SOLLICITÉ PAR DES' FORCES QUELCONQUES

357. On désigne généralement par le nom ùe fluides les corps qui s’opposent presque aucune résistance lorsqu’on entreprend d’en faire mouvoir les parties les unes par rapport aux autres , ou par rapport aux parois solides des Vases dans lesquels les fluides sont contenus. On distingue d’ailleurs deux espèces de fluides : 1° les fluides incompressibles dons le volume, à masse égale, est sensiblemént invariable, et qui, lorsqu’ils ne sont soumis à l’action d’aucune force extérieure, peuvent être contenus dans un vase de figure quelconque sans exercer aucun effort contre les parois de ce vase ; 2° les fluides élastiques , dont le volume , à masse égale, peut varier d’une manière indéfinie, dont les parties tendent sans cesse à s’écarter les unes des autres par l’effet d’une force de répulsion intérieure, et qui exercent toujours un certain effort contre les parois des vases qui les contiennent. * : , , •

Nous disons que les fluides n’oppOsent presque, aucune résistance quand on entreprend <l*en faire mouvoir les parties. En effet, dans la nature, ces partiel présentent généralement un certain degré d’adhérence, et elles ne peuvent être mués les unes par rapport aux autres sans un effort sensible. Mais comme les résistances dont il s’agit sont fort petites par rapport aux forces qui* produisent les phénomènes principaux, jlcoovenaitd’en faire d’abord abstraction en formant la théorie mécanique de l’équilibre et du mouveipenl des fluides.

358. Cela posé . nous considérerons , en premier lieu , les positions de l’équilibre d’une portion de fluide AB contenu dans un tuyau solide et Gxe:(fig. 36), dont la section est uniforme et infiniment petite, et dont l’axe est une ligne quelconque donnée. On suppose qu’aux extrémités A, B de la colonne de fluide, se trouvent deux diaphragmes mobiles auxquels sont appliquées extérieurement des forces. De plus , les molécules du fluidé Sônt sollicitées par des forces quelconques. Pour trouver les conditions de l’équilibre de ce système, on remarquera que, par la nature du fluide, une tranche quelconque mn , dont nous supposons l’épaisseur infiniment petite, peut glisser librement dans le sens de l’axe du tüyau. Cette tranche est sollicitée : 1° par la pression que le fluide supérieur exerce sur sa face m ; 2° par la pression que le fluide inférieur exerce en sens contraire sur salace»; 3° par les forces agissant sur les mqlécules dont elle est composée. Les deux pressions peuvent être • regardées comme dirigées suivant la tangente à l’axe, du tuyau menée parle centre de la tranche, puisque nous supposons l’épaisseur de celte traqche infiniment petite.

■L équilibre exige donc que la différence de ces pressions soit égale et de signe contraire à la force agissant sur les molécules de la tranche, décomposée dans le sens de la tangente à l’axe du tuyau. Nous nommerons

w faire constante et infiniment petite «le la section transversale du tuyau ; •

x<y,z les coordonnées rectangulaires du point de 1 axe du tuyau où est placée la tranche mn; s la longueur de cet axe comptée d’une origine .• • fixe jusqu’au même point ;

a, b les valeurs de l’abscisse x pôur les points A, B de l’axe du tuyau où sont placées les extrémités ' . de la colonne- de fluide; '

P,Q les voleurs rapportées à l unité de surface des pressions qüi sont exercées sur les sections extrêmes A, Bi

, if la valeur, rapportée â l’unité de surface, de la pression qui est exercée sur la face de la tranche mn placée à l’extrémité de l’arc s , .

P- , la densité du fluide, ou la masse de l’unité de

volume, danç le lieu du tuyau où est placée la tranche mn ;

X,Y,Z les valeurs des vitesses qu’imprimeraient dans l’unité de temps aux parties matérielles, dans le } sens des coordonnées x,y,z, les forces agissant sur les molécules du fluide placées dans le même . . lieu du tuyau ; . > '• #•-

et nous remarquerons que la figure du tuyau est donnée par deux équations entre les coordonnées x,y,z dans lesquelles x sera prise pour la variable indépendante. • L’arc s doit alors étre regardé comme une fonction de x; et il en est de même de la pression p , de la densité p, et des composantes X,Y,Z de la force par laquelle les molécules du fluide sont sollicitées.

Le volume de la tranche mn étant uds , et sa masse ;mds, l’eflort exercé sur cette tranché , décomposé dans le sens de Paxè du tuyau, est • ' *

poids

v dx 4-7 dz

*Js+Y7ù+Zds

Les valeurs des pressions exercées sur sis deux faces étant d’ailleurs

p» ' et (p+dp)a> ,•

on voit que la condition de l’équilibre de là trancbe énoncée ci-dessus s’exprimera par l’équation

dp — p (Xdj? -t- Ydy + Zdz) ,

k laquelle doivent, satisfaire les expressions de p et o en x dans toute l’étendue du fluide. \