Reprenons l’équation générale citée n

S"\'5F' dF Sjr+ 1? Sz )=s(Xte+ Yfy+Z9*) ,

dans laquelle x, y, z représentent les coordonnées rectangulaires du point du système dont la masse est m , mesurées à la fin du temps t , à partir d’une origine fixe. On peut attribuer aux variations Sx, Sy, Sz toutes les valeurs possibles compatibles avec les conditions de la liaison des partiesdu système. Supposons quecesystème se meuve librement dans l’espace ; quel qu’il soit , on ne violera jamais les conditions dont il s’agit en admettant qu’il tourne, sans changer sa figure actuelle , autour

d’un point fixe quelconque. Supposant donc les valeurs de Sx, Sy, Sz données par un mouvement de cette nature , prenant l’origine des coordonnées pour le point fixe de rotation, et désignant par ocp, Su, S% ^es ang^es infiniment petits décrits respectivement autour des axes des x , des^ et des z , on aura , comme on l’a vu n° 249 , w,y:ï'r; ^ ■.►•■x

Sx—ySy — zSu , Sy = zSy — xSy, Sz=xSu — yS<f.

En substituant ces expressions dans l’équation précédente, et égalant séparément à zéro les termes allectés des variations , Su, Sy dont les valeurs sont communes à tous les points du système et entièrement arbitraires , on trouvera les équations

yd'x—xeTy

Sm d ? = Sftf—Yx)i

jrrL1 Z — zd,1 X

S./n - . =S(Zx — Xz),

dû

ztCy—ycTz

dl%

=S(Yz-Z y).

Et si l’on observe que ycFx — xd'y , xrtz — zd‘x , zd'y — ycFz sont respectivement les différentielles des quantités ydx — xdy , xdz — zdx , zdy — ydz , on voit cjue ces équations peuvent s’écrire

( dx

dy

dt '

\^dt

fdz

dx

dt ’

\ dt

dt

(dy

dz

Z~ dt*

Les termes des seconds membres représentent les moments des forces appliquées aux points du système pris

respectivement par rapport aux axes des z , des y et des x. Les termes du premier membre représentent les coefficients différentiels , pris par rapport au temps, des moments relatifs aux mêmes axes des quantités de dx dy dz

mouvement m — , m— , m — dont les points du système dt de dl v J

sont animés à la fin du temps t , dans le sens des coordonnées x, y, z. Nous remarquerons encore, comme dans len° 325, que les forces provenant des actions intérieures qui s’exercent entre les diflérents points du système n’entrent pas dans les seconds membres des équations précédentes , où elles ne donneraient que de9 termes qui se détruiraient réciproquement.

330. Considérons les cas ou les seconds membres des équations précédentes seraient nuis. Cette circonstance aura lieu 1° lorsqu’aucune force ne sera appliquée extérieurement au système ; 2° lorsque les forces appliquées extérieurement aux divers points matériels seront constamment dirigées vers l’origine des coordonnées. On aura alors

N, M,L désignant des constantes; d’où l’on voit que si , à une époque quelconque du système , on veut composer les quantités de mouvement dont les points matériels sont animés, conformément à ce qu’on a vu n* 54 , on trouvera toujours, pour les moments des trois couples

ir

composants situés sur chacun des plans coordonnés les mêmes valeurs N , M , L. Le moment du couple résultant , représenté par

conservera donc aussi une valeur constante, et le plan de ce couple formera toujours avec les plans fixes des xy , des xz et desyz des angles invariables dont les cosinus seront respectivement

l/NW+L' ’ l/N’+M’+L’ ’ I/N’+M’+L1'

Ces propriétés sont analogues à celles qui ont été exposées n° 314.. Dans tout système libre qui n’est sollicité par aucune force extérieure, le couple résultant des quantités de mouvement des parties du système relatif à une origine fixe quelconque est constant en grandeur et en direction.

Ajoutons que s’il existe dans le système un point fixe , la proposition qui vient d’être énoncée subsistera encore, mais seulement en supposant l’origine des coordonnées placée dans le point fixe. Noue admettons alors que le système n’est sollicité par aucune force extérieure , ou que les forces qui le sollicitent sont toutes dirigées vers le poiut fixe.

331. Le système étant toujours supposé se mouvoir librement dans l’espace, l’équation qui est posée à la fin du n° 325 se réduit à

/ d'I cTr, <Pt \

S .m / — — 3r, + £ç^ = S(X<îÇ+YJ>! + Z$z}.

On peut lui appliquer la transformation employée clans le n° 329. Ç, », ç sont les coordonnées du point du système dont la masse est m, mesurées à la fin du temps t, à partir du centre de gravité, sur trois axes rectangulaires parallèles aux axes fixes desx, des y et des z. Quel que soit le système proposé , on ne violera pas les conditions de la liaison de ses parties, en prenant pour les valeurs de Sn , Sç, celles qui résulteraient d’un mouvement dans lequel le système tournerait sans changer sa figure actuelle, comme un corps solide, autour de son centre de gravité. On déduira donc de l’équation précédente les trois équations

Les seconds membres de ces équations sont nuis, 1° lorsque le système n’est sollicité par aucune force extérieure ; 2° lorsque la force qui sollicite le point m est dirigée vers le centre de gravité. Dans l’un et l’autre cas, on obtiendra, en intégrant , les trois équations

v,j*, À, désignant .des constantes. Elles expriment que si l’on, forme à un instant quelconque les trois couples composant^ résultant de la composition des quantités

j , • i • d-n % de .

de mouvement relatives 7»— r, m—r.m — des points

' dl dt dt 1

du système par rapport au centre de gravité , ce centre étant pris pour origine', on trouvera toujours pour les moments de ces couples les mêmes valeurs Donc

le couple résultant donné par ces quantités de mouvement aura aussi ' toujours le même moment exprimé

Rar •

et le plan de ce couple formera constamment avec les plans des fy, desÇi; et des r£, ou bien avec les plans. fixes -des jçy, des xz et des. yz , des angles dont les cosinus sont respectivement * •

V7 vJ +'/+*■ l/v’+ft'+À* l/'/'+u’-t-*'

Ces résultats complètent ce qui a été dit dans le u° .327 . On voit que pour un système libre , qui nJest soumis i l’action d’aucune force extérieure ou dans lequel les. forces sont dirigées ver» le centre de gravité, les. quantités de mouvement des parties du système relatives q ce centVe , donnent toujours un couple résultant dont le moment est constant et dont le plan demeure parallèle à sa, position initiale,

332. Les propositions qui viennent d'être énoncées constituent ce que quelques géomètres appellent la conservation du mouvement de rolatiop. Mais 011 peut aussi considérer ces memes propositions sous un autre point dé vue. Reprenons les équations du n° 33Û,

. • . , - S.i*Hydx-~ 3}éty)<=aHdi .

. S,m(xd* — zdx)=Mdt,

et concevons un rayon vecteur dirigé de l'origine des coordonnées nu point du système dont la 'masse est tn. Les quantités ydx — xdy> xdz — zdx , %dy — -jr<ts représentent respectivement le double des aires infiniment petites, décrites dans le temps dt par les projections de ce rayon vecte.ur sur les trois plans des xy, des xx et des yz. Donc ces trois équations expriment que les sommes de cès aires multipliées par les masses m croissent toujours proportionnellement au temps. P’ôù l’on peut conclure que si l’on forme à une époque quelconque du mouvement d’un système Ta somme des produits, des masses de chaque, point matériel par les aires décrions dans- un temps donné sur lin plan quelconque par lés projections de lears rayons vecteurs, on trouvera toujours pbur cette somme une valeur constante.

Ce résultat s’énonce plus simplement en concevant les masses du système composées de divers nombres' de parties égales entre elles , et admettant que l’on ait mené de l’origine fixe des coordonnées un-rayon vecteur; à ■ chacune deces parties. On pourra cfire alorsqudla somme des. aires .décrites dans un temps donné par le» projections des rayons vecteur» sur un plan quelconque , doit conserver toujours, une «valeur constante.

On ueeonnàtt d'ailleurs que les aire» décrites dans un teqpq» quelconque y sur les trois plans -coordonnés , exprimées par fit , M t, L t, sont proportionnelles aux moments des trois couples composants des quantités de

mouvement des points matériels , couples dojjt il a été question dans le n° 330. De plus il existe entre une ai^e , décrite par un rayon vecteur dans un plan quelconque , et la projection de cette aire sur un autre plan , le même rapport qu’entre le moment d’un couple agissant dans le premier plan et le moment de éfe même couple dé* composé dans le sens du second plan. On doit donc conclure de ce qui précède 1° que la somme des aires décrites dans le temps t sur le plan du couple résultant» c’est-à-dire sur le plan qui forme avec le plan des xjr,

‘xz,yz des angles ayant pour cosinus A ; •

est exprimée par. . " >

q •: * l/jV+M'+l/; * <>,<..

2° que la somme des aires décrites dans le temps t surtout autre plan formant avec celui-ci un angle 8, est exprimée par . 7^

yfîfH>.coS.6,

quantité plus petite que la précédente. *' ■ - ' 1-"'

Ainsi dans le cas d’un système libre, norf sollicité par des forces extérieures , le mouvement s'opère tou- /•

jours de telle manière .que la somme des airés décrites dans ùn temps donné, sur un plan quelconque, par les * .

projections des rayons vecteurs émanant d’un centre fixe pris arbitrairehient, est constante. Il existe, pour chaque centre fixe , un plan à l’égard duquel la valeur de cette somme est plus .grande que pour tout outré

DlgittzjxtÿCoogle

plan mené par te méme point. Ce plan du maximum des aires conserve une direction détèrminée qui ne varie pas avec le temps.

Ces propriétés ont également lieu lorsque le système

est soumis à l'action de forces extérieures , constant-

ment dirigées vers le point fixe dont partent les rayons vecteurs.

333. Les résultats présentés dans le n* 331 donnent lieu à des propositions analogues. Il faut concevoir qu’un plan quelconque passant par le centre de gravité du système, se meut parallèlement^ lui-même du même mouvement que ce centre de gravité. Cela posé, on conclura évidemment de ces résultats que quel que soit le mouvement d’un système libre qui n’est soumis à l’action d’aucune force. extérieure, ou seulement à l’action de forces extérieures dont la résultante passe constamment par le centre de gravité, 1° la somme des aires décrites dans un temps donné sur le plan dont il s’agit par les projections des rayons vecteurs émanant du centre de gravité est constante; 2° que le plan sur lequel les aires décrites forment la plus grande somme se déplace en suivant le mouvement du centre de gravité sans cesser d’être parallèle à sa position initiale.

Ces propriétés remarquables sont connues sous le nom de Principe des aires. Le plan du maximum des aires est désigné , d’après Laplace, par Je nom de plan invariable. La considération de ce plan , qui est importante dans les études relatives au système du monde, facilite les recherches analytiques. ' •