AP

M ous savons d’ailleurs que les trois vitesses angu-

laires P,Q,R répondent à une vitesse angulaire v dont la valeur est

(*=4/P’+Qf,+R\

et qui a lieu autour d’une ligne formant avec les axes des x , des^ et des z des angles dont les cosinus sont respectivement

le mouvement imprimé au corps par une impulsion quelconque est donc entièrement déterminé.

320. Si la direction de l’impulsion passait par le centre de gravité du corps , on aurait ^=0, f=0, <r=0, et par conséquent les trois vitesses angulaires seraient nulles. Donc le corps ne tournerait pas alors autour de son centre de gravité; l'effet. de l’impulsion se réduirait à imprimer une vitesse à ce centre, conformément à ce qu’on a vu n° 317.

321. Si la direction de l’impulsion était cobtenue dans un des plans des coordonnées , par exemple dans le plan des yz, en sorte quelle rencontrât les deux axes principaux du corps, qui coïncident avec les axes des y et des z , on aurait

Le corps prendrait autour de l’axe des x, c’est-à-dire autour du troisième axe principal, la vitesse angulaire

<t>.<ar . . . , ' ,

Ainsi lorsqu un corps reçoit une impulsion, il commence à tourner autour d’un des axes principaux pas-

tant par son centre de gravité toutes' les fois que celte impulsion est dirigée dans le plan qui contient les' deux autres axes principaux passant par ce même centre.

322. Quant au mouvement du corps solide qui a lieu après l’instant où il a reçu l’impulsion , ce mouvement' dépend des équations différentielles données n° 312, et s’effectuera conformément à ce qui a été dit dans-ce numéro jet les suivants. Nous pouvons d’ailleurs, avec . M. Poinsot ..donner une image .sensible de la nature du mouvement dont il s’agit. . . ’ '•

Remarquons que d’après les premières équations du n°318,et à l’origine du mouvement, les moments des couples' formés par les quantités de mouvement des parties du corp , moments dont leS axes coïncident avec ceux desx, y, z , doivent être Respectivement égaux aux moments des quantités de mouvement imprimées par la force qui produit l’impuls.ion', pris par rapport aux mêmes axes. De plus , d’après le n° 314. , si l’on compose à un instant quelconque les quanti tés de mouvement des parties' du corps, on -doit retrouver autour de chaque axe les couples dont les moments ont été désignés par les constantes '*,(*, v, donnant un couple résultant * total constant en grandeur et en direction , 'dont le moment a été désigné par i. Nous avons donc içi , pour la détermination-dés constantes !,(*,»,•

• ).'=*<!>. «sima , 4>.fsin.6 , •„;= ji.osia.^,

d’où ' .

ï = <tV// ^r’sin.’a-t-p’sin.’ê-po’sin.’'/ ;

et par conséquent., d’après les résultats du n° 319

1— AP , u=BQ , vt=sCR,

d’où

P,Q,R étant les trois vitesses angulaires initiales. On conclut de là que l’axe du couple résultant total z, dont la direction doit demeurer invariable, forme avec les axes des x, des y et desz, qui coïncident ici avec les axes principaux du corps passant par son centre de gravité au premier instant du mouvement, des angles dont les cosinus sont respectivement

AP BQ CR

tandis que l’axe instantané de rotation , autour duquel le corps commence à tourner, forme avec les mêmes

axes des angles dont les cosinus sont respectivement

u étant ( comme dans le n° 319 ) la vitesse angulaire initiale résultante des trois vitesses angulaires P,Q,R.

Cela posé, considérons l’ellipsoïde appelé par M. Poinsot ellipsoïde central , dont les axes rectangulaires coïncident avec les axes principaux qui se croisent nu centre de gravité du corps solide, et dont chaque rayon vecteur a une valeur égale à l’unité divisée par la racine carrée du moment d’inertie du corps pris par rapport à ce rayon. L’équation de cet ellipsoïde étant , comme on l’a vu n° 287,

i=A*H3r*+Cs\

la normale menée au point de la surface dont les coor-

ât

données sontx^.z forme avec les axes des angles dont les cosinus sont respectivement

Ax B r Cx’

V/ AV+By+CV ' l/A’x’+By +CV 1 l/A^Bÿ^CV

Donc si nous prenons x,y,z pour représenter les vitesses angulaires initiales P,Q,R, et par conséquent le rayon vecteur au point de la surface de l'ellipsoïde central déterminé par ces coordonnées pour représenter en grandeur la vitesse angulaire initiale u, et en direction l’axe de rotation sur lequel le corps tourne au premier instant, la normale menée à la surface de l’ellipsoïde en ce point représentera l’axe du couple du résultant i des quantités de mouvement de toutes les parties matérielles du corps solide.

D’après cela , concevant l’ellipsoïde central contruit , il est aisé de déterminer le mouvement initial du corps solide résultant d’une impulsion donnée. Car menant l’axe oG (flg. 35) du couple s dont le moment est égal au moment de cette impulsion , on cherchera le point M de la surface de l’ellipsoïde central où la normale est parallèle à oG ; et le rayon vecteur oM dirigé du centre de gravité du corps à ce point sera l’axe instantané de rotation au premier instant. De plus si l’on désigne , comme ci-dessus , par 9 l’angle GoM compris entre l'axe oG du couple x et l’axe de rotation initiale oM , on aura pour déterminer la vitesse angulaire initiale v autour de cet axe l’équation

e.S. mr^zcos. 9,

S.ror* étant le moment d’inertie du corps pris par rapport à l’axe oM.

Nous supposerons ici que l'on ait coupé la surlace de l'ellipsoïde central par le plan des deux axes oG et oM suivant la courbe GMP ; et que l’on ait mené par le centre de cet ellipsoïde un plan perpendiculaire à l’axe oG du couple d’impulsion , ou parallèle au plan, qui touche la surface au point M. Ce dernier plan sera perpendiculaire au premier, qu’il rencontrera suivant la ligne oP ; il coupera la surface de l’ellipsoïde suivant la* courbe PHN , et le diamètre oP sera conjugué au diamètre oM dans l’ellipse GMP.

323- Il reste maintenant à connaître le mouvement affecté par le corps après le premier instant. Observons que, d’après ce qu’on a vun°316, l’axe du couple résultant des actions dues aux forces centrifuges devant être perpendiculaire au plan des deux axes oG et oM , sera ici une ligne oH tracée dans le plan de la section PHN perpendiculairement à oP. Et si l’on veut connaître l’Sxe instantané sur lequel ces forces centrifuges tendent à faire tourner le corps solide, on devra, conformément n ce qu’on a vu dans le numéro précédent, chercher le point delà surface de l’ellipsoïde central où la normale serait parallèle à l’axe oH , point qui n’est autre que l’extrémité Ndu diamètre oN conjugué au diamètre oP dans l’ellipse PHN. Le troisième diamètre oN conjugué dans l’ellipsoïde central à l’axe instantané de rotation oM , et à la projection oP de cet axe instantané sur le plan du couple d’impulsion , est donc l’axe sur lequel les forces centrifuges tendent à faire tourner le corps solide. Or, pour connaître la position du corps au second instant de son mouvement , on doit composer sa vitesse de rotation actuelle v, qui a lieu autour de

l’axe oM , avec la vitesse de rotation infiniment petite que les forces centrifuges impriment dans l’élément du temps autour de l’axe oN. Prenant donc oM pour représenter la vitesse v ; puis sur la ligne oN, à partir du point o, une ligne infiniment petite qui représentera la vitesse impriméepar les forces centrifuges, on achèvera le parallélogramme. La diagonale représentera en grandeur la vitesse angulaire que prendra le corps au second instant, et déterminera la direction de l’axe instantané autour duquel ce corps tournera.

Mais puisque oN est parallèle au plan tangent à la surface de l’ellipsoïde passant par le point M, 1 extrémité de cette diagonale se trouvera dans ce plan. Or d’une part le plan langent dont il s’agit ne doit pas cesser de représenter le plan du couple résultant des quantités de mouvement dont sont animées toutes les parties du corps, qui doit conserver constamment une position fixe; et d’autre part l’axe instantané de rotation doit toujours coïncider avec le rayon vecteur mené au point où la surface de l’ellipsoïde central serait touchée par ce même plau. D’ailleurs on passera toujours du mouvement du corps à un instant donné au mouvement qui aura lieu dans l’instant suivant, d’une manière conforme à ce qui vient d’étre indiqué. Donc on peut se représenter le mouvement du corps solide, libre autour de son centre de gravi té, en admettant que ce centre étant fixe dans l’espace, aussi bien que le plan tangent mené à la surface de l’ellipsoïde central parallèlement au plan du couple donné par la force d’impulsion, cet ellipsoïde central roule sans glisser sur le plan langent. Le rayon vecteur mené au point de contact de 1 ellipsoïde et du

plan , est l’axe instantané de rotation : la vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur de ce rayon.

Si le plan du couple d'impulsion est perpendiculaire à l’un des axes principaux du corps passant par son centre de gravité , c’est-à-dire à l’un des axes rectangulaires de l’ellipsoïde central, la vitesse imprimée par les forces centrifuges est nulle. L’ellipsoïde central ne subit aucun déplacement, et le corps continue à tourner autour de l’axe principal dont il s’agit avec une vitesse angulaire constante, conformément à ce qu’on a vu n° 321.