = w»Y-j- m' V' .

268. D’autre part , en multipliant respectivement les deux premières équations par dx et dx' , et ajoutant , on obtient

dx.d'x dxf.d?xf ou bien , parce que dx — dx~di-\-di\

dx.d'x

, dx.d'x'

dt »

Cette dernière équation étant intégrée donnera

("£■) ——‘ifX{di+dï)+const.,

d’où l’on déduit, en déterminant la constante par la considération qu’à l’instant où. le choc commence la valeur de l’intégrale JH (di-\-di) est nulle,

mp’-fmV1— (mV’+ m'V”) = — 2fX{di+dP) .

Le premier membre représente l’excès de la somme des forces vives des deux corps au bout du temps t sur la somme des forces vives qui avait lieu à l’instant où le ' choc a commencé , c’est-à-dire la force vive acquise par le système des deux corps au bout du temps t. L'intégrale du second membre est prise depuis le commencement du choc , où l’on a i— 0 et i'=0 , jusqu’aux valeurs de i et il qui ont lieu à la fin du temps t. Elle représente, à proprement parler , la somme des quantités d’action dues à l’efiort variable que les corps ont exercé l’un contre l’autre. •

269. Les valeurs de v et v' déduites des équations qui viennent d'étre obtenues dans les deux numéros précédents sont

mV-fro'V'

mY+mT

Ces formules feraient connaître les vitesses respectives des deux corps qui ont lieu au bout du temps t, si l’on pouvait déterminer la valeur de l’intégrale J N {di-\-dü) qui répond à une valeur donnée de t. Celte détermination exigerait évidemment , 1° que l’on eût l’expression de l’effort N en fonction de i pour l’un des corps , et de»' pour l’autre j 2* que Ton connût les valeurs de i et i qui répondent à une valeur donnée de t.

. 270. On remarquera d’ailleurs que l’on doit concevoir en général la durée du choc partagée en deux parties. Dans la première partie la vitesse v est > v, mais l’excès de la première vitesse sur la seconde décroît progressi-

vemént , et elles finissent par devenir égales. On doit prendre pendant tout cet intervalle les signes supérieurs dans les deux formules précédentes. A la fin de cette première partie de la durée du choc , les vitesses des deux corps étant égales , ils n’exercent aucune pression l’un contre l’autre, et les impressions sont alors le plus grandes qu’il est possible. On a dans cet instant, d’après les formules précédentes

- mV+w'V' m -f- m* '

pour la vitesse comûiuBe des deux corps ; et l'on voit de plus que la valeur numérique totale de l’intégrale qui représente la somme des quantités d’action dues à l’effort exercé par l’un des corps contre l’autre est

fN(di-j-dï)

1 mm'

2 fft-j-m'