L’équation obtenue dans les n01 255 et suivants

S,,(ÿ Sx+ÿ Sy+ J>)=S(X*r+Yir+Z*z) ,

exprime d’une manière générale les lois du mouvement d’un système quelconque de points matériels. On doit concevoir, pour la solution de chaque question particulière, qu’à cette équation sont réunies les équations de condition qui définissent la nature du système. Mais quels que soient les systèmes que l’on considère , les mouvements qu’ils allectent olirent plusieurs propriétés générales dont l’étude est importante, et qui peuvent être déduites facilement de l’équation dont il s’agit.

Mouvement du centre de gravité.

325. Dans cette équation, x, y, z représentent les coordonnées du Heu où se trouve à la fin du temps t le point materiel dont la masse est m , ces coordonnées étant comptées sur trois axes rectangulaires fixes. Désignons maintenant par dc\, yt, zt les coordonnées à la fin du temps t du centre de gravité de tous les points matériels du système comptées sur les mêmes axes; et par % , n , ç les coordonnées du lieu où se trouve à la fin du temps t le point du système dont la masse est m , ces dernières coordonnées étant comptées à partir du centre de gravité sur des axes rectangulaires mobiles parallèles aux premiers. On devra donc substituer dans l’équation précédente av-f-? , zrK à la place de

x , y, t , ce qui donnera

d'y-^-cVr, ^ t & \ t

di' 1 1 de

Mais d’après les propriétés du centre de gravité, on aura toujours

S.77»5=0, S./7»>1 = 0, S./nÇ = 0; par conséquent

de

ét

S.mi5Ç=tO, S.w£»=0, S.mtfî; =0.

L’équation précédente peut donc s’écrire

Sm(ir **■•+ d~è *•+ Te °”s’+

— S[X(J.r ,-f-^ï) -f- Y(<îy,-f £») -f- Z^-t-jç)] .

Cela posé , si le système est entièrement libre , ou peut se déplacer d’une manière quelconque dans l’espace, les équations exprimant la nature du système n’indiqueront alorsque les conditions d’après lesquelles les divers points matériels se meuvent les uns par rapport aux autres, et ne contiendront que les coordonnées Ç, », 5 par lesquelles les positions relatives de ces points sont déterminées, et non pas les coordonnées or, , jr„ zt , qui dépendent de la position absolue du système dans l’espace. Donc les variations Sx, , Sy, , Sz, , doivent alors être regardées comme entièrement arbitraires ; et par conséquent il est nécessaire, pour que l’équation précédente soit toujours satisfaite, que l’on ait les équations distinctes

jji > a» ’ j,* 1

dt‘

de

par lesquelles le mouvement du centre de gravité est déterminé.

Les termes S.X, S. Y, S. Z de ces équations sont uni* quement donnés par les forces extérieures , et les actions mutuelles qui seraient dues aux contractions ou extensions supportées par les parties du système , ou à des forces d’attraction ou de répulsion que l’on supposerait exister entre les points matériels, n’y entrent point; puisque les actions intérieures qui consistent toujours dans des forces égales une à une, et directement opposées, étant transportées au centre de gravité, auront nécessairement une résultante nulle. On conclut donc de ce qui précède qu’un système quelconque entièrement libre se meut toujours de telle manière que le mou-

vement du centre de gravité est celui qui aurait lieu si toutes les masses étaient réunies dans ce point, et si toutes les forces extérieures y étaient appliquées chacune suivant sa direction.

On remarquera d’ailleurs qu’après avoir égalé séparément à zéro les termes affectés des variations <3x,, ty,, Sz„ il reste l’équation

/ dl d'n d'i \

^ Y^-f-ZdÇ) ,

par laquelle sont réglés les mouvements des points du système relativement à leur centre de gravité.

326. Le système étant toujours supposé libre, admettons qu’il ne soit soumis à l’action d’aucune force extérieure, et que son mouvement soit uniquement dû à des vitesses initiales imprimées aux points matériels. Le second membre de l’équation étant alors nul , elle se réduit à

js+ -£ fy.+ *+ w *.+ & «)=»■

et l’on a en premier lieu , comme ci-dessus , les trois équations

— - S.m = 0 , — 'S./n=0, — S.m=0, dt' ’ dt ' ’ dt'

qui donnent en les intégrant par rapport au temps,

dx, c i^y dz, r

— S. ni— A , — S./n=B, — S.m=C, dt ’ dt dt

dt

A, B, C désignant des constantes. Ainsi dans le cas dont il s’agit, quels que soient les mouvements relatifs des par-

ties du système, le centre de gravité décrit une ligne droite d’un mouvement uniforme.

327. Considérons d’ailleurs les quantités de mouvement absolues des points matériels du système qui ont lieu à la fin du temps t , et dont les composantes dans le sens de chaque axe sont représentées pour le point matériel dont la masse est m , par

dx dy dz m~dt' m1t ’ mdt'

ou bien par

dx,-\-d$ dy,-\-dn dz,-\-d:

tn - . m 1 . m r .

Les sommes de ces composantes son t donc res pecti vemen t dans le sens des x, desjy et des z

ri* 7 ri*

dzt-\-d;

dt

Mais d’après la remarque faite dans le n° 325 on a toujours

dt dt dt

Donc les expressions des sommes dont il s’agit se réduisent aux quantités

dx' S dy‘ s dt S ’ dt S ’

qui d’après le n° précédent conservent pendant toute la durée du mouvement les valeurs constantes qui ont été désignées par A, B, C.

On conclut de cette dernière considération que si l’on entreprenait de composer à un instant quelconque les

quantités de mouvement dont sont animés tous les points matériels du système, conformément à la méthode expliquée dans les n« 54 et suivants, on trouverait toujours que ces quantités de mouvement étant transportées à l’origine des coordonnées et décomposées suivant Je6 trois axes donneraient des résultantes partielles invariables, dont les constantes A, B, C représentent les valeurs; et par conséquent que la résultante appliquée à l'ori gine des coordonnées serait égalemen t in variable en grandeur et en direction.

11 resuite donc de ce qui précède 1“ que le centre de gravité du système se meut constamment en une ligne droite d’un mouvement uniforme ; 2° que si l’on prend a un instant quelconque la résultante des quantités de mouvement de tous les points matériels, on trouvera toujours que la direction de cette résultante coïncide avec la droite décrite par le centre de gravité et que sa va leur est égale à la somme des masses du système multipliée par la vitesse du centre de gravité.

Les propositions qui viennent d etre énoncées établissent le principe de la conservation du mouvement de centre de gravité. Ce principe convient à tout système libre, qui n’est soumis à l’action d’aucune force extérieure. Les propositions dont il s’agit sont d’ailleurs absolument indépendantes des actions intérieures qui peuvent exister entre les points matériels; elles subsistent également lorsque ces points sont réunis par des verges et des fils inextensibles, par des liens élastiques, ou lorsqu’il existe seulement entre eux des lorces attractives ou répulsives, ou quand ils sont absolument sans action les uns sur les autres. Enfin elles

conviennent même aux cas où il survient entre les parties du système , des chocs , par l'elfet desquels les vitesses des points matériels sont regardées comme subissant instantanément des changements finis; puisque ces changements sont causés par des actions intérieures exercées entre les parties du système.

328. Si, au lieu de considérer un mouvement continu dû a l’action permanente de forces accélératrices, on voulait connaître l’eflet de plusieurs impulsions données instantanément aux divers points du système, on remarquerait, d’après le n° 3S8, que les mouvements pris par ces points sont assujettis à la condition que les quantités de mouvement perdues se fassent équilibre sur le système. Désignant par + la quantité de mouvement imprimée au point du système dont la masse est m , et par a , 6, */ les angles formés avec les axes des x , desj^ et des z par la direction de la lorce qui imprime cette quantité de mouvement, les quantités de mouvement perdues par ce point dans le sens de chaque axe seront respectivement

dx dy dz

«fccos.a — m — , <tcos.? — m — , «fcos.y — m — ;

dt dt dt

et par conséquent la condition de l’équilibre des quantités de mouvement perdues par toutes les parties du système sera exprimée par l’équation

f dx dy dz \