En réunissant cette proposition à celle des n

cl 4-1 on voit comment on peut composer plusieurs couples quelconques agissant dans des plans parallèles. Le couple résultant est placé dans un plan quelconque parallèle à ceux des couples composants, et son moment est égal à la somme des moments des couples composants, somme dans laquelle ou doit donner des signes contraires aux moments des couples qui tendent à faire tourner le système en sens opposés.

45. Considérons actuellement deux couples placés dans des plans non parallèles. Quels que soient ces couples on peut les ramener : lô .4 être formés tous les deux par des forces égales P ; 2° à ce que les directions de l’une des forces soient placées dans la commune intersection des plans dans lesquels ces couples sont placés. Soient AA ( fig . 15) cette commune intersection, et AB, AC les perpendiculaires à cette ligne qui mesurent respectivement dans les plans des deux couples les distances des directions des forces P dont ils sont formés. Les moments des deux couples proposés seront exprimés respectivement par P. AB et P. AC ; l’angle BAC sera l’angle des plans de ces couples. Cela posé, achevons le parallélogramme dont AB, AC sont deux côtés, et traçons les deux diagonales AD, BC. Ces lignes étant supposées liées invariablement entre elles et au système dont les couples proposés font partie, on ne changera rien à l’état de ce système en plaçant au point D deux forces égales et parallèles aux forces P et agissant en sens contraires , et au point E quatre forces semblables qui se détruisent deux à deux. Et si l’on supprime ensuite les forces qui se font réciproquement équilibre sur les deux leviers AD, BC, il restera deux forces P agissant dans un sens

opposé aux extrémités de la diagonale AD ; c'est-à-dire un couple situé dans le plan AAD, dont le moment est P. AD. Ainsi la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent la direction des plans des couples composants et les moments de ces couples , représente la direction du plan du couple résultant et le moment de ce couple.

46. Cette proposition peut aussi être présentée de la manière suivante : l’action d’un couple , comme on l’a remarqué n°35, tend à faire tourner le plan dans lequel il agit autour d’un point quelconque pris dans ce plan. Plus généralement, l’action d’un couple tend à faire tourner le système auquel il est appliqué autour d’une ligne droite quelconque perpendiculaire au plan du couple. Appelons une telle ligne l’axe du couple : on pourra la placer où l’on voudra dans l’espace , pourvu qu’elle reste perpendiculaire au plan du couple; et comme, parle n° 43, un couple peut être transporté dans un plan quelconque parallèle au sien sans que l’état du système soit changé, l’action d’un couple est complètement définie quand on a donné la direction de son axe et la valeur de son moment. Cela posé , on voit aisément f par len” 45 , que si l’on prend deux lignes qui représentent en direction les axes de deux couples , et en grandeur leurs moments, la diagonale du parallélogramme construit sur cesdeux lignes représentera en direction l’axe du couple résultant , et en graudeur le moment de ce couple.

Ainsi , les couples peuvent être composés et décomposés suivant les mêmes lois que les forces; et comme on peut toujours transporter l’axe d’un couple parallèlement à lui-même dans un point quelconque fie l es-

r ». . ’jLdfa, afc " ^^Pjî^V ^V ,:.

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pnce , on voit que les règles exposées dans l'article II pour la composition des forces appliquées à un point matériel donnent complètement la composition des couples.

47. Cherchons maintenant les conditions de l’équilibre de plusieurs forces parallèles appliquées à un système formé de points matériels disposés d’une manière quelconque et dont les distances mutuelles sont invariables. Représentons , comme dans le n° 36, par P l’une de ces forces, et par x,y les coordonnées du point où sa direction rencontre le plan des xy mené perpendiculairement aux directions de toutes les forces. Sans rien changer à l’état du système, on peut appliquer à l’origine des coordonnées deux forces égales à P et agissant en sens contraires ; en faisant la même chose pour toutes les forces, elles se trouveront remplacées par d’autres forces agissant dans le même sens qu’elles-mêmes , appliquées à l’origine, et par des couples dirigés dans des plans passant par l’axe des z, et dont l’un quelconque des moments sera représenté par P.j/ x'+y\

L’équilibre du système exigera donc en premier lieu que les forces appliquées à l’origine se détruisent, ou que l’on ait

En second lieu, il faudra qu’en composant les couples donnés par chacune des forces, le moment du couple résultant soit nul. Or, le couple donné par la force P peut être remplacé par deux autres agissant dans les plans des zx et des zy parallèlement aux directions des forces proposées, et dont les moments

â. Jr

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^PK PH R Æ • !fs^î i H

sont respectivement Px, Py. Tous les couples donnés par les forces proposées peuvent donc être remplacés par deux autres couples placés dans les plans dont on vient de parler, et dont les moments sont respectivement S. Par, S.Py. L’existence de l’équilibre exigeant que le moment du couple résultant soit nul, il faudra

donc que l’on ait encore les équations

liiyv.:. , , ^.;Wj •

S.Pj? = 0, S.Py^O.

Les trois équations

S.P=0, S.Px=0, S.Px=0,

expriment complètement les conditions de l’équilibre du

système. La première apprend que la somme des forces

doit être nulle. Les deux autres indiquent que la somme des moments des forces pris par rapport à deux axes menés perpendiculairement à leur direction doit être nulle. Si cette dernière condition a lieu pour deux axes quelconques perpendiculaires à la direction des forces, et non parallèles entre eux , elle subsistera également pour tout autre axe également perpendiculaire à cette direction.

48. La résultante, si elle existe, devant être égale et directement opposée à la force qui établirait l’équilibre dans le système , on a évidemment, d’après ce qui précède, en désignant cette résultante par R, et par X , Y, les coordonnées du point où sa direction coupe le plan des xy,

R=S.P, RX=S.Px, RY=S.P^ ;

S.Py

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