Considérons maintenant, comme dans le n

l'effet d’une impulsion instantanée. On pourra substituer dans l’éqgation

Jdx dv dz \

S.mr—tx+£ fy+ —Sz J=S.<b(Sx.cos.a+Sy.cos.G+Sz.cos.y),

de ce numéro , les valeurs de 5y, Sx, Hz qui ont été employées dans le n° 329 ; ce qui conduira aux trois équations distinctes

S m( dt* — ‘dit •r^=s®-*(Jrc°8-* — ■rcos-6)i

f dz dx\ . *' •

x — — z^= S.'tK.rcos^ — zcos.a) ,

S'W(^ S Jr)=S^(*cos.Ç^c«.7) ,

qui doivent subsister entre les quantités de mouvement imprimées et les vitesses initiales que ces impulsions produisent. En comparant ces équations à celles du n° 330, on voit que dans le cas d’un système libre les premiers membres conserveront des valeurs invariables qui ont été désignées par N, M, L. Ainsi ces constantes représentent, par rapport aux axes des z, des y et des x , les moments des impulsions initiales auxquelles est dû le mouvement du système.

335. On peut appliquer une transformation analogue à l’équation

dC) =S.«t>(34.cos.a+Ai|.cos.S+Ji;.cos.7),

donnée à la fin dqrf 328. Elle conduira aux trois équations • ’

’ " 'JT '

■ Digitizeü byÏ5oogl£'

*• / de dx \ w ■ ^

S.m( ^ n — — =S.<jJ(ncos.a — Ecos.ê),

S.ot^^Ç — ^ ^=^.4>(|cos.t — îcos.ï), *- .*

S.m^— Ç — — '»^=S.4i(ïco«.^ — jicos.7),

dont dépendent les vitesses initiales des parties du système rapportées a leur centre de gravité. D’après le n” 331 , les premiers membres conserveront pendant .toute la durée du mouvement, dans le cas d’un système . libre , des valeurs constantes qui ont été représentées par», p, 1. Ces qüanti tés expriment donc, relativement aux axés menés par le centre de gravité du système, les moments des impulsions' initiales par lesquelles le mouvement a été produit.

Principe des forces vives.

336. En admettant que les conditions de la liaison des points matériels ne contiennent pas le temps dans leur expression analytique, il sera permis de remplacer dans l'équation du n“ 324, *

S.^( — Sx+ ~ = S. (X'jjr+Yoj'-t-Ziz) ,

les variations Sx , Sy, Sz par les différentielles dx , dy, dz \ ce qui revient à prendre pour le déplacement dont dépendraient les valeurs de ces variations , le mouvement même qu’affecte le système dans l’élément du temps qui suit l'instant où on le considère. L’équation précédente devient alors

dxd'x -(- dyd'y-\-dzd7z

dt'

— S.(X<ér-f Ydr-j-Z^).,

fc.*.

et donne en intégrant 'par rapport au temps,

S mdX —2S,J’(Xdx+Ydy-\-Zdz)-\-corist.%

qui peut s'écrire, en désignant part», à la (indu temps f, la vitesse du point matériel dont la masse est m.

S.rm’,—2S.J'(Xd.z-\-1(dy+Zdz) -(- consl. ■

Si l’ttfi adopte les dénominations indiquées n” 114, on exprimera ce résultat en disant que dans un temps donné, l’accroissement de la somme des forces vives des points du système est toujours numériquement égaleau double de la somme des quantités d’action qui ont été produites dans le même temps par toutes les forces agissant sur ces points.

337. Lorsque la quantité S (Xdx-\-Ydy-\-Tdz) , est la dillérenlielle exacte d’une certaine fonction II des trois variables x,y, z, en sorte que §{Xdx-\-Ydjr-\-7*dz)=xi\\' l’équation précédente devient

et n„ représentant les valeurs de v et n qui ont lieu dans la position initiale du système.' La valeur de la force vive dépend uniquement de la fonction fl, de l’état initial du système , et des positions de ses parties à la (in du temps t.

La fonction S (X<£r-|- Xdy -)- Zrfz) est une différentielle exacte de x,y, z lorsque les forces agissant sur les points matériels sont dirigées vers des centres fixes , et sont des fonctions des distances des points matériels à ces centres. Elle l’est encore lorsque ces forces proviennent des actions intérieures qui s’exercent entre les

différents* points du système, et sont des fonctions des distances de ces points. Soient en effet, dans le premier cas, a, b, c les coordonnées d’un centre fixe dont émane la force R agissant sur le point m dont les coordonnées sont x,jr, z à la fin du temps t. Désignant par r la distance du point m au centre fixe, on

aura r—\/ (x— a)3 +(y — by -f(c— c)1 ; et si la force R tend à éloigner le point m de ce centre, l’expression des trois composantes X, Y, Z de cette force sera

X=RÎ^, Y=Rtl>, Z=R— .

Le terme relatif à la force R dans la somme dont il s’agit

devient donc ici j .

R (~ dx + ~ ~ dz}

x — a dr y — b dr z — c dr

r dx ' r dy ’ r dz

Donc ce terme est une différentielle exacte , puisque R est supposée une fonction de r. Dans le second cas, désignons toujours par R la force agissant entre deux points m et ni dont les coordonnées à la fin du temps t , sOntx, y, z, pour le premier et x,y',z pour le second. La distance r de ces deux points sera exprimée par 1/ (ar— a/)’-| -{y — y')'-\-{z — z ;')*• Admettons que la force R tende k écarter les deux points l’un de l’autre. Les trois composantes de l’efltfrt qu’elle exerce sur le point m seront : * •' •

et les trois composantes de l’effort qu’elle exerce sur le point m', seront

La force dont il s’agit donnera donc le terme

-Jjx — x’)(dx — dx')-{-{y — ÿ)(dy — dÿ)-\-(z — z’)(dz— dz') J »

qui revient encore à Rdr, puisque

: r*=(o:— j:')4 + (jr— /)’+(*— *')%

et qui est par conséquent une différentielle exacte, lorsque R est supposée une fonction de r.

338. Lorsqu’aucune force n’agit sur les points du système, l’équation précédente se réduit à S.rm>“—const.

La somme des forces vives des points matériels ne varie pas avec le temps , et conserve constamment sa valeur initiale. , . . \

Les propriétés précédentes sont connues sous le nom de conservation des forces vives. Il importe de reconnaître exactement dans quel cas elles subsistent ou non.

1” Si le système est constitue delà manière indiquée dans le n° 230, c’est-à-dire s’il est formé de points matériels assujettis par des verges ou des fils parfaitement rigides et inextensibles, dont la masse est Supposée nulle, les propositions précédentes subsistent toujours ; lors même que, quelques-uns des points matériels seraient entièrement fixes , ou assujettis à-se mouvoir sur des lignes ou

JT' ’

des surfaces fixes données. Et de plus , les quantités X., Y, Z ne comprennent alors que les forces appliquées extérieurement au système; car si l’on voulait y comprendre les actions intérieures résuitanldes tensions ou contractions des liens du système , ou même les efforts exercés sur les obstacles extérieurs fixes, on reconnaîtrait, par les n°* 239 et 240 , que les moments virtuels des efforts dont il s’agit donneraient une somme nulle.

2° Si le système est formé de points matériels réunis par des verges ou des fils extensibles et élastiques , dont la masse est toujours supposée nulle, les propositions précédentes peuvent être admises r mais alors il est nécessaire de comprendre dans les quantités X, Y,Z,üonseulement les forces appliquées extérieurement au système, mais encore les actions intérieures qui s’exercent entre les points matériels assujettis entre eux par des liens élastiques. Eneflet, comme la nature de ces liens permet alors que la distance des deux points matériels entre lesquels une telle action s’exerce, varie lors des changements de figure du système, on ne peut appliquer ici ce qui a été dit n° 239", ni admettre en général la destruction mutuelle des deux moments virtuels donnés par l’action dont il s’agit. Dans un cas de cette nature, si les actions exercées entre deux quelconques des points matériels dépendent uniquement de la distance actuelle de ces points, les termes relatifs à ces actions qui devront être introduits dans la formule \dx-^-Y dy-\-7jdz formeront, comme on l’a vu ci-dessus, une différentielle exacte des variables x

3° La remarque précédente s’applique évidemment cas d’un système tel que le-syslèmc planétaire, formé

par des corps qui se meuvent indépendamment les uns des autres, et qui agissent les uns sur les autres sans qu’il paraisse exister entre eux aucun lien matériel. On doit comprendre les actions mutuelles de ces corps dans les quantités désignées par X, Y, Z. Les termes relatifs à ces actions mutuelles formeront une différentielle exacte de a:, y, z, si ces actions sont exprimées uniquement en fonction des distances des points matériels.

4* S’il survient Ufl choc entre les parties du système , la valeur actuelle de la somme des forces vives est changée par le seul eflet de ce choç-, et les propositions précédentes ne peuvent plus en général être appliquées. En effet, un chocintroduitdanslesystèmedenouvellesforces intérieures agissant entre des corps qu’il faut regarder comme unis par des liens, compressibles et élastiques *• en sorte que l’on devrait comprendre dans le second membre de l’équation du ri" 336 lés quantités d’açlion développées par ces forces pendant la durée du choc,, pour que cette équation ne cessât point de donner exactement la valeur de. la force vive du système.

On voit, par ce qui précède, que le principe de la conservation des forces vives n’est pas aussi général que les propriétés qui ont été exposées précédemment, et qui se rapportent à la conservation des quantités de mouvement , eu ce sens que ces dernières propriétés sont tout ît fait indépendantes des réactions intérieures des parties du système , ce qui n’a pas toujours lieu pour la conservation des forcés vives.

339. Considérons plus particulièrement l’effet d’un choc entre les parties d’un système de corps en mouvement. Il sera nécessaire , d’après ce qui a été dit ci-

dessus, de comprendre , pendant la durée du choc, dans le second membre de l’équation

les moments virtuels des efforts intérieurs qui ont été’ produits par ce choc. Soit en général N la valeur de l’effort exercé à la fin du temps t entre deux corps du système que le choc a mis en contact, et n la distance du point de contact à uni point fixe pris sur là direction de la normale commune aux surfaces des deux corps menée par ce point : N Sri représentera le moment virtuel de l’eflort N. Si l’on désigne d’ailleurs , pour abré- . ger, par u, v , w , les vitesses du point matériel dont la masse est m, qui ont lieu respectivement â la fin du •temps t , dans le sens des x , des y et des z , on devra écrire “ ' , * ?.

S./»^ — — oy-f- <îz^ = S.(XÆr-(-Y^y-f-Z'5‘z)--j-S.ra<în,

équation qui subsistera pendant toute la durée du choc.

Remarquons , comme on l’a fait dans le n“ 258 , que la durée d’un choc étant toujours fort petite , et les positions respectives des parties du système ne subissant pendant cette durée que dés changements très-petits , il n’y aura que très-peu d’erreur à considérer pendant lechoc , dans l’équation précédente , les variations Sx , Sj, Sz, Sn , comme constautes par rapport au temps t. En admettant cette hypothèse ; et intégrant par rapport au temps , il viendra ,

S.m[(u — U)iîx4-(t' — — W)$z]

' ' ' = S.fdl(XSx +YSy+7Jz)+$:f di.NSn ,

en désignant par U, V, W les valeurs des vitesses u, v , w, qui ont lieu à l’instant où le choc commence , et

prenant les intégrales désignées par J" depuis cet instant

jusqu’à la fin du temps t. Cette équation doit également subsister pendant toute la durée du choc.

Nous observerons maintenant i° que les forces désignées par X, Y, Z , qui représentent les actions continues exercées sur le système auront généralement, dans les cas naturels , des valeurs très-petites par rapport à celles des efforts désignés par N qui sont développés par l’effet du choc , et par conséquent que le premier terme du second membre de l’équation précédente peut être négligé par rapport au second terme; 2° que la

valeur de ce second terme S J' dt.Ndn peut toujours être

supposée nulle ; car il suffit pour cela d’admettre que dans le déplacement du système auquel répondent les valeurs des variations Sx , Sy, Sz , Sn , les surfaces en contact des corps qui se choquent ne se séparent point-, mais glissent seulement les unes sur les autres, puisqu’alors les forces donneront toujours des moments virtuels égaux deux à deux et de signes contraires. On peut donc écrire , au lieu de l’équation précédente,

* S.m[(u — U )3x+(v — Vjiîy-f- (-w — W)Sz] •= 0.

340. Si l’on veut maintenant distinguer les divers résultats qui auront lieu suivant la constitution physique des corps, conformément aux notions présentées dans les n0* 271 et 272, on supposera d’abord qu’il s'agisse de corps non élastiques, c est-à-dire tels que le cljoc est fini

Digitizad

quand les impressions sont parvenues à leur maximum , et que les surfaces en contact des deux corps ne se séparent point à l’instant de la fin du choc, mais peuvent seulement glisser les unes sur les autres. Dans ce cas , considérant l’instant de la fin du choc , on pourra prendre pour les variations &r, Sy, Sz dans l’équation précédente, les espaces dx, dy , dz réellement décrits par les points matériels dans l’élément du temps dt qui suit l’instant où le choc finit , ce qui revient à remplacer Sx, Sy, Sz par udt , vdt , wdt ; car les espaces udt, vdt , wdt satisfont alors à ces deux conditions de pouvoir être pris pour les valeurs de Sx , Sy, Sz supposées constantes pendant toute ladurée du choc, et de rendre nulle la somme des moments virtuels N Sn. L’équation dont il s’agit donne alors

— (Uit+Yv-j-Ww)] = 0 ,

u, y, w représentant les vitesses qui ont lieu à la fin du choc.

Considérons l’expression

S.mtU’+F+W*— (u'-fp’-fiV*)] ,

qui représente la différence entre les sommes des forces vives des parties de système- qui ont lieu au commencement et à la fin du choc. Si l’on y ajoute le premier membre de .l’équation précédente multiplié par 2 , on n’en changera pas la valeur; mafe cette expression se mettra sous la forme . „ V

S.m£(ü-u)’-f (V — «tf-HW— iv)1] i

d'où l’ola conclut que, la lotte vive perdue par l'effet d’un choc entre corps non élastiques est égale à la. force

vive qui serait due aux vitesses perdues respectivement par chacun des corps du système. Cette proposition est connue sous le nom de théorème de Carnot. On voit d’ailleurs qu’un choc entre les corps d’un système a toujours pour effet d’en diminuer la force vive.

341. On.-démontre également la proposition dont il s’agit lorsque l’on considère le choc entre des corps parfaitement durs de la manière qui a été indiquée n° 275. En effet , d’après le n° 258, le mouvement du système est assujetti à la condition que les quantités de mouvement finies , perdues instantanément par l’effet du choc, qui sont représentées respectivement par m ( U — u), m ( Y — >1/), m (W — w ), fassent équilibre aux quantités de mouvement imprimées par les f orces qui agissent sur le système , prises en sens contraire. Or les forces développées par le choc, qui ue sont autre chose que les ■pressions exercées l’un sur l’autre par les corps que le choc a mis en contact', pressions qui ont été désiguées par N, sont toujours égalés deux à deux, et dirigées en sens opposés suivant la même ligne droite. Elles se détruisent réciproquement, et l’équilibre dont on vient de parler est exprimé simplement par l’équation

S.m[(U — u)8x-\-m(V — v)ty -|- m{ W — u/)oz] = 0 ,

c’est-à-dire-l’équation même qui a été employée ci-dessus. On doit ici faire entièrement abstraction des forcés qui agissent d’une manière continue sur le système . parce que, dans un temps infiniment petit , ces forces ne donnent que des quantités de mouvement infiniment petites: ' ' '■

342. Ail mettons en second lieu, comme dans le n“ 272 , que le choc s’opère entre des corps parfaitement élastiques, et de plus, qu’à l’instant où le choc finit, les impressions formées dans ces corps par l’effet du choc ont entièrement disparu. Il n’est plus permis ici de faire à J’égard des. quantités Sx, ôy, $z,la supposition qui a été faite dans le n° 295 , parce que les surfaces des corps se séparant dès que finit le choc , les points qui étaient en contact n’ont plus , après le choc, les mêmes vitesses dans le sens de la' normale commune aux deux surfaces. Mais les intégrales fdt.lSSn qui entrent dans l’équation du n° 339 , en les supposant prises depuis le commencement jusqu a la fin du choc , auront alors des valeurs nulles ; parce' que les variations Sn sont supposées constantes par rapport au temps, et que ces intégrales se trouvent formées de deux parties égales et de signes contraires. D’où l’on conclut, que dans les cas dont il s’agit , la somme des forces vives des parties du système reprendra après le choc la même valeur qu’elle avait auparavant le choc. Cette proposition ne s’applique point à tous les cas où les chocs ont lieu entre corps parfaitement élastiques, mais seulement aux cas très- particuliers où les corps sont revenus complètement', à la fin du choc, à leur figure naturelle.

343. Nous considérerons encore le cas où il surviendrait, dans un système de corps en mouvement, une explosion instantanée , c’est-à-dire que nous admettrons qu’il s’établit subitement pendant un temps trèscourt, entte deux ou plusieurs corps du. système, de très-grands efforts , tendant à’ écarter cés corps les uns

des autres. Nous aurons alors, comme dans le n° 339 , pendant la durée de l’explosion, l’équation

S.m[(u— U)Jx -|- (p— V)fy+(w— W)3z] = 0 , pourvu que l’on attribue aux variations Sx, Sy, Sz , des

valeurs conformes à la condition énoncée à la fin de ce numéro. Or on satisfait évidemment à cette condition

en remplaçant Sx, Sy, Sz, par les espaces lldt, Ydt, W dt parcourus par les points matériels en vertu des vitesses qui avaient lieu à l’instant où l’explosion a commencé. Ainsi nous avons ici

S.m[Uu-fVv-f-Ww— (U,+V,+W’)]=0 , et l’on en déduit, comme dans Ien°295, . :

S.wtu’+v’-Mv’— (U’+V’+W’) ]

d’où il suit que la force vive acquise par le système , à la suite del’explosion , eslégale à la force vive qui serait due aux vitesses acquises respectivement par chacun des corps du système. L’ellet d’une explosion est toujours d’augmenter la force vive actuelle du système.

SW. On peut, en admettant la resiilction qui a été énoncée n° 336 , c'est-à-dire en supposant les conditions du système indépendantes du temps , remplacer Sç, Sn, par d\, dn , d', dans l’équation qui se trouve à la fin du n® 325 , ce qui donnera

dld'Z+dnd'n+dZeTH

: = S(X^+Y^+Zrf;);

et en intégrant pac rapport au temps dç'+dri' yd£

dt'

= ( Xdî+Ydr,+ZdÇ) + const .

KL i*vSCi

va* ■«

év**

"dgitized Bjj Oooglc

Ainsi le principe des forces vives subsiste également lorsque l’on considère les mouvements des points matériels relatifs à leur centre de gravité.

345. Nous terminerons par une remarque relative aux notions qui ont été présentées dans les n°* 252 et 253. Reprenons l’équation trouvée n° 336

S mt>' — Srm>'0= 2(11 — ÜJ •

On en conclut que la somme des forces vives du système aura ses valeurs maxima ou minima en même temps que la fonction II; et comme la condition du maximum ou du minimum de cette dernière fonction est <fn=0, c’est-à-dire

SQidx+Ydy+Zdz) — 0 ,

ou bien

S(XAr+Y$r+Zfc)=i) ,

il en résulte oette conséquence remarquah , leque dans le 'mouvement d’un système, la force vive est la plus grande ou la plus petite possible lorsque ce système se trouve dans des positions , ou présente des figures telles, que les 'forces qui lui sont appliquées se feraient mutuellement équilibre. . Ainsi la recherche des positions du système , dans lesquelles il y a équilibre entre des forces données, répond à la recherche des positions où la force vive du système , mû par l’action de ces mêmes forces, est un maximum ou un minimum. ,

On démontre de plus , 1' que l’équilibre est stable (c’est-à-dire que le système est dans une situation telle qu’il y revient de lui-même par la seule action des forces qui lui sont appliquées , quand on lui a fait subir un très- petit déplacement), lorsque la valeur de la force

vive est lin maximum; 2” que l’équilibre est instable, lorsque la valeur de la force vive est unmiinimum. Cette proposition est une conséquence immédiate de la démonstration du principe des vitesses virtuelles qui a été rapportée dans le n° 237. Désignons en effet par p, p'^'jetc^lesdistances qui existent respectivement entre les moufles fixes etmobiles A et B, A' et B', A'’ et B'', etc. La somme des longueurs des cordons qui réunissent ces moufles les unes aux autres sera évidemment Pp| P'p'-f-P'^f'-j-etc. Soit de plus c la longueur constante des parties du fil qui vont d’une moufle fixe a une autre en passant sur des poulies de renvoi également fixes; et enfin désignons par s la partie du fil qui est placée au delà de la dernière poulie de renvoi, et à l’extrémité de laquelle le poids est attaché. La longueur totale du fil, qui est constante, sera représentée par Pp+P’p'+P"p"-i-elc.,+c+s ;

et si l’on suppose les quantités P, P*, P", etc., indépendantes dep, p',p", etc.; ce qui est permis lorsque l’pn ne considère qu’un déplacement très-petit du système, la quantité Pjp-j-Pj0,-)-P"pi"-j- etc. , prise avec un signe contraire, reviendra à celle qui a été désignée cidessus par II. Ainsi la longueur du fil est également exprimée par

— II+c+*.

Or si la valeur de il , et par conséquent celle de s, sont des maximums , un petit dérangement quelconque du système fera monter le poids ; et' comme ce poids tend toujours à descendre, le système reviendra de lui-même à sa position primitive. Si au contraire les valeurs de II et de i sont des minimums , un dérangement semblable

fera descendre le poids ,' qui continuera alors à descendre, et de système s’écartera de plus en plus de la position où il se trouvait en équilibre.

346. La même proposition peut encore être démontrée de la manière suivante. Considérons le système dans la situation où les forces qui lui sont appliquées se font équilibre, et ou la valeur de la fonction II, que nous désignerons par II0 , est un maximum ou un minimum. Admettons ensuite qu’ou imprime à chaque point m une vitesse très-petite v0 , en sorte que le système commencera à se mouvoir avec une force vive initiale également très-petite, représentée par S.mv,’. Après un certain temps t la force vive du système sera donnée par l’équation

S.m^=S./m'0,+2(II — Il J.

Mais si nous représentons les coordonnées x,y, z qui appartiennent au point m à la fin du temps t par xo-|-ç , , z.-f-Ç , de même les coordonnées x', ÿ, z! appartenant à un autre point tri du système à la fin du temps t par x0'-j-?', z[- k’, et ainsi des autres ; nous pour-

rons développer , conformément à ce qu’on a vu dans l’article XIII des Leçons d’ Analyse , la fonction II en une série telle que

IIo+'®',+'®'’,+'*",+ etc.,

dans laquelle le terme contiendra seulement les premières puissances des variables p, Ç; V, p\ ç'; etc. ; le terme contiendra les carrés et les produits deux à deux de ces mêmes variables ; le terme <zri" contiendra leurs troisièmes puissances et leurs produits trois à trois ; et ainsi de suite. Et si les valeurs x#, y, , z, ; x'0, etc.,

se réduira à

S.mis'=S.rru>'t+ 2(<w''+<®'"-t-etc.), dans laquelle la quantité il etc.) sera néces-

sairement négative dans le cas du maximum et positive dans le cas du minimum. Or, le premier membre S .mu' est toujours positif ; donc , 1° dans le cas du maximum , la valeur absolue de 2 («r"- etc.) ne pourra jamais surpasser S. mv0' qui est supposée très-petite, cequi entraîne la conséquence (ainsi qu’on peut le reconnaître) que les variables Ç, u, y, ; Ç7, etc., ne peuvent prendre que des valeurs très-petites ; 2° dans le cas du minimum, aucune condition ne limite la valeur delà quantité dont il s’agit , ni par conséquent les valeurs de ces variables. La recherche du mouvement du système montrerait eflèctivement que dans ce dernier cas les vitesses des points matériels tendent à augmenter de plus en plus.

tons par ds l’élément de la trajectoire décrite parle point dont la masse est m dans le temps dt , et par v la vi-

Jds.v est prise entre deux points donnés de la trajectoire qui ont des positions fixes dans l’espace, et par

Principe de la moindre action .