XXIII. Calcul de l’effet des machines

349. Les machines sont employées pour remplacer, dans les travaux des arts, l’action immédiate de l’homme ou des animaux. Calculer Y effet d’une machine, c’est estimer la quantité de travail que l’on pçut opérer par son moyen dans des circonstances données.

Malgré la diversité que présentent les opérations auxquelles les machines sont appliquées, on reconnaît qu’elles ont toutes des éléments communs, au moyen desquels on peut les apprécier d’une manière générale et régulière. En effet , toutes les fois qu’il y a un travail fait par une machine ( c’est-à-dire une opération

eilectuée dont il résulte la production d un objet utile ayant une valeur subsistante ) , il y a nécessairement un effort exercé sur un point qui parcourt en même temps un espace dans le sens de cet effort. La réunion de ces deux circonstances , effort èxercé , et espace parcouru dans le sens de l’effort, est nécessaire pour constituer un travail utile auquel on puisse attribuer une valeur.

La vérité de ce principe est manifeste daris les appareils dont l’objet est d’élever des corps pesants, par exemple dans les machines qui servent à élever de l’eau. Elle ne l’est pas moins dans la plupart des autres n^acbines , où l’on reconnaît facilement qu’au point où le travail s’effectue un effort est toujours exercé par une partie de l’appareil qui est mue dans le sens de cet effort.

350. En général , on distinguera dans les machines : 1°‘ l’action du moteur, c’est-à-dire la cause qui a produit dans l’origine le mouvement des parties de l’appa-, reil , qui entretient ce mouvement et empêche qu’il ne soit détruit par des causes opposées; 2° l’action de la résistance , action qui résulte immédiatement du travail que la machine peut effectuer, et qui , s’exerçant dans un sens contraire à celui de l’action du moteur, tend continuellement à détruire le mouvement des parties de la machine.

On reconnaîtra de plus, conformément à ce qui a été dit dans le n° précédent , que l’action du moteur consiste en ce qu’un effort constant ou variable est exercé sur un certain point de la machine qui se meut dans le sens de cet effort: et de même, que l’action de la fésistanoe consiste en ce qu’un certain point de ht-

machine exerce sur un corps étranger un effort , et se meut dans le sens de cet eilort. On pourra même, dans la plupart des cas, mettre ces circonslances*en évidence, en remplaçant eflectivement l’action du moteur par la descente verticale d’un poids égal à l’effort que ce moteur exerçait , et attaché à l’extrémité d’une corde tendue dans le sens de cet effort; et en remplaçant aussi l’action de la résistance par l’élévation verticale d’un poids.

351. Connaissant ainsi la nature de l’action des moteurs sur les machines pour y produire et entretenir le mouvement et celle des machines ‘sur les résistances pour effectuer l’opération à laquelle la machine est destinée , et sachant que ces actions peuvent être assimilées à la descente ou à lelévation d’un corps pesant , on voit facilement à quoi se réduit leur évaluation. Il est visible en effet que l’action résultante de la descente d’un poids, ou le travail nécessaire pour élever uri poids, sont d’autant plus grands que le poids est plus grand et que la hauteur est plus grande. Par conséquent , si Ton nomme

P,Q les efforts supposés constants, exercés respectivement dans une machine aux points d’application du moteur et de la résistance ; • p,q les espaces parcourus respectivement dans un temps donné par ces points dans le sens des efforts

l’action exercée par le moteur, et la quantité de travail ou l’effet produit par la machine dans le même temps, seront exprimés par Jes nombres P p et Qÿ.

Dans le cas où les eflorts P,Q ne sont point constants, on les considérera comme donnés eu fonction «les1 espaces p,q parcourus respectivement dans la direction de ces efforts : l’action exercée par le moteur et l’elTet produit par la machine seront exprimés par les intégrales

■ P dp et

prises entre les limites correspondant aux instants où commence et finit le travail.

On voit par là et d’après les définitions données n° 14V , que les quantités d’action exercées respectivement pendant le mouvement de la machine aux points d’application du moteur et de la résistance donnent l’évaluation numérique de l’action du moteur et du travail effectué par l’appareil. Ainsi, les nombres qui représentent l’action du moteur ou l’effet de la machine sont formés du produit d’un nombre d’unités de poids par un nombre d’unités linéaires. On peut regarder les nombres dont il s’agit comme composés d’unités dont chacune est le travail nécessaire pour élever l’unité de poids à l’unité de hauteur, c’est-à-dire , dans notre système de mesures, pour élever un poids d’un kilogramme à une hauteur d’un mètre.

352. Considérons maintenant une machine en mouvement. L’ensemble des corps dont elle est formée constitue un système auquel on peut appliquer les notions générales exposées dans les articles précédents. Ce système est soumis à l’action des forces extérieures, qui sont principalement l’effort exercé par le moteur dans le

sens du mouvement, et l'elfort exercé parla résistance en sens contraire du mouvement. Il peut exister aussi d’autres actions extérieures , telles que la résistance des milieux dans lesquels les parties de la machine se meuvent. De plus, il se produit généralement des actions intérieures, auxquelles le mouvement même des parties de l’appareil donne naissance, et qui s’exercent toujours en sens contraires de ce mouvement. En prenant en considération toutes ces forces , on peut reconnaître d’une manière générale les conditions auxquelles la marche d’une machine est assujettie.

Conservons les dénominations du n°35i , et désignons de plus par * •

F l’eflort qui doit être surmonté pour vaincre une des résistances produites par le mouvement de l’appareil ;

f l’espace parcouru à la lin du temps t dans la direction de l’ellbrt P;

- m la masse d’un des points matériels dont les parties de la machine sont composées ; v la vitesse de ce point h la fin du temps t ; nous aurons, d’après le n° 336 ,

Le terme SfF df représente la somme de toutes les intégrales /'Frf/’qui sont données par les diverses résistances produites par le mouvement de fa machine, et que l’action du moteur doit surmonter.

-i-S.mo*= jp^-r-S ijFdf— j

En différentiant par rapport au temps l’équation précédente , elle devient , •

S.mvdv — 'Pdp — SF df — Qdq.... (B)

Ces relations donnent lieu aux remarques suivantes.

353. Dans les premiers instants où une machine est mise en mouvement, et où la vitesse de ses parties augmente progressivement , le second membre de l’équation (B) est nécessairement positif, l’action du moteur l’emportant sur celle des résistances. Mais il arrive toujours , par la nature de ces actions , que l’effort du moteur diminuant et l’effort de la résistance augmentant au contraire à mesure que les vitesses v augmentent , la valeur du second membre de l’équation (B) tend à devenir nulle. Lorsque cela a lieu , cette équatiob donne dy= 0 ; et Si les%fforts désignés par P, Qet F conservent leurs valeurs actuelles, les vitesses des parties de l’appareil ne subissent plus aucune variation, et la machine se meut constamment d’un mouvement uniforme.

Cette .uniformité dans le mouvement , qui est le résultat de l’invariabilité supposée des efforts P, Q, F à partir de l’instant où leurs valeurs ont satisfait à l’équation

P dp — SF df — Qdç=±0, (C)

a effectivement lieu dans un grand nombre de cas. Elle s’établit ordinairement après un intervalle de temps très-court compté du moment ou la machine a commencé a se mouvoir. On voit que dans les cas dont il s'agit , les efforts constants exercés par le moteur et la résistance ont des valeurs telles , que ces efforts se feraient mu-

tuellement équilibre sur la machine , conformément aux lois de la statique ; et c’est d’après cette remarque que l’on établira la relation qui doit exister entre les actions respectives du moteur et de la résistance pour que le travail de la machine puisse s’eflectuer. On reconnaît dé plus que , dans un intervalle de temps quelconque, la quantité d’action produite par le moteur à son point d’application , est égale à la quantité d’action produite au point d’application delà résistance, augmentée des quantités d’action dues aux résistances intérieures ; en sorte que si ces dernières résistances étaient nulles ( ce qui est impossible ), il y aurait égalité entre les quantités d’action produite par le moteur et consommée par la résistance.

354. Si les valeurs des efforts du moteur et des résistances ne sont point constantes, le mouvement de la machine n’est pas uniforme. Il présente alors des variations régulières et périodiques qui tiennent à ce que l’effort du moteur est alternativement plus grand ou plus petit qu’il ne devrait être pour faire équilibre à l’effort de la résistance. Quand l’effort du moteur est plus grand qu’il ne devrait être pour l’équilibre, le second membre de l’équation B du n° 352 est positif, et la vitesse des parties de l’appareil augmente avec le temps. L’inverse a lieu lorsque l’effort du moteur est au contraire plus petit qu’il ne devrait être pour l’équilibre. Le second membre de l’équation B est alors négatif, et la vitesse décroît avec le temps. La nature du mouvement consiste donc , dans ce cas , en ce que la vitesse croît et décroît alternativement en oscillant autour d’une valeur moyenne. Les maxima et minima de

la vitesse ont lieu dans les instants où de— 0 , c’est-à-dire lorsque la condition ex primée par l’équation (G) subsiste, ou lorsque les efforts (lu moteur et de la résistance ont les valeurs convenables pour se faire réciproquement équilibre sur la machine. Les écarts de la vitesse, à partir de sa valeur moyenne, sont d’autant plus grands, tout étant égal d’ailleurs , que la masse et la vitesse actuelle des parties de la machine sont plus petites.

Si d’ailleurs le mouvement s’opère d’une manière régulière, les mêmes valeurs des efforts du moteur et des résistances , et les mêmes valeurs de la vitesse de chaque partie se reproduisent dans le cours de chacune des périodes entre lesquelles la durée du mouvement est partagée. Par conséquent la force vive des parties de la machine reprend , à la fin d’une de ces périodes, la même valeur qu’elle avait au commencement. D’où l’on peut conclure, par l’équation (A) du n° 352, que dans un intervalle de temps comprenant un nombre entier des périodes dont il s’agit, la quantité d’action produite par le moteur est toujours égale aux quantités d’action consommées par la résistance résultant du travail de la machine , et par les résistances intérieures produites par le mouvement même des parties de l’appareil.

Lorsque , comme on l’a supposé n° 353, le mouvementd’une machine est uniforme , la relation qui doit être établie entre le moteur et la résistance résulte de ce que leurs efforts doivent avoir les vafeurs convenables pour qu’il y ait équilibre statique entre ces efforts. Lorsque, comme nous le supposons ici , le mouvement présente des variations périodiques , cette même relation doit résulter de l'égalité des quantités d’action produites

respectivement par la résistance dans le cours de chaque période. On posera donc l’équation

Jp^ = sjFd/+jQ^,.

les intégrales f étant supposées prises pour un intervalle de temps au commencement et à la fin duquel les vitesses désignées par v ont les mêmes valeurs. Et cette équation devra être considérée comme exprimant une sorte à! équilibre dynamique, d’après lequel la grandeur de l’action du moteur qui exécuterait un travail donné pourrait toujours être déterminée.

355. La question qui se présente ordinairement dans le calcul d'une machine consiste à déterminer l’action du moteur qui est nécessaire pour produire un effet donné ; ou bien l’eflet qui sera produit par la ma’chine lorsqu’on lui appliquera un moteur dont l’action sera donnée. On voit par les notions précédentes que cette question est toujours ramenée à distinguer les efforts exercés aux points d’application du moteur et de la résistance, et à savoir apprécier les forces intérieures , telles que les frottements et autres résistances de cette nature, que l’action du moteur doit surmonter. Ces forces étant évaluées , l’application des principes de statique et de dynamique exposés dans les articles précédents conduira toujours à la connaissance des relations cherchées , relations dont lanature a été indiquée dans les n0,353et354. Nous ne pouvons d’ailleurs entrer ici dans les détails qui seraient nécessaires pour mettre à même d’apprécier dans divers cas les résistances intérieures, objet qui exige

une éLude spéciale ; et nous ajouterons seulement une remarque relative au cas où il s’opérerait des chocs dans le mouvement de l’appareil. •

On doit alors appliquer les notions présentées dans les n°* 339 et suivants; et par conséquent l’altération produite dans le mouvement de l’appareil par l'effet d’un choc , doit être considérée comme dépendant de la nature physique des corps , et par conséquent comme inconnue , à moins d’une recherche spéciale fondée sur la définition mécanique de leur composition. Mais on regarde ordinairement dans les applications les corps entre lesquels les chocs s’opèrent comme présentant les propriétés admises dans le n° 340 , d’où il résulte que les surfaces en contact des deux corps qui se soht choqués, sont supposées ne point se séparer dans l’instant qui suit le choc, et que par l’effet du choc le système a perdu la quantité de force vive qui serait due aux' vitesses que les corps ont perdues. En opérant d’ailleurs conformément aux notions présentées dans le n° 275 , et à ce qui a été dit à la fin du n" 341 , on déterminera toujours les changements de vitesse résultant des chocs , détermination pour laquelle il faudra en général prendre en considération des résistances particulières qui ne se développent qu’à l’instant du choc , .

et cessent quand il est terminé. On pourra donc apprécier les pertes de force vive qui résulteraient d’un choc. Quant à la manière d’en tenir compte dans le calcul de la machine; soit en général m la masse d’une partie de cette machine, et v ia différence entre les vitesses de cette partie qui ont . lieu avant et après le choc : la perte de force vive due au choc sera, d’après ce qui a

été dit cirdessus , ^t conformément au n° 341 , exprimée par S .niwx, le signe S indiquant qüe l'on a formé la somme de toutes les pertes de force vive mv- qui ont eu lieu dans l’appareil. On en conclut que les forces intérieures, développées pendant la durée du choc, ont produit une quantité d’action exprimée numériquement par 7 Smr’; et par suite qu’en posant 1 équation (D) et opérant de la manière indiquée n° 354 , on doit ajouter cette quantité d’action au second nombre , et écrire '

- . (El

11 est nécessaire en effet que le moteur ait reproduit dans le sens du mouvement la quantité d'action que les forces développées par le choc ont consotnmée; puisque nous supposons qu’à la fin de l’intervalle de temps pour lequel les intégrales désignées par J sont prises , toutes- » les parties de l’appareil ont repris les vitesses qui avaient lieu au commencement de cet intervalle , en sorte que la force vive du système n’a subi aqcune altération .

356. L’ulilité principale des machines, considérées sous le point de vue économique , consiste dans les moyens quelles présentent pour substituer, dans les opérations des arts, les forces des animaux et surtout celles des agents naturels ( tels que la chute des corps graves , le choc des vents , ïes changements d’état produits par la chaleur, etc..), à ia force plus coûteuse de l’homme.

On donne en général le nom de moteur à tout agent naturel dont l’action peut faire marcher une machine' et