V— VT

Dans la seconde partie du choc , la profondeur des impressions diminue par la tendance naturelle des corps à revenir à leur figure primitive. Une nouvelle force de répulsion s’établit entre eux , et altère leurs mouvements: la vitesse v devient alors < v , et l’on doit prendre les signes inférieurs dans les formules précédentes. Le choc est fini lorsque , par l’ellet de la différence des mouvements affectés par les deux corps, la distance de leurs centres, de gravité a augmenté de la quantité dont les impressions i et i' ont diminué à partir du moment où elles avaient atteint leurs plus grandes valeurs. .

271, Les notions précédentes ne suffisent pas en gc-

néral pour la détermination des vitesses finales de deux corps entre lesquels un choc a eu lieu. Il est absolument nécessaire de prendre en considération pour cette détermination , la constitution physique de chaque corps, c'est-à-dire la nature des forces intérieures qui le constituent, et par lesquelles il résiste aux changements de figure et tend à reprendre complètement ou en partie sa figure primitive, quand cette figure a subi quelque altération. Cependant il existe deux cas particuliers où la détermination dont il s’agit peut être effectuée, et qui doivent être distingués, parce qu’ils présentent des limites dont la considération est toujours utile dans les applications.

Le premier cas est celui où l’on suppose là nature des corps telle, que quand une impression y a été formée, elle se conserve, sans que les corps tendent à revenir à leur figure primitive. Il est visible qu’alors le choc est fini lorsque les impressions ont atteint leur maximum et que les vitesses des centres de gravité des deux corps sont devenues égales. La formule

vz=vl— -

exprime donc dans ce cas la vitesse commune avec laquelle les deux corps se meuvent après le choc , sans se séparer et sans exercer aucune pression l’un contre l’autre. Ce résultat convient.aux corps que l’on regarde comme entièrement dépourvus d’élasticité.

272. Le second cas est celui où l’on supposerait au contraire les corps parfaitement élastiques, c’est-à-dire tels que les impressions qui y ont été formées tendent à

disparaître complètement , et que les mêmes valeurs de N correspondent toujours aux mêmes valeurs de i et i', pendant que la profondeur de l’impression est croissante et pendant qu’elle est décroissante. Si les corps présentent cette propriété , et si de plus il arrive que les impressions se trouvent détruites à la fin du choc, c’est-à-dire lorsque les corps se séparent et cessent d’agir l’un sur l’autre (circonstance qui n’a pas lieu en général , et qui dépend du rapport existant entre les masses des deux corps), on aura évidemment les valeurs des vitesses finales , en supposant nulle , dans les formules du n° 269, l’intégrale .f {di-\-di). En ellet , la valeur de la portion de- cette intégrale correspondant à la première partie de la durée du choc , pendant laquelle l’impression est croissante , sera égale et de signe contraire à la valeur de la portion qui correspond à la deuxième partie de la durée du choc pendant iaquclle l’impression est décroissante. Comme on doit d’ailleurs prendre le signe inférieur dans les formules du n° 269 , les expressions des vitesses finales seront

(m -t- rn') V4- 2/n' V'

, (»»' — rn)\'-\-2m\

On peut observer que si les masses des corps étaient égales entre elles , ces formules donneraient v=X',v'= V : l’effet du choc consisterait alors à donner à chacun des corps la vitesse de l’autre.

273. Considérons le cas du n° 271 , c’est-à-dire celui d’un choc entre corps non élastiques. La force vive «lu

système avant le choc est mV’-Lm'V" : après le choc ,

cette force vive est m\>-\-m!vn, c’est-à-dire , en employant

, , j , , 0 . , -(mV+m'V')*

la valeur commune de v et v du n cite , — - — . La

différence des forces vives du système avant et après le choc , ou la force vive perdue par l’effet du choc est donc

s(V-VT,

expression égale au double des quantités d’action produites par les forces intérieures qui ont été développées pendant le choc. Or, il est aisé de vérifier que l’expression dont il s’agit revient à

OT(V <,)•(- m'(V'—v)V

Ainsi , la force vive perdue, par l’efiet d’un chocentre corps non élastiques est égale à la force vive qui serait due. aux vitesses perdues respectivement par chaque corps par l’efiet du choc. Cette proposition, qui sera généralisée dans la suite, est d’un grand usage dans plusieurs applications importantes.

274. Considérons maintenant le cas du n° 272 , c’està-dire celui d’un choc entre corps parfaitement élastiques. En mettant les valeurs de v, v données dans ce numéro dans l’expression mr’-fmV’, on trouve

mV'-fm'V'*, •

d’où l’on conclut que la force vive du système reprend a la 6n du choc sa valeur initiale , circonstance qui doit effectivement avoir lieu, \>arce qu’ici la valeur de l’intégrale qui représente les quantités d’action dues aux forces intérieures développées par le choc est nulle.

Ainsi un choc entre deux corps parfaitement élastiques ne donnerait lieu à aucune perte de force vive; mais on ne doit pas oublier que les valeurs des vitesses finales données n° 272 , et par conséquent le résultat précédent , ne pourraient être admis qu’autant que les conditions énoncées dansce numéro se trouveraient satisfaites. Il serait donc nécessaire, ncfn-seulementque les corps fussent parfaitement élastiques, mais encore que l’on fût assuré qu’J l’instant où le choc se termine, ils sont entièrement revenus à leur figure naturelle , ce qui ne peut avoir lieu que dans des cas très-particuliers.

Jiemarque.

275. La théorie du choc des corps est présentée souvent d’après d’autres notions. On considère en premier lieu des corps parfaitement durs, c’est-à-dire dont la figure ne peut subir aucun changement ; d’où résulte la conséquence qu’un choc doit changer instantanément les vitesses des deux corps , et donner à ces vitesses une valeur commune. Soit v cette vitesse commune, les quantités de mouvement perdues par chacun des corps, par l’effet du choc, seront donc respectivemcnt/w(V — y), m'(V' — y). Or, d’après ce qu’on a vu n“24f|., ces quantités de mouvement doivent faire équilibre aux quantités de mouvement imprimées par les forces agissant sur chaque corps pendant le choc,, prises en sens contraires. Mais ces dernières forces , qui sont égales et dirigées en sens opposés suivant la même ligne droite , se détruisent réciproquement,. L’équilibre dont il s’agit s'exprimera donc en posant simplement /«( V — u ) -}- /«{V’ — \>) — o ,

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d’où l’on déduit

mV-j-mV'

V m tri '

résultat conforme à celui obtenu n° 273, pour le cas des corps entièrement dépourvus d élasticité. Ainsi l’hypothèse purement mathématique de corps parfaitement durs répond véritablement à l'état des corps (s’il en existe) qui ne réagissent point contre les changements «le figure , et qui conservent sans .altération les impressions qu’on y a formées.

276. On considère en second lieu des corps parfaitement élastiques , en regardant l’élasticité comme une propriété d’après laquelle un corps ayant frappé un plan Gxe, serait repoussé en sens contraire avec une vitesse égale à celle qu’il avait à l’instant du choc, ou , en général, reprendrait en sens contraire, après un choc, une vitèsse relative égale à celle que le choc lui a fait perdre. D’après cela , les deux corps ayant perdu respectivement , par l’effet du choc , les vitesses Y — v, — ,(*>— V'), leurs vitesses doivent prendre, à la Gn du choc, les valeurs respectives v — (V — v) , — V');

ou bien — V, 2v — V' ; c’est-à-dire, en mettant pour v la valeur précédente

(m—iri)\-\-2rri\' 2ir»V

* ** rn-mtri ■> , ’ TO-f-m' 1 •

expressions conformes à celles qui ont été données n° 272. * .

Les considérations qui ont été présentées dans les n0* 267 et suivants semblent .plus conformes aux effets naturels , et plus propres à donner des idées justes sur

la nature du phénomène dont il s'agit , en mettant en évidence les restrictions que l’on doit apporter dans l’application des résultats précédents.

XX. Mouvement d’un cobps solide assujetti a tourner autour d’un axe fixe.

277. Soit un corps solide considéré comme un système de points matériels liés entre eux d’une manière invariable. Supposons des forces quelconques appliquées à ces points, et admettons que le seul mouvement . que le système puisse prendre soit un mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Nous désignerons par

m la masse de l’un quelconque des points matériels ; x , y, z les trois coordonnées rectangulaires du lieu où ce point se trouve situé au bout du temps i,

X , Y, Z les trois composantes dans le sens des x, des y et des z de la force appliquée à ce point, .cette force étant donnée en unités de poids"

Les conditions du mouvement du système consistent, conformément à ce qui a été dit n° 257, en ce que les forces perdues à un instant quelconque doivent se faire équilibre les unes aux autres. Les forces perdues dans le sens des x, desj^etdes z sont exprimées pour chacun des points matériels par

eTx

Ht"

cTz

’ Z~md?

Elles doivent se faire équilibre autour de l’axe fixe, que nous supposerons coïncider avec l'axe des x; et par con-

séq uent les conditions dont il s’agit sont ex primées d’après le n" 64 par la seule équation

ou bien

S désignant toujours la somme des quantités exprimées à la suite de ce signe, prise pour tous les corps du système. •

A l’égard des forces perdues dirigées dans le sens des x, c’est-à-dire parallèlement à l’axe fixe, dont la somme

, comme on suppose ici que le corps solide ne peut pas se mouvoir dans le sens de cet axe , on doit les regarder comme étant détruites par la résistance des points d’appui. Le mouvement du corps dépend donc uniquement des forces -Y, Z dirigées dans des plans perpendiculaires à l’axe fixe, et de la vitesse de rotation initiale autour de cet axe.

278. Dans l’équilibre des forces perdues qui s’établit autour de l’axe fixe, cet axe supporte, par la destruction mutuellede ces forces, des efforts dirigés perpendiculairement à sa direction , qui consistent , conformément au n° 66, 1° dans un ell'ort dirigé parallèlement à l’axe des y dont la valeur est

et dont le point d’application siy l’axe fixe est placé à une distance de l’origine des coordonnées égale à

— m X -rr-. I

Yr-

dC J

2° clans un eflort dirigé parallèlement à l’axe des s dont la valeur est ,

et dont le point d’application sur l’axe fixe est placé aune distance de l’origine des coordonnées égale à / d‘z\

279. Les expressions précédentes peuvent être mises sous une autre fôrme. Soit v la vitesse angulaire du mouvement de rotation à la fin du temps t, c’est-à-dire la vitesse de rotation des points situés à l’unité de distance de l’axe fixe; et r la distance des points dont les coordonnées sont^, z à ce même axe ; on aura

ày

— =vr. - —\>z , et — = — vr. — =dt r dt r

L’équation du n° 277, qui exprime la nature du mouvement , devient donc dv

.S.wr*=S(Yz — Zy) ; * .

ou, en appelant P la résultante des deux torces Y et Z, et p la distance de la direction de cette résultante à l’axefixe ,

Cette équation exprime comment la vitesse angulaire varie avec le temps. Elle est analogue à l’équation

signant la vitesse absolue. La quantité S.mr* , c’est-àdire la somme des produits des masses des points matériels par les quarrésde leur distance à l’axe fixe, dont la considération est importante , a été nommée d’après Euler moment d’inertie : Le moment d’inertie d’un corps, pris par rapport à unte ligne quelconque donnée, ollre une sorte de mesure de l’énergie du mouvement de rotation dont ce corps serait animé s’il tournait autour de cette ligne devenue un axe fixe. Toutes choses égales d’ailleurs , l’ellort qu’il faudrait employer pour imprimer au corps un tel mouvement , ou pour détruire ce mouvement si le corps en était animé, serait proportionnel à son moment d’inertie.

280. En appliquant les mêmes transformations aux formules du p° 278, on trouvera pour les valeurs respectives des efforts exercés sur l’axe fixe dans le sens des y et dans le sens des z

av f ... ,,

— =— qui convient d un mouvement rectilignè, v dedtm

et pour les distances respectives des points d’application de ces efiorts à l’origine des coordonnées

281 . Si aucune force n’était appliquée au système, l'é quation du n*> 279 se réduirait à

dt>

dt= 0’ ’d'où

V désignant la vitesse angulaire initiale. Le corps aurait un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe tixe. Il n’y aurait alors aucun effort exercé sur cet axe par l'ellet des variations du mouvement. Les efforts qu’il supporterait se réduiraient aux parties S.m^.vL S.toz. u' qui sont uniquement dues à l’effet de la force centrifuge provenant du mouvement de rotation du corps.

282. Les pressions exercées sur l’axe fixe par l’effet de la force centrifuge dont toutes les parties matérielles du système sont animées peuvent être déterminées directement de la manière suivante. Pour chacun des points matériels, cette force, conformément au n“ 148,

produit l’effort m — , ou mu'r, dirigé dans le sens du

rayon r , et équivalant aux efforts mu* y dirigé dans le sens desy, et mu*z dirigé dans le sens des z. Ainsi , par l’effet de la force centrifuge, l’axe fixe est sollicité respectivement dans le sens des y et dans le sens des z par les forces

. u'.S.my et u'.S.mz;

et les points d’application de ces forces sur ce même axe sont situés à des distances de l’origine des coordonnées exprimées respectivement par

S .mxy S. mars

s.my S. ms

Les efforts dont il s’agit tendent à déplacer l’axe de rotation , et cét axe se déplacerait effectivement s’il n’était pas maintenu dans sa position.

283. Examinons dans quels cas particuliers les forces centrifuges des parties du système n’exerceraient aucune action sur l’axe fixe de rotation. Il serait nécessaire pour cela , 1°, que l’on eût

S.wy=0 et S.wiz=0,

afin que les sommes des efforts exercés parallèlement aux axes des y et des z fussent nulles-, '2°, que l’on eût

, S. mtr y =0 et S.wurz=0,

afin que les moments de ces efforts fussent également nuis. La première condition sera toujours satisfaite si l’axe fixe passe par le centre de gravité du corps. Quant à la seconde condition , on verra plus loin que l’on pèut y satisfaire toujours en déterminant convenablement la direction de l’axe fixe, par rapport aux parties du système.

Une droite passant par le centre de gravité d’un corps solide, à l’égard de laquelle les conditions â.mxy=0, S.marz=0 subsistent , présente donc une propriété remarquable qui consiste en ce que le corps élanl libre , et aucune force extérieure ne lui étant appliquée, si ce corps a commencé à tourner autour de la ligne dont il s’agit, il conservera indéfiniment le même mouvement de rotation , sans que l’axe subisse aucun déplacement. Cette circonstance s’exprime en disant qu’une telle ligne est un axe naturel ou un axe permanent de rotation.

28k. Lorsque l’axe fixe ne passe point au centre de gravité, on n'a pas S.»i^=0, S.mz=0 , et par conséquent les deux efforts exercés sur cet axe ne peuvent être nuis ni se réduire à des couples. Mais si l’on avait

S.mxy S.mxz S .mjr ' S .mz ’

ces deux efforts se trouvant appliqués au même point de l’axe pourraient être composés en un seul, et en rendant fixe ce point d’application l’effort résultant serait détruit. Donc la condition de l’égalité des deux quantités ‘ ■ , ‘ •

S.mxy S.nixz

S.my et S .mz ’

donne à un axe la propriété qu’il suffit de rendre fixe un de ses pointe pour qu’il devienne un axe naturel de rotation.

On démontre d’ailleurs qu’on peut toujours faire passer par un point quelconque , pris dans l’intérieur ou à l’extérieur d’un corps solide, trois droites qui se croisent à angles droits, telles qu’en les prenant respectivement pour axes desx, des y et des z ,on a les trois relations

S.mjy' =0 , S.war; — 0 , S.myz—0.

Il existe donc toujours trois axes permanents de rotation perpendiculaires entre eux, passant par le centre de gravité d’un corps solide ; et il existe égalemeul toujours, pour un point quelconque de ce corps, troisdroites qui se croisent à angles droits , et qui deviendront des axes permanents de rotation, si ce point est rendu fixe. La considération de ces lignes est essentielle dans la

théorie du mouvement des corps ; on les a nommées ■' avec Euler axet principaux de rotation , ou simplement axes principaux.

Détermination des axes principaux.

285. Considérons, commg ci-dessus, un système de points matériels assujettis entre eux d’une manière invariable et formant un corps solide; désignons par m la masse de l’un quelconque de ces points , et par x,y, z , ses coordonnées comptées sur trois axes rectangulaires, Soit une droite quelconque menée par l’origine des coordonnées, et formant les angles 0,6,7, avec les axes des x, des jy et des x. La distance du point m à cette ligne est exprimée par

V/ x’-f-y’+S* — (jrCOS.a-f-yQOS.ê-f-ZCOS.y)’.

Par conséquent , si l’on désigne par L le moment d’inertie du système pris relativement à la droite dont il s’agit, on aura

L=S.m [x’-f-y’-f- z' — (xcos .a -j-y cos . 6 -f- z cos .7)’] , ou , si l’on veut ,

L== S . m [x’sin . 1 a -}~y *sin . 3 6 -(- z’sin . *7 — 2xycos.*cos.6 — 2xzcos,acos.y — 2yzcos.ecos.7j , ou bien encore

L =S . m [(y*-)- x’jcos-.’a -f- (x’-f- z’Jcos.'e-f- (x’-f-y’jcos. * 7

— 2jrycas.acos.6 — 2 xz cos. a cos. 7 — ^yz cos. 6 cos .7].

Enfin , en posant .' .

* et F=sSanyz, B=3S*/»(x’rHî’) , G = S .rnxz ,

C =zS.m(x'-ty'), H=sS./rtjrjr,j ,

cette dernière expression deviendra

L = Acos ,*a+ Beos . *6 4-Ccos ,?7 — 2F cos‘.|3 cûs .y — 2Geos . a cos . y

— 2Hcos.acos.(3 ...... (p )

Les quantités À,6,C, représentent respectivement les moments d’inertie du système pris par rapport aux axes des Xj des y et des z. La formule précédente donne d’une manière générale le moment d'inertie d’un corps solide pris par rapport à un axe quelconque passant par l’origine des coordonnées. La direction des axes des coordonnées, par rapport aux parties du corps , est entièrement arbitraire. •

Remarquons d’ailleurs que si l'on désigne par a,b,c, les coordonnées d’un point quelconque de l’axe par rapport auquel le moment d’inertie L est pris, l’équation précédente pourra s’écrire

L (a'+b'+c') — A.a’+ Bb'+Cc* — 2Fèe — 2G«e — Stllab ,

et se réduire à

1 =Aa3+Bi’+Cc’ — 2F£>e — iiGac — 2Hab ,

en prenant \/ a'-\-b'-\-ci= • Si l’on attribue donc à

cet axe toutes les directions possibles, et si l’on portesur chacune, à partir de l’origine des coordonnées, une longueur égale à l’unité divisée par la racine carrée du moment d’inertie correspondant , les points obtenus de cette manière appartiendront à un ellipsoïde représenté par l’équation précédente.1

286. Cela posé, proposons-nous de déterminer les directions de la ligne par rapport à laquelle doit être

pris le moment d'inertie L , pour que ce moment d’inertie soit un maximum ou un minimum ; ou , ce qui revient au même, de déterminer les directions des axes rectangulaires de l’ellipsoïde dont nous venons de parler. On connaîtra ces directions par ce caractère que la valeur de L ne variera pas quand on fera varier infiniment peu dans l’équation ( p ) les valeurs des angles a, 6/y. Si l’on met donc celte équation sous la forme

L(cos.,a-(-cos.,6+cos.,yj=Acos.'o-)-Bcos.’e-f Ccos.’7

— 2Fcos.(3 cos.y — 2Gcos.acos-7 — 2Hcos.a cos. (3,

et si on la dillérentie successivement par rapport à «,6,7, en y regardant L comme constante , on obtiendra trois équations ,

(L — A)cos.a+Hcos.6+Gcos.7=0,

Hcos.a+(L — B)cos.S+Fcos.7 = 0 , Gcos.a+Fcos.6+(L — C)cos.7 =0,

auxquelles doivent satisfaire les valeurs de *,5, 7 et L qui répondent au maximum ou au minimum de cette dernière quantité. On en déduit en premier lieu l’équation du troisième degré

(L— A) (L — B)(L— C) — (L — AJ F’ — (L — B)G’— (L — C) H’