Considérons la quantité

. qui se forme en prenant le produit de la masse de chaque point matériel par l’intégrale f ds.v. Nous représen-

tesse de ce même point à la fin du temps t. L’intégrale

lesquels le point matériel m est assujetti à passer. Entre ces deux points fixes la trajectoire décrite par ce point n’est pas déterminée d’avance; elle dépendra des conditions du système et des forces qui lui sont appliquées. Cela posé , le principe de la moindre action consiste en ce que; pour un système et des forces quelconques , les trajectoires décrites par les divers points matériels entre les limites fixes données seront toujours telles que la quantité S. mjds.v sera un maximum ou un minimum (c’est-à-dire plus grande ou plus petite que pour toute autre trajectoire possible), les intégrales Jdf.v étant prises entre ces mêmes limites.

Cette proposition convient seulement aux cas où les conditions du système sont indépendantes du temps, et où la fonction S(Xdx+Ydy+Zdz ) est une dillérentielle exacte d’une certaine fonction II des variables x , y, z. Pour la démontrer, il suffira de faire voir que l’on aura toujours

SS.rn J ds.t>= 0,

En eifet l’on a

3S.mds.v=S.m(y.iïds+ds.$v)=S.m dt.Sv'

Mais d’une part

^ dx.Sdx-\-dy.5dy+dz.3dz

ds "'i

et d’autre part , d’après le n° 336

^jn^,ÀsÙ^(XSx+Y^+ZSz)^a.n^Sx+d,^jr^d‘zS*

donc , en substituant ces deux valeurs

dt'

SS.mds.v = S >md.

< dx.3x+dy. 3y+d z.St\

dt

Intégrant maintenant par rapport à t , l’intégrale in-

, , , c dx.Sx+dy.fy+dz.àz

ileiinie du second membre sera 5 .ni : ,

dt

quantité nulle aux deux limites, puisque les deux extrémi tés des trajectoires étant données, on a pour ces points Sx=0, oy=0, 3z=0. Ainsi l’on a entre ces limites

SS.mf ds.t>= 0,

ce qui démontre la proposition énoncée.

348. L’équation précédente revient d’ailleurs à «îS./w J dt.v'= 0,-

en sorte que le principe dont il s’agit peut aussi s’exprimer en disant que l’intégrale, prise par rapport au temps, des forces vives du système qui ont lieu entre deux positions données , est toujours la plus grande ou la moindre possible.