JL

d’pù l’on déduit

Par conséquent, la formule du n° 29G donne pour l'expression du moment d’inertie pris par rapport à l’axe des z, en effectuant d’abord l’intégration par rapport

2J3.C jdx jtiy {*'+.) ') y/ 1 >

qui peut s écrire :

— aga —

Considérons l’intégrale

dont les limites doivent être les valeurs dey en x données par l’équation •à‘y1=ab1 qui appartient à l’intersection du plan des xy avec la surface de l’ellipsoïde,

c’est-à-dire y—±b^ j fL- Si l’on fait, pour abréger,

,-=by/\ x f cette intégrale pourra s’écrire :

et domine la quantité j dy[/r7—y' équivaut à l’aire

d’un demi-cercle dont le rayon est r , on voit que la valeur d e l’intégrale dont il s’agi t est

On aura donc , d’après cela , •

jdx ^jéX/*-^ J) ’

et en effectuant l'intégration par rapport à x entre les limites — a et a , il viendra définitivement

On aura de la même manière

ainsi le moment d’inertie cherché est

Comtne le volume de l’ellipsoïde- est -* abc , on voit

d’après les résultats précédents , qu’en désignai nt’par M la masse totale dé ce corps, on a respectivement

pour tes trois motqents d’inertie pris par rapport aux axes dont les demi-longueurs sont a, b et c.

Si a est le plus grand des trois demi-axes , le moment d’inertie jM(#*-j-c2) est le plus petit des trois moments d'inertie précédents , et par conséquent le plus petiX des moments d’inertie par rapport h une droite quelconque. Si c est le plus petit des demi-axes , le moment d’inertie (a’-fè3) est au contraire le plus grand des trois moments d’inertig relatifs aux axes principaux qui se croisent au centre du corps, et par conséquent le plus grand des trois moments d’inertie relatifs à toutes les lignes qui peuvent être menées par ce centre. Si les demi-axes a et b sont égaux , en sorte que le corps soit un ellipsoïde de révolution , et si de plus le demi-axe c autour duquel la surface est décrite est plus petit que a et A, le- plus grand des inonaents d’inertie étant alors |Mn,,.etles deux autres moments d’inertie étant , il existe, d’après le 1*" 295

deux point situés sur l'axe de révolution de part et d’autre

du centre, à. la distance \s\{a‘ — c2). de ce centre , tels que toutes les droites qui peuvent être menées par ces points sont dès axes principaux *.

Mouvement d’un corps pesant autour d'un axe fixe horizontal. Centre d'oscillation.

302- Considérons un corps solide soumis à l’action de la gravité s et tournant autour d’un axe horizontal A (fig. 33) supposé fixe. Soit AB la. trace d’un plan vertical passant par cet axe , le mouvement du corps doit satisfaire à l’équation différentielle . • dv S.P p

dt S. nid 1

donnée n° 279. En désignant par G la position du centre de gravité du corps au bout du temps t, par 6 l’angle BAG , par c la distance AG , et par M la masse totale du corps , on a

di

v— — — , S.Pp=Mg'.csirt.9 ,

• Clt

et cette équation devient

d’fj Mge

dt ' S. nid

sin.fi.

Eu multipliant les deux membres par do et intégrant on trouve

aftlg’c

S.md

cos.fi-j-co/uf.

' Le» résultat» précédent», et un grand nombre d’autres, sont contenus ' dans la formule de M. Diricblet. Voyez les Leçons <l'Ànnljrse , p. 817.

Soit o la valeur initiale de l’angle 0 , et V la valeur initiale de la vitesse angulaire : on aura

Cette équation étant résolue par rapport à dtet intégrée fera connaître la relation entre t et 9 , et par conséquent la nature du mouvement du corps.

303. Si Ton considérait le mouvement d’un seul point matériel pesant, placé à la distance R de l’axe de rotation , on aurait pour l’équation, du mouvement de ce'

point • •

(f)=V,^R(COS'®“COS-0)’

comme on peut le conclure du n* 168. On voit par là qu'un’ corps solide pesant prend autour d’un axe fixe horizontal le même mouvement qu’affecterait Un point matériel assujetti à décrire autour de cet axe un cercle ayant pour rayon

S.mr’ Mc '

Soit MA* le moment d’inertie du corps pris par rapport à une ligne menée par son centre de gravité paralrallèlement à l’axe fixe on aura d’après le n° 292 S.m/,J=M(c’-t-A’) ; et par conséquent le rayon dont il s’agit a pour valeur

' Un corps solide , d’une figure quelconque, oscillant autour d’un axe horizontal est nommé. pendule composé, par opposition au pendule simple formé par. un seul point matériel suspendu à un fil' sans masse. La durée

des oscillation du pendule simple est égale à la dürée des oscillations du pendule composé , lorsque la longueur

t fl. f ' i > c’+k' ‘

du fil est égalé a — - — .

, 304. On a nommé centre d’ oscillation dans un corps qui oscille autour d’urt axe fisc horizontal un point dans lequel on pourrait supposer concentrée la masse entière du corps sans altérer la nature et la durée des oscillations. Il résulte de ce qui précède , que tôus les •points situés dans un plan passant par l’axe fixe et par le .centre de gravité, et dont la distance à l’axe fixe est

égale à — — , présentent la propriété dont il s’agif.

On peut remarquer de plus que la relation du centre d’oscillation au centre de suspension est réciproque, en sorte que le centre de suspension deviendrait centre d’oscillation si le centre d’oscillation devenait centre de suspension. En effet la distance du centre de gravité au

c— — , la formule

centce.de suspension étant

précédente appliquée au cas où le centre d’oscillation deviendrait centre de suspension , donne

305. Il existe d’ailleurs dans un corps solide une infinité de droites telles qu’en les prenant pour axes de suspension, ce corps fera toujours autour de cfes lignes des oscillations dont les durées sont égales entre elles. Désignons par ie, 6 V7 les angles que forme avec les trois

axes principaux qui se croisent au centre de gravité du corps une parallèle à l’axe fixe menée par ce centre de gravité, et par A,B.,C les moments d’inertie pris par rapport à ces axes principaux. On aura, d’après le n° 290, MA^Acos.'a-j-Bcos.’S^f-Ccos.’v; et par conséquent

Àcos.’a-I-Bcos.’e-I- Ccos'.v+Mc’

Mc 1

pour la longueur du pendule simple , dont les oscillations auraient une durée égale à celles du corps proposé. Or on peut faire varier d’une infinité de manières les' valeurs des quantités «,€,-/ etc, en conservant toujours la même valeur à l’expression précédente.

Soit A le plus petit des trois moments d’inertie A,B,C. La longueur c restant constante , Ta (dus petite valeur de l’expression précédente sera

A-j-Mc*

“Mc- ’

et le minimum de cette dernière expression répond à

c=\/± Ainsi les axes de suspension autour desquels un corps solide exécute les oscillations dont la durée est la moindre possible, sont parallèles a celui des axes principaux passant par le centre de gravité auquel répond le plus petit des trois moments d’inertie, et sont distants de cet axe principal de la

quantité V — , Adésignant ce moment d’inertie minimum. La longueur du pendule simple dont les oscillations ont cette moindre durée est 2'^/ jj-.

Mouvement d’un corps solide autour d’un axe fixe, produit par une impulsion: Centre de percussion.

306. Considérons, comme dans tes h°* 277 et suivants, un corps solide assujetti à tourner autour d’un axe fixe que nous supposons coïncider avec l’axe des x. Le mouvement de ce corps sera déterminé , comme on l’a vit , n° 279, par l’équation différentielle

dv S.P/> • •

dt S.mr' ’

dans laquelle v est la vitesse angulaire du corps à la fin du temps t, S.Pjs la somme des moments des forces qui, sollicitent le corps, ces moments étant pris par rapport à l’axe fixe, et S.mr*' le moment d’inertie du corps par rapport au même axe. Cette équation fera connaître, par l’intégration, le mouvemebt du corps, lorsque la position et la vitesse initiales, de ce corps seront données.

Nous admettrons maintenant que lé corps , étant immobile , reçoit instantanément une impulsion qui le met en mouvement. Il s’agit de déterminer la vites’se qu’il prendra par l’effet de cette impulsion , et les efforts que devra supporter l’axe fixe à l’instantoù elle est donnée.

. Relativement au sens que l'on- -doit attacher au mot impulsion , nous remarquerons qu’un corps solide étant supposé immobile , on peut concevoir qu’un ellort très -grand est exercé pendant ûn temps fort petit sur un point de la surface de ce corps. Soit F cet effort ( constant ou variable avec le temps j évalué en unités de poids, et r la durée très -petite «lu

temps pendant lequel il est exercé. Si l’effort F était exercé contre un point matériel dont la masse tût m , et qui lui cédât * librement , on aurait , en appelant u la vitesse acquise par ce point à la fin du du •, *

temps t , m—= F , par conséquent mdu=Fdt,.et, à la

fin du' temps t, mu— | F dt. On voit que l’intégrale

| F dt représente la quantité de mouvement qui peut J o •

être produite par l’action que nous considérons ici , et qui est la mesure/le celte action. Nous pouvons poser

pour abréger I "F<&=<t>; <j> désignera Ja quantité de

mouvement imprimée, dans ladirection del’efTort F, par l’action dont il s’agit, et s’exprimera généralement par le produit d’une masse par une vitesse. Ces notions sont conformes à ce qu’on a vu dans le n° 258.

Ajoutons d’ailleurs qu'une impulsion est souvent produite par un choc, c’est-à-dire par un corps en mouvement qui viendrait frapper le corps que l’ou considère. 11 est évident que dans .ce cas une certaine quantité de mouvement est imprimée par l’efl’et du choc à chaque corps, en sens opposés, et dans la direction de la normale commune aux deux surfaces menée par le point de Contact, Ainsi l’elfet d’un, choc sur un corps peut toujours être représenté en admettant qu’une quantitéde mouvement ♦ est imprimée,' dans une direction donnée , en un certain point de ce corps. Mais la grandeur de la quantité * ne pourrait être

connue quau moyen d’une solution spéciale de la question, semblable à celle qui a été donnée dans l'Article XIX.

Enfin nous observerons que si le. corps considéré a été frappé par un -autre corps ayant une masse m et une vitesse V, et si après le choc les deux corps demeurent adhérents et ne forment qu’un seul système solide , on pourra regarder ce système comme ayant reçu une impulsion * = mV, et déterminer en conséquence, comme on va le voir tout à l’heure, le mouvement qui aura lieu immédiatement apçès le choc. L’impulsion * devra être censée appliquée au centre de gravité du second corps, et dirigée dans le sens du mouvement de ce centre de gravité.

Cela posé, nous représenterons par

* la quantité de mouvement imprimée par la force qui produit l’impulsion ;

ïv 5, les coordonnées du point du corps où cette force est appliquée;

€, y, les angles formées par sa direction avec les axes , ‘les x, des y et des z;

la plus courte distance de la direction de cette

, ™t-me force à laxe des x avec lequel coïncide i a*e fixe autour duquel le corps est assujetti à se mouvoir;

^ la vitesse angulaire avec laquelle le corps commence à tourner autour de l’axe fixe par l’eflet de l’impulsion.

En se rappelant que d’après le n» 258 la quantité de mouvement prise par le corps doit faire équilibre

autour de l’axe fixe à la quantité de mouvement qui fui est imprimée, on aura comme dans les n" 277 et 279, l'équation * .

’V.S.mr'—Q (Çcos.6 — n cos. 7)= <t>.®sin.a ,

S. mr* désignant toujours le moment d’inertie du corps solide pris par rapport à l’axe fixe. Par conséquent la valeur de V déduite de cette équation, c’est-à-dire

v 4>(Çcos.6 — kcos.'/)

't’.'îrsin.a S mr' ’

donnera la vitesse angulaire initiale qui devra être attribuée au corps lorsqu’on voudra déterminer le mouvement qu’il prendra après l’impulsion.

307. A l’égard des efforts exercés sur l’axe fixe à l’instant où l'impulsion a lieu, elï'orts dont la considération est importante dans diverses applications, on reconnaît également d’après les n0> 277 et suivants ; l°qu’un effort exprimé par * cos. a est exercé parallèlement à l’axe fixe surjes points d’appui qui s’opposent au glissement du corps dans le sens de cet axe.

2° Que des efforts sont exercés perpendiculairement à l’axe fixe, dans le sens des y, dont la somme a pour valeur . •

4>cos.S — V.S.mz ,

et dont la somme des moments pris par rapport à l’axe des z a pour valeur

<t>.Ç cos. 6 — y.S.mxz.

3° Enfin que des effort sont .exercés perpendicidaire-

ment à l'axe fixe, dans le sens des i, dont la somme est . w

. , <J>cos.7-j-V.S.my, .

et dont la somme des moments pris par rapport à l’axe des z a pour expression

, . ♦.fcos.y-j-V.S./n.r.y. •

308. D’après cela , si l’on veut que la somme des efforts exercés sur l’axe .fixe soit nulle, il faudra d’abord poser cos. a=0, afin que l’elïort exercé parallèlement à cet aie soit nul , en sorte que la direction .de l’impulsion devra être perpendiculaire à l’axe fixe. Cette ' première équation étant satisfaite, on posera eusnite

les équations

'ür.â.wia • ‘st.S.m

— - =0, cos.y-f- ^ -,

S.mr b.mr

d'où l’on dé,duit, à cause dé cos.*S-}-cos.J7=l ,

cos .7 cos .'6

et =

V/ (S.mj'-)'-f(S.wt)’

S.mr’ "Mc" ’

en désignant comme dans le n° 302 par M la massd entière du corps et par c la distance de son centre de gravité â l’axe fixe. Il résulte de ces dernières équations 1» que la direction de l’impulsion devra être perpendiculaire au plan mené par l’axe fixe et par le centre de gravité du corps; 2° que la distance de la direction de l’impulsion il l’axe fixe devra être égale. au moment d’inertie du corps pris par rapport à l'axe fixe divisé par le produit de sa masse par la distance du centre de gravité de ce corps à l’axe fixe.

Mais a près que l’on a exprimé que la sons me des efforts

exercés sur l’axe fixe est nulle, il n'en résulte pas nécessairement que cet axe ne supporte aucune action , parce qu’il serait possible que les efforts dont ibs’agit formassent des couples. Si l’on veut donc que l’axe fixe ne soit sollicité à l’instant de l’impulsion ni par.aucune force ni par aucun couple, il faudra écrire de plus

'sr.S./nxz . «nr.S.mxe

. Çcos’8“ ~s^P~ =0’ Çoos'7+- =0’

ou en mettant pour cos. g et cos. -/ leurs valeurs déduites des équations précédentes.

Ç.S.mz— S.mxz = 0 , ij.S.tfiy — S.mxy — O

et par conséquent

S.mxz S .mxy •

S mz

S.my

On ne peut en général satisfaire à cette double équation sans supposernullesàla fois les quantités S. mxy, S.mxz et Ç; d’où il résulte que l’axe fixe doit être un des axes principaux du corps qui se croisent au point où^ cet axe est rencontré par le plan qui contient la direction de l’impulsion. Cette condition réunie aux deux précédentes établit d’une manière complète qu’il n’existe au* cun effort exercé sur l’axe fixe à l’instant où l’impulsion es produite. *

309. Les géomètres ont appelé Centre de percussion d’un corps tournant autour d’un axe fixe un point lél , qu’une force appliquée à ce point, en sens contraire de son mouvement , détruirait entièrement le mouvement du corps , en sorte que l’axe fixe ne supporterait

nucun eflort à l'instant de celte' destruction. On voit facilement d’après ce qui précède que le centre de percussion est pjacé dans le plan qui contient l’axe fixe et le centre de gravité du corps, et que sa distance à

* S nxt* '*

l’axe fixe est — . Mais pour que la condition énon-

Mc

cée puisse être satisfaite, il faut que l’axe fixé soit un axe principal. Si cela a lieu, le centre de percussion est placé sur l’intersection du plan des deux autres axes principaux avec le plan qui contient cet axe et le centre de gravité du corps. On reconnaît d’ailleurs, d’après le 304, que la distance du centre de percussion à l’axe fixe est égale à celle du centre d’os cillation à ce même axe : mais ces deux points, dont la considération se rapporte à des propriétés mécaniques tout à fait distinctes, ne doivent pas être confondus. • .

310. Si le corps peut être partagé en dèux parties égales et symélriques par un plan perpendiculaire à l’axe fixe, cet axe sera un des axes principaux appartenant au point où il rencontre ce plan. Le même plan contiendra d’ailleurs le centre de gravité du corps. Ainsi ii n choc exercé contre le. corps ne produira alors aucun ^fiorLsur l’axe fixe , si la direction dé l’impulsion est contenue dans le plan dont il s’agit,* si elle est perpendiculaire à la ligne menée du centre de gravité à l’axe *

fixe, et si élite rencontre cette liene à la distance de l’axe fixe.

311. Lorsqu'un corjis solide assujetti à tourner autour d’un axe fixe , a reçu une impulsion en vertu de

— 3oi> —

laquelle il commence à s'e mouvoir avec la vitesse angulaire V donnée par l’équation obtenue dans le n° 306, le mouvement qn’il prend ensuite est déterminé, comme

,, àv S Pn

on 1 a rappelé dans ce numéro, par 1 équation — — g— — „

. . * t di>

qui se réduit a = 0, lorsque le corps n’est sollicité

par aucune force, en sorte qu’il conserve alors constamment la vitesse angulaire V qui lui a été imprimée. Pendant ce mouvement du corps , l’axe fixe supporte d’autres efforts, dont on a donné les valeurs dans le n" 280 , pour le cas où le corps e$t sollicité par des forces, et dans le n°282, pour le cas où cés ellortssont produits seulement par les forces centrifuges dont les parties du corps sont animées. On doit distinguer avec soin ces efforts permanents des actions instantanées dont les expressions viennent d’être données n° 307 , et l’on reconnaît* que les conditions qui rendraient nuis les efforts dus à la force centrifuge ne peuvent s’accorder avec celles qui rendraient nuis les efforts résultant d’un choc;- et qu’un axe fixe ne peut pas être .placé, de manière àsalisfnire en même temps aux conditions dont il s’auit.

XXI. Mouvement d'un . corps solide entièrement libre DANS l’espace. •

312. Un corps solide étant uonsidéré comme un assemblage de points matériels dont les positions respectives sont invariables , représentons généralement par m la masse de l’un quelconque des points matériels ;

ïo

les coordonnées du centre de gravité du corps à la fin du temps t , comptées sur trois axes rectangulaires fixes; les coordonnées du point matériel à la fin du temps t, comptées à partir de ce .centre de gravité sur trois axes rectangulaires respectivement parallèles, aux trois axes précédents; ! • . ' '

les valeurs, exprimées en unités de poids, des forces appliquées respectivement au point m dans le sens des axes, des x, des y et des z. ,

Les coordonnées des points matériels du système comptées à partir de l’origine fixe des x't,jrt , z, étant à la fin du temps t, x,+x, y.-^y, zt-j-z, les forces perdues, par ces points matériels dans le sens de chaclin des axes sont

tTx^cPx

de' ’

d'z^ePz

Or le mouvement du. corps étant assujetti à la condition que ces forces perdues doivent se faire continuellement équilibre , nous aurons ici, en appliquantes résultats du n°51i relatifs aux conditions de l'équilibre des forces appliquées à un corps solide entièrement lihre, les six équations suivantes :

d\+cCz'

S^Z— m æz'~^ —)(x, +,.*•)— S^x— w — ^-)(s.-t- *) =°.

D’après les propriétés du centre de gravité, on a S./»x==0, S.my==0, S./raz=0,

ce qui réduit les trois premières équations (en remarquant, d’ailleurs que xt, y,, z, doivent être regardées comme des quantités constantes relativement aux divers points matériels du système), à

M5F=SX

m§Wy,)

*Æ'=S.Z dû i

M désignant la masse entière du corps. Quant aux trois dernières.équations', en effaçant les quantités qui sont nulles en vertu des précédentes , elles deviennent respectivement , •

“*$•) =S(X>:-^- 1 Sm(xS<S)=S(Z,r“'Xs) s-/n(zë"‘-r^)=S(Yz“z-r)-/

Les premier membres des équations (1) ne contiennent que les coordonnées x, , yt , zt du centre de gravité du

corps. Ces équations donnent la loi du mouvement «le ce point ’ et en les comparant aux équations du n° 1 /» 1 , ou reconnaît évidemment que le centre de gravité du corps se meut dans l’espace comme il le ferait si toute la masse de ce corps y était concentrée , et si toutes les forces y étaient appliquées chacune suivant sa direction. Généralement les expressions des forces X, Y, Z contiennent les coordonnées x,+ x , jr^y , zt-\-z des différents pçints matériels , en sorte que le.mouvement du centre de gravite dépend des mouvements des parties du corps par rapport à ce centre. Mais lorsque les valeurs des forces X , Y, Z sont indépendantes des coordonnées x, y, z, ou peuvent en être supposées indépendantes sans erreur sensible (comme cela aurait lieu pour les corps soumis à l’action de la pesanteur)., les équations (1) détermineront entièrement le mouvement du centre de gravité. 1

Les premiers membres des équations (2) ne contiennent que les coordonnées relatives x, y, z qur appartiennent aux divers points du corps , et qui sont comptées du centre de gravité: ces équations expriment les conditions des mouvements des parties du corps autour de ce centre. Elles indiquent que si l’on considère seulement lgs mouvements du corps relativement au centre de gfavité, les forces perdues se font équilibre autour de ce centre , comme cela aurait lieu s’il était maintenu dans une position fixe. Si les expressions des forces X, Y, Z sont indépendantes de la position du centre de gravité , ou si ces forces disparaissent dans les équations dont il s’agit, on en déduira la connaissance des mouvements du coép£ autour de

Diqiti

j by Googl

. — 3oç —

ce centre d’une manière tout a fait indépendante du mouvement absolu de ce point dans 1 espace.

313. Si les points du corps solide ne sont sollicités par aucune force , les équations (1) se réduisent à

mÇ-' = 0.

dO

Elles indiquent , conformément h ce qu’on a vu n° 142, que le rentre de gravité de ce corps se meut alors en ligne avec une" vitesse constante. Le mouvement du centre de gravité ne subit aucune alteration, quoique les parties du corps puissent tourner autour de ce centre par l’effet de la première impulsion qui lui a été donnée.

314. Si les points du corps solide ne sont sollicités par aucune force , ou si la résultante dés forces qui lés sollicitent passe constamment par le centre de gravité (ce qui a lieu pour les corps pesants) , les équations (2) se réduisent à

/ tfx i?y\

SmYdF-xl?)=0'

Sm(Xî-ZS)=0’

Sm(zè1-J"é')=0-

Elles peuvent s’écrire-:

' d / dx. dy\

d ( dz dx\

, d ( dy dz\

i -'im

1/ r. - ■ HfcHVI

4r,aV*

— 5io — - ,

on aura donc, en intégrant •

( dx dy\

( dz dx\

dz\

. . ri •

en désignant par»; p., ). trois constantes.

dx dy dz

Kemarquons que SOnt les composan-

tes parallèles aux axes des quantités de mouvement relatives au centre de gravité dont chaque partie matérielle du corps est animée à la fin du temps t. Si l’on concevait toutes ces parties matérielles sollicitées par des forces représentées par ces quantités de mouvement, et si l’on voulait çomposer ces forces conformément à ce qu’on a vu dans l’article IV, on trouverait les premiers membres des équations précédentes pour l’expression des couples situés dans les plans des xy, des xz, et des^s, couples qui mesurent l'action des forces dont il s’agit, pour faire tourner le corps solide autour des axes des z , des y et des x. Ces équations indiquent donc que les moments dé ces couples conservent des valeurs constantes. Le moment du couple résuitapt, dont nous représenterons la valeur par ï , en posant

■j=vAn-u’+»> ; .

conserve donc également une valeur constante, aussi bien que les angles formés par l’axe de ce couple avec

les axes des x, des y et des z , dont les cosinus sont respectivement

315. Quel cjue soit le mouvement d’un corps relativement à son centre de gravité , on reconnaît , d’après ce qu’on a vu n“ 249, que le déplacement qui a lieu dans chaque intervalle de temps infiniment petit dt , par l’eilét de ce mouvement relatif, peut toujours être regardé comme dû à la rotation du corps autour d'une certaine ligne passant parjecentrede gravité. La position decette ligue change en général avec le temps’, et on la nommé , par cette raison , axe instantané de rotation , ou simplement axe instantarié. L’axe instantané de rotation tpurne jui-méme autour du centre de gravité, et prend diverses inclinaisons par rapport aux plans fixes des coordonnées.

Pournous'former une idée plus précise du mouvement du corps autour de son ceptre de gravité , supposons qu’à un certain instant l’axe instantané désolation coïncide avecl’axedesx.etque le corps tourne autour decet axe avec la vitesse angulaire o. Soit m (fig, 34) l’un quelcônque des points matériels du corps solide, rnq , mp et mn sont les troi^ coordonnées x, y, z de ce point, et ma sa distance r à l’axe des x. Il se meut avec la vitesse vr suivant un arc décrit du point a , avec le rayon ma où r, dans le plan nmp perpendiculaire à l’axe des x. Cela posé, considérons la quantité de mouvement mvr dont le point matériel est animé , qui est dirigée suivant l’arc dont on vient de parler , et proposons-nous de coni-

poser toutes les quantités de mouvement analogues qui appartiennent aux divers points du corps. En opérant conformément à ce qu’on a vu dans l'article 'IV, nous décomposerons’ d’abord ces quantités de mouvement en d’autres dirigées suivant les axes des coordonnées ; et comme la quantité de mouvement mur donne zéro pour

sa composante dirigée dans le sens des x , mur.- ou mùz

pour sa composante dans le sens des y , et — àwri-

ou — rnuz pour sa composante dans le sens des z, lé résultat de la composition dont il s’agit donnera en

premier* lieu ‘ ■

0, u.Smz , — u.Smy , •*

pour les trois résultantes partielles appliquées M’origine des coordonnée? dans le sens des trois axes. Ces résuttantes sont nulles toutes les trois, puisque cette origine est ici placée dans le centre de gravité du corps. On aura en second lieu

— u.Smxz, — u.S.rnxy, ,

pour les moments des trois couples agissant dans les plans des xy^ des xz et desjx ? ou dont les, axes sont respectivement les axes des z , des y et des x. On vdit que les deux premiers de ces côuplfes .Seraient nuis dans ,1e cas particulier où l’axe instantané de rotation coïnciderait avec un des axes principaux du corpsappartenant à son centre de gravité.

En composant ces deux premiers couples dont oz et oy sont les axes, on trouvera un couple résultant dont Paxc sera une certaine ligne oF tracée ddns le plan des

yz , et formant avec Taxe Aesy un angle F oy dont la tangente trigonométrique est

S.wixk

• S .mxz

En composant ensuite ce couple résultant avec le troisième couple dont le moment est v.Smfj’-f-z1)., ou v.Smr, et dont ox est l'axe, on trouvera le couple résultant total, dont l’axe sera une droite. oG dirigée dans le plan des lignes oE et ox. Ce couple résutant total n’est .'tutre chose que celui dont nous avons désigné , dans le n° précédent , le moment par i , et dont la grandeur et la direction demeurent nécessairement constantes pendant toute la durée du mouvement du corps. .

Il résulte de cè qui précède que si l’on représente par 6 l’angle compris à un instant donné entre l’axe oG du couple résultant des quantités de mouvement dont les parties du corps sont animées et l’axe instantané de rotation ox , 1° l’on aura