FGH

qui donnera la valeur de L , et dont les trois racines seront nécessairement réelles ; puis

cos. a cos.6 cos.7

~ \/^L^BHL— Cl— F’+(L — A) (L— Ç). — G’+<L— A) (L-B)— H’ ’ J

pour déterminer ta -valeur des angles u , 5 , 7 appartenant

Digitizad.by (

aux trois ligues qui se croisent à angles droits, et auxquelles répondent les trois valeurs de L données par l’équation ( q ). Oü est assuré d’ailleurs, par ce qui précède, que la plus grau de de ces trois valeurs sera un maximum , la plus petite un minimum , et que la valeur intermédiaire ne sera ni un maximum , ni un minimum , quoique satisfaisant à la condition de rendre nulle la différentielle du premier ordre de la fonction L. '

Mais on peut concevoir que les trois lignes dont il s’agit coïncident avçc les axes des x j des y et des z , et si cette circonstance avait lieu, les trois racines de l’équation (q) seraient alors respectivement égales à A, B et G ; ce qui ne pourrait arriver qu’autant que l’on aurait F~0, G=0 , et H=0. Donc, si les trois équations

S.mya = 0, S.mjrz=0 , S.mxy = 0 ,

subsistent , on en conclura que les axes des coordonnées coïncident avec les directions des lignes par rapport auxquelles le moment d’inertie est un maximum ou un minimum*; et comme celte coïncidence est toujours possible., il s’ensuit qu’on peut toujours donner aux axes des coordonnées une direction telle que ces trois équations soient satisfaites.

Nous avons d’ailleurs nommé , dans le n” 284 , axes principaux , trois lignes qui se croisent à angles droits dans un point quelconque d’un corps solide, et telles qu’étant prises pour axes des coordonnées , les trois équations précédentes sont satisfaites. On voit donc, parce qui précède , que les axes principaux ne sont autre chose que les trois axes rectangulaires qui oql été déterminés

ci -dessus , dont les directions sont données pur les équations (gr) et (r), et à deux desquels répondent le plus grand et le plus petit de tous les moments d'inertie relatifs à toutes les droites qui se croisent au point pris pour origine des coordonnées.

Propriétés des axes principaux relatives aux moments d’inertie.

287. Admettons qüé l’on ait pris pour axe des coordonnées x , y, z , les axes principaux du corps solide que l’on considère , qui se croisent à l’origine dés coordonnées- On aura donc , dans la formule (p) du n' 285 , F=0, G=0 , H^O, et A , B, C- seront les trois moments d’inertie du corps relatifs à ces axes principaux. La formule [p) se réduira alors à , .

L= Acos.’a+Bcos.’e+Cços.'y ;

en sorte que le moment d’inertie relatif à udo droite quelconque passant par 1 origine des coordonnées se trouve exprimé d’une manière fort simple au moyen des trois moments d inertie relatifs aux axes principaux qui se croisent à cette origine, et des angles fotmés avec ces axes par la droite dont il s’agit. Les trois axes rectangulaires de l’ellipsoïde dont il a été question n° 285, et dontlcs rayons ont des longueurs réciproques aux racines carrées des moments d’inertie relatifs à ces rayons, coïncident avec les axes des coordonnées. L’équation de la surface de cet ellipsoïde se réduit à

1 = A«M-BZ»m-Cc\ , .

. 288. Admettons maintenant qu’au lieu de prendre le

moment d’inertie par rapport à une droite passant par l’origine des coordonnées, on veuille le prendre par rapport à une droite passant par un point dont les coordonnées sont x„ y„ Z, ; on devra remplacer alors x, y, z , par x — x„ y — -yr„ z — zt, dans les formules du n*285, de sorte qu’en désignant toujours par * ,6,7 les angles formés par la ligne dont il s'agit avec les axes des coordonnées, le moment cherché sera

(x— xJ’sin.'x-K.r— ^O’sin.'e+fs— z.J’sin.y S . m — 2(x— x, j (7— ^.Icos.o cos . g— 2(x— x,) (z cos. acos.7

—2 (y— y,) (z— z,)cos.^cos.y

Mais si l’origine des coordonnées x, y , z était placée au centre de granité du corps , on aurait alors S.mx=0, S.m^=0 , S.mz=0; et en vertu de ces relations , l’équation précédente deviendrait

x’sin.’a+^sin.'ë+z’sin. 7 — ’ixy cos . acos. (3 — 2xzcos . acos.7 — jJyzcos. Scos . y +x,Vin .’o+^/esin .’+ o,*sin . "7 — 2xj',cos.acos.6 — 2x,z, cos. acos.7— 2^,^ cos. 6 cos. 7

c’est-à-dire

x*siu.,*-|-l7'’sin.’S+z,sin.‘y

S . tn — 2xycos.?co$.[i — 2xzcos. acos.7 — zoos. êcos,-/

■4 •xf+yî+z? — (x,cos.a+<7'1cos.€+zlcos.7)‘

La première partie decette formule donne la valeur du moment d’inertie du corps pris par rapport à un axe mené parallèlement à la droite proposée par l’origine des coordonnées , origine que nous supposons placée au centré de gravité de ce corps. La seconde partie donne le produit de la masse entière du corps par le carré de la

distance de la ligne proposée à l'origine des coordonnées. On conclut donc de ce résultat que , connaissant le moment d’inertie pris par rapport à unedroitequelconque passant par le centre de gravité du système j on aura le moment d’inertie pour toute autre ligne parallèle à celle-ci , en ajoutant au premier moment le.produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux droites.