I.COà.ft=V.S

pour lemomeut du couple composant dont l uxe coïncide avec l’axe instantané de rotation ; moment qui est égal, comme on le~v.oit, au produit de la vitesse angulaire par le moment d’inertie du corps pris par rapport

à cet axe instantané.

2° l’on aura

ï . s i n . 9 = (S . w xs) ’+ (S . m-ry) ’ ,

pour le momentdu couple composant dont l’axe oF est dirigé perpendiculairement à l’axe instantané ox , et

dans le plan passant par cet axe et par 1 axe oG du couple résultant.

316. Considérons maintenant les forces centrifuges dont sont animées les parties du corps, et qui tendent en général , conformément à ce qu’on a vu dans les n°* 282 et suivants , à déplacer l’axe instantané de rotation. La force centrifuge mvr agissant sur le point m est dirigée suivant le prolongement du rayon am , et l’on verra , comme dans le n° 282 , qu’elle donne dans le sens de l’axe des x une composante nulle, dans le sens de

l’axe des j- la composante mv'r. ^ ou mSy, et dans le

sens de 1 axe des z la composante mv'r. -• ou mv'z , En

composant toutes les forces centrifuges appartenant aux divers points materiels , nous aurons d’abord 0, e’S./ny, v’S.mz ,

pour les trois résultantes partielles appliquées à Lorigine des coordonnées dans le sens des trois axes , résultantes dont les valeurs sont nulles. Nous trouverons ensuite — e’S.mxjk-, v'S.mxz , 0,

pour les moments des trois couples dont les axes sont respectivement les axes des z, desj et des x.

En composant les deux premiers couples, on aura donc le couple résultant total provenant des forces centrifuges , et l’on trouvera pour l’axe de ce couple une certaine ligne oH dirigée dans le plan d es yz , et formant avec l’axe des y un angle H oy dont la tangente trigonométrique est •

S .mxz • - • \

S.mæy

d’où l’on conclut , en rapprochant ce résultat de ce que l’on vient de voir dans le numéro précédent , 1° que le couple résultant donné par les forces centrilugesa pour axe une ligne perpendiculaire au plan passant par l’axe instantané de rotation ox, et par l’axe oG du couple résultant des quantités de mouvement dont les parties du corps sont animées ; ou, si l’on veut, que le couple résultant, donné par les forces centrifuges, agit toujours dans le plan passant par ces deux axes ox et oG.

2° Que le moment de ce couple résultant des actions des forces centrifuges est exprimé par

t/’V/(S- r»xy)’+ (S . nuez)' r= v . i sin . ».

Mouvement d’un corps solide libre dans l’espace produit par une impulsion.

317. Concevons un corps solide immobile, entièrement libre dans l’espace, et admettons qu’il reçoive instantanément une impulsion dont l’eflet, conformément .aux notions rappelées dans le n° 306, peut toujours être représenté en admettant qu une certaine quantité de mouvement a été imprimée en un point du corps, suivant une direction donnée. 11 s’agit de déterminer le mouvement que prendra le corps par l’eflet de cette impulsion; et l’on ÿ parviendra toujours en se rappelant, d’après le n° 258, que les quantités «le mouvement acquises par les diverses parties du corps, et la quantité de mouvement qui lui a été imprimée, prise en sens contraire, doivent se faire réciproquement équilibre.

Le corps étant considéré dans la position qu’il occupe

à l'instant où l’impulsion est donnée, et les axes des .r passant par son centre de gravité , désignons par

m la masse de la partie matérielle du corps solide qui est placée au point dont les coordonnées sont xy\z-, ’ •

Ui,V.,W, les vitesses absolues du centre de gravité du corps, qui ont lieu par l’effet de l’im pulsion , dans le sens <Jes x dés y et des z ;

U.-fU, V.-f-V,’ W,-f-W les vitesses absolues de la partie matérielle placée au point dont les coordonnées sont x.y.z, vitesses également produites dans les mêmes sens par l'effet de l’im- . , pulsion,, en sorte que U,V,W représenteront celles qui sont dues- au mouvement du corps autour de son centre.de gravité regardé comme un point fixe;

$ la quantité de mouvement imprimée par,' la force qui produit l’impulsion ;

Ç,ji,ç les coordonnées du point du corps où cette , force est appliquée; . , . •

«,6,7 les angles formés par sa direction avec les axes des x, des^ et des z; ^

'Z&.p.o- les plus courtes distantes de cette direction aux mêmes axes. . ■

Nous aurons d’abord pour exprimer les conditions de l’équilibre des quantités de mouvement qui doivent se détruire surit corps solide, conformément à ce qu’on a vu dans l’article XIV, les. équations de l’équilibre de translation i. ’

S.m(U,+U)=‘tcos.2, S.OT(V,d-V)*cos.6, S.m(Wl-}-W)=4>cos.7.

Mais , par la nature du centre de gravité , on a toujours S.mjr=0, S.my—0, S.mz— 0 ; par conséquent

dx dy dz

dt dt ’ dt

Donc les termes S.mU, S.mV, S. mW disparaissent des

équations précédentes , lesquelles , en nommant M la

masse entière du- corps , • se réduisent à

MtJi=<l>cos.ï , , MV,= <I>cos.S , MW,= 4>cos.y.

Ces équations déterminent les vitesses que l’impulsidn imprime au centre de gravité du corps, et Ion voit que ce centre de gravité prendra toujours, par l’effet d’une impulsion quelconque, le mouvement qui aurait lieu si la masse entière du corps était concentrée en cé point, et si l’impulsion y. était appliquée.

318. En second lieu, les équations de l’équilibre de rotation seront •

S.m[r(U,4-U) — r.r(V,4*V)] = <j>.vsin.'/^

S.m [•rt’W.+'W) - — z (tJ-.+Ü)] = 4>.?sin.'5 , S.m[s(V,-(-V } — ty(W,+\V)] = 4>.<crMii.ï ,

qui se réduisent , eri supprimant lés termes njils, à

S:rn(yV— .rV)=:<I>«Gsin.y S tm(xW — sXJ ) = «I» . psi u . 6 * ■ P'

. S.m(zV — yVf) = ■t'.'srsin.a,

Pour connaître facilement au moyen de ces équations le mouvement que prendra le corps solide autour de son centre de gravité par l’effet de l’impulsion, nous rappellerons que ce mouvement consistera toujours en une rotation autour d’une certaine droite passant par ce centre) ou en trois rotations passant autour des trois

axes rectangulaires. Soient donc P, Q, R les trois vitesses angulaires que doit prendre le corps solide autour des x , des^et des zl’efletde l’impulsion. On aura, d’.lprès les relations m du n° 249 ,

U =,yR — zQ ,

V= zP — xR,

W=xQ-.yP,

et en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, il viendra

> S ./« [(x'-Kr’) R— .yzQ— zxP] =<f.<7sin.y, . ,

S.m[(x’-}-z’JQ — xyP — <yzR] = 4>.psin.6, S-*»[Cy*+s’)P — JTzP — jy'Q]=*.'Wsin.a ,

équations par lcsquell.es les vitesses PtQ,R sont, déterminées.

319. On leur donnera une forme plus simple si 'l'on prend pour les axe»des coordonnées x ,y,x , dont la position. est.toutà fait arbitraire, les trois axes principaux qui se croisent au centrç de gravité du corps solide. On aura alors S.mxf'=0, S.mXz=0 et S.myz=0 ; et en représentant, comme dans les n0* 287 et suivants , par A, B, C les moments d’inertiç principaux, il viendra simplement

CR=<t>.irsin.7 ,

. t.rnn.y

d ou R= — ,

„ ^.osin.*'

BQ=4>.psin.€,

dj.'ipsin.a