Examinons quels sont les points de l’espace

(tour lesquels les axes principaux du corps solide qui appartiennent à ces points ont des directions parallèles entre elles. Les coordonnées x,y>z, étant comptées sur trois axes rectangulaires quelconques passant par le centre de gravité du corps solide, désignons par xt,yt>zt, les coordonnées d’un point donné m, comptées sur les mêmes axes. .

Les trois équations .

exprimeront la condition que les trois droites parallèles aux axes des x, des. y et des z , qui passent 'par le point mt soient les trois axes principaux appartenant à ce point. Or, l’origine des coordonnées x,y,z étant placée au centre de gravité du corps, on a S.mtr=0, S.i»y=0, S.mz=0, et les équations précédentes se réduisent à

S.mxy+MX'y^O, S.ma.'z+Mx,z,=sO, S.myz+Ky^z^O,

M représentant la masse entière du cor{>s. On voit qu’il est en général impossible de satisfaire à ces équations par des valeurs différentes de xt,ylfz^ si ce n’est par les valeurs — xt, — — zr D’où l’on conclut-qu’il n’existe en général qu’un seul point m dont les trois axes principaux soient parallèles à ceux qui appartiennent au point mt, et que ce point m est situé de manière que la ligne mmi est partagée en deux parties égales par le centre de gravité du corps solide.

293. Admettons que l’axe des z coïncide avec .l’un des axes principaux du corps qui appartiennent à son

centre de gravité, et par conséquent que le plan des xy coïncide ?rvec le plan qui contient les deux autres axes principaux appartenant à ce centre. Changeons les coordonnées x,y,z en d’autres coordonnées a,b,ç

comptées sur les axes principaux dont on vient de par- 1er. En nommant 0 l’angle compris entre l’axe des a et celui des x , il viendra

,r = acQ8.0-f isin.9 , yz=zbcos.9 — asin.9 , z=ze ;

en substituant ces valeurs dans les trois équations précédentes, et observant que S.mab—Q, $.mac=07 S.mbc=0 , on aura

S.m(b' — «’)taog. 294-M(A,'~ a,J)tang.29-|-iVla,i,==0,

M(a,cos. 9+6^in.S)c,= 0, — <3,»in.S)c,=0.

Supposons actuellement que le point mt, dont les coordonnées sont at>bl7ct, soit situé dans le plan des ab. Les deux dernières équations seront satisfaites, à cause de c==0, et la première restera seule pour exprimer la relation qui doit subsister entre les coordonnées a, et b,i afin que les tr°*s axes principaux, appartenant aux points déterminés par. ces coordonnées aient des directions parallèles entre elles. Il est clair que deux de ces axes sont situés dans le plan des ai, l’un d’entre eux formant l’angle 9 avec l'axe des a. Le troisième est perpendiculaire à ce plan , ou parallèle à l’axe principal appartenant au centre de gravité du corps qui coïncide avec l’axe des c.

L’équation précédente entre at et bt appartient à une hyperbole équilatère ayant pour asymptotes les axes des .r et des y ; et l'on a : .

pour les coordonnées des points où cette courbe coupe lès axes des a, ou des b,. L’une de ces expressions est toujours réelle, et l’autre toujours imaginaire; elles sont indépendantes de l’angle 8.

11 résulte de ce qui précède que, C (fig. 31) étant le centre de gravité du corps solide, et Ca, C b deux des axes principaux appartenant à ce centre, le moment d’inertie relatif à l’axe Ca étant supposé plus grand que le moment d’inertie relatif à l’axe Ci ; si l’on a dans le plan de ces deux axes un point quelconque m , que l’on détermine les deux axes principaux mp , mq appartenant à ce point qui seront contenus dans le même plan ; que l’on mène- par le centre C les droites C.r, Cy parallèles à mp,mq,et qu’en fin l’on construise l’hyperbole équilatère passant parle point m, dont ceslignes sontlesasymptoles, tous les points situés sur cette hyperbole auront leur trois axes principaux parallèles à ceux qui appartiennent.au point m. De plus, toutes les hyperboles ainsi construites couperont l’axe Ca eu deux points D,D, situés à une

distance du centre C , exprimée par

A et B

désignant les moments d’inertie relatifs aux axes Ca et CA. Si ces deux moments d’inertie étaient égaux , l’hyperbole équilatère se réduirait au système de deux lignes droites perpendiculaires l’une à l’autre, dont l’une serait tracée du point m au centre C, et qui détermineraient les directions des axes principaux appar-r tenant au point m. .

•294. Admettons maintenant que les trois axes des x, des y et des z du n° 292 coïncident avec les trois axes principaux appartenant au centre de gravité du corps, et supposons que le point m soit pris sur l'un de ces axes. On aura alors S.mxy^O, S.mxz=0, S.myz=0 , et deux des coordonnées xl,yl,zl seront nulles. Les trois équations posées dans ce n° pour exprimer la condition que les axes des x, des y et des z soient parallèles aux axes principaux, appartenant au point m, se trouveront donc satisfaites. D’où l’on conclut que pour tous les points situés sur les axes principaux qui se croisent au centre de gravité d’un corps, les axes principaux sont parallèles aux premiers.

295. On peut demander d’ailleurs de déterminer les points d’un corps, s’il en existe, pour lesquels toutes les droites qui se croisent en ces points soient des axes principaux , et pour lesquels , par conséquent , les moments d’iner'tie pris par rapport «à ces lignes soient égaux entre eux. Admettons que les axes des coordonnées x, y, z coïncident avec les axes principaux du corps qui se croisenten son centrede gravité : on aura les conditions

S.mjr=0 , S.my = 0 , S.mz = 0 ,

S.mjy',=0 , S.mxz=0 r S.wy'z=0;

et de plus en appelant A, B, Clés trois moments d’inertie pris par rapport aux axes principaux qui se croisent au centre de gravité ,

A=S.m(iy,+z’) , B=S.m(x’+z’) , C=S.m(x,+.r*). Cela posé, si les parallèles menées aux axes primitifs

par le point qui a pour coordonnées x , y, z' sont des axes principaux , on aura . ‘ , .

Sm(jr — X?) (jr — y)=0 , Sm(x — =0 ,

. Sm(jr — jr1) (a — a,)= 0. .

Ces équations se réduisent , en vertu des conditions précédentes, à

x’y=Q, •z's—0 , yt!z=Q.

Celles-ci ne peuvent être satisfaites à moins que deux des quantités a/, y , z' ne soient nullcs; d'où l’on conclut en premier lieu que les points cherchés, s’ils existent, sont situés sur l'un des axes principaux qui se croisent au centre de gravité.

Supposons nulles les Coordonnées y et z' , en sorte que les points cherchés doivent se trouver placés sur l’axe des x. En désignant par A', B', C' les moments d’inertie pris par rapport à trois axes passant par l’un de ces points et parallèles aux axes principaux qui se croisent au centre de gravité, on aura d’après le n» 289 A'=A, B'=B-f-M.r", C'^C+M-r". •

Et puisque les trois moments d’inertie A', F, C' doivent être égaux entre eux ,

L’existence de la propriété dont il s’agit exige donc 1* que les deux moments d’inertie B et C soient égaux entre eux , 2° que A soit plus grand que B et C. Ainsi les points tels que toutes les lignes qui s’y croisent sont des axes principaux ne peuvent subsister à moins que les deux plus petits moments d’inertie pris par rapport aux axes principaux qui se croisent au centre de gravité

du corp9 ne soient égaux entre eux ; et si cette conditionalieu, il existera deux de ces points placés sur l’axe principal par rapport auquel est pris le plus grand moment, à une distance du centre de gravité exprimée par

la formule x = dfc\ / ^ ^

Si les trois moments A , B, C étaient égaux entre eux , le centre de gravité serait le seul point du corps pour lequel toutes les lignes qui s’y croisent présentassent la propriété qui appartient aux axes principaux.

Évaluation des moments d’inertie.

296. L'évaluation du’moment d’inertie d’un système de points matériels formant un corps solide, ce moment étant pris paT rapport à un axé quelconque, est ramenée dans le n° 289 à la détermination des valeurs des trois moments d’inertie pris par rapport aux axes principaux qui se croisent au centre de gravité, et dont l'un dès trois est nécessairement le plus petit des moments d’inertie qui puissent appartenir au corps. Le calcul de la valeur d’un moment d’inertie, exprimé en général par S mr’t rn désignant la masse d’un des points matériels du système, et r la distance de ce point à l’axe par rapport auquel est pris le moment , ne présente d’ailleurs aucune difficulté. S’il s’agit, non pas d’un assemblage de points matériels placés à certaines distances les uns des autres, mais d’un corps continu, la somme désignée par S deviendra une intégrale définie qui peut prendre diverses formes suivant le système de coordonnées que l’on adopte. En conservant les coordonnées rectangulaires,

et désignant par p la valeur de la niasse de l'unité de volume de la matière du corps qui a lieu dans le point dont les coordonnées sont x, y, z , on anra évidemment

jV

pour l’expression générale du moment d’inertie pris par rapport à l’axe des z. Les limites des intégrales sont déterminées par les valeurs des coordonnées qqi appartiennent à la surface du corps, conformément à ce qui a été dit n°76. Nous présenterons quelques exemples des calculs de ce genre.

297. Soit un parallélipipède rectangle homogène dont le centre est placé à l’origine des coordonnées, et dont les arêtes sont parallèles aux axes. En désignant * respectivement par a, b, c les demi-longueurs des arêtes dirigées parallèlement aux x, aux y et aux z, l’expression du moment d’inertié pris par rapport à un axe passant par le centre de gravité et parallèle à l’arête c sera

dz[x'-\-y')=-^.abc(ay—b')-,

ou en désignant par M la masse entière du corps.

Si le moment d’inertie était pris par rapport à une des arêtes c, sa valeur serait

Il est visible d'ailleurs que les trois axes menés par le centre parallèlement aux arêtes sont ici les axes principaux ; que le plus grand des trois moments d’inertie relatifs à ces axes appartient à l’axe parallèle à la plus petitp arête ; et que le plus petit des trois moments’d’inertie dont il s’agit, appartient à l’axe parallèle à la plus grande. De plus , si c est la plus petite arête, et si les arêtes a., b sont égales entre elles, l’axe des a contient deux points tels que toutes les droites qui s’y croisent sont des axes principaux. Lesdistanèesde ces points à l’origine ont pour expression , conformément à

ce qu’on a vu n" 295, x=±\/ — c’).

298. Considérons un solide de révolution dont l'axe coïncide avec l’axe des z. Le moment d’inertie pris par rapport à cet axe pourra s’exprimer par l’intégrale double

2* J dx xl ^dz.p ,

2rt

dx.px? ,

r. représentant le rapport de la circonférence au diamètre.

299. Si .ce solide est un cône tronqué décrit par le trapèze AMNC ( fig. 32) , on aura en appelant a le rayon AM de la petite base, et 0 l’angle au centre , jr=a-(-ztang.9

pour l’équation de l’arête MN. La formule précédente deviendra donc, p étant supposée constante, et la hauteur AC du cône tronqué étant désignée parc,

rc ra-\-z tang.O 2 tt.p I dz I dx.x 3,

fc’est-à-dire , > . •

n çe , ' | 1t (a

.« • a- -^J *(«+*tang.#)^=.-.j> —

Cette expression du moment d’inertie d'un cône tronqué pris par rapport à son axe donne pour un cône entier, en faisant «=0 ,

i^‘*pc'tan6,<9'

La même expression devient , en faisant 6=0 ,

Y -faic »

pour la valeur du moment d’inertie d’un cylindre droit pris par rapport à son axe, a étant le rayon de la base , et c ,1a hauteur de ce cylindre. Le moment d’inertie du même cylindre , pris par rapport à une arête f est

300. Si le solide est une sphère dont le rayon est représenté par a, on a

et, ce solide étant toujours supposé homogène , la formule du n° 298 donne , pour l’expression du moment d’inertie pris par rapport à un diamètre,

ra pX/aï-z*

2irp J dz J dx.x3 ;

ou bien '

—■ .p f dz(a*— 2aV-f-z<) = ^ . pa i‘,

-j-etang.#)' — a1 tang.6 •

Cette formule revient à |Ma’, M désignant la masse de la sphèrè. Le moment d’inertie pris par rapport à une ligne tangente à la surface de la sphère est

301. Cherchons enfin l’expression des moments d’inertie d'un ellipsoïde homogène pris par rapport aux trois axes de ce corps , qui sont évidemment les axes principaux passant au centre de gravité. * Les demidiamètres dirigés dans le sens des a:, des y et des z étant représentés respectivement par a , b , c , et l’origine des coordonnées étant placée au centre , l’équation de la surface de l’ellipsoïde est