Si -les molécules du fluide n’étaient solli

cileeÿ par aucune force, léquatiou précédante se déduirait à . ' *• •

c esl-à-drre que J’équilibre exigerait l'égalité des deux

pressions Pw, Q™ exercées extérieurement en sens con-

traire aux deux extrémités de la colonne.

Ceç résultats conviennent . également au cas d'un fluide incompressible dans lequel la densité é6t constante ou variable, et au cas d’ùo fluide élastique. Il faut remarquer seulement que s’il s’agit d’un fluide Incompressible, l’équilibre pourra subsister dans le cas mène où l’on supposerait nulles les pressions extrêmes P, Q. tandis que cela serait impossible pour un fluide élastique, à raison des forces intérieures qui tendent sans cesse à faire augmenter le volume de ce corps.

361 ., Considérons maintenant une portion de fluide incompressible remplissant un vase fermé quelconque ,

.et supposons d’abord que les molécules lie soient sollicitées par aucune force. Les parties du fluide demeureront immobiles, sans exercer aucune pression les unes contre les autres, ni contre la paroi du vase. Admettons ensuite qu’une portion quelconque infiniment petite A (fig. 37) dé la paroi du vase devienne un diaphragme mobile ayant pour aire w, et sur lequel on exerce extérieurement un cflort PW) en sorte qa’il en résulte pour l’unité de surface de ce diaphragme la pression. P, l’équ^ibre du fluide contenu dans le vase exigera que cette pression soit transmise^ dans toutes ses parties; c’est-à-dire que si l’on y mène . un plan quelconque B , les déux .portions de Jluidé séparées par ce plan exerceront l’une contre’ l aulre une

pression dont la valeur, rapportée à l'unité de surface, sera la même pour toutes les parties du plan, et égale à P. En effet, une portiou quelconque infiniment petite du plan dont il s’agit, dont l’aire serait w, peut toujours être regardée comme l’extrémité de la colonne de fluide AB, de grosseur uniforme et de figure quelconque. Or si l’équilibre subsiste , cet équilibre ne doit pas être altéré lorsqu'on admet qüe tout le fluide devient solide à l’exception de la colonne AB. Donc cette colonne considérée comme étant contenue dans un tuyau solide fixe doit être en équilibre.. Il est donc nécessaire, conformément à ce qu’on st vu dans le numéro précédent, que des pressions égales entre elles soient exercées en sens contraires aux deux extrémités-. On pourrait également supposer l’extrémité B de la colonne AB placée en un point quelconque de la paroi du vase. Ainsi dans un point quelconque de l’intérieur du fluide ou de sa surface, et quelle que soit la direction, d’un plan que l’on ferait passer par ce point, les deux parties séparées par ce plan exercent 1! une contre l’autre une. pression dont la valeur est, à. surface égaje , la même qui a lieu sur le diaphragme mobile placé én A .

362. Il résulte de ce qui précède que s’il y avait à la surface du vase d’autres ouvertures fermées par des diaphragmes mobiles dont les aires seraient «/, *>", J", etc. ,

1 équilibre exigerait que l’on appliquât extérieurement.

1 à ces diaphragmes des efforts P«, P«", Pù)"',- etc.’ .

■ "On vérifie d’ailleurs que ces forces qui se. feraient .ainsi équilibre sur un système formé de la paroi fixe du vase et du fluide incompressible qui y est contenu.

auraient entre elles les relations qui seraient données

par l’application immédiate du principe des vitesses virtuelles. Admettons en effet qu’un mouvement très-' petit ait été imprimé au fluide, par l’effet duquel les diaphragmes «, w", etc., se soient mus parallèlement

à eux-mémes des quantités Sp , dp dp", etc. Désignant généralement par P, P'; P”, etc., les pressions exercées extérieurement sur l’unité de surface de chaque diaphragme, la condition de l’équilibre donnée par le prin»

cipe des vitesses virtuelles est

Pw.(^+PV.tfp'+P"w".fy>"+etc. = 0.

Or le volume total du fluide étant supposé invariable, la condition à laquelle les mouvements des parties du système sont assujettis est exprimée ici par l’équation V n

■ w.<^?+o>’.Æp’4'&>”.cip,’'f-etc. =ü ,

avec laquelle la précédente ne peut pas subsister à moins que l’on ne prenne P=P'=P'(= ètc.

363. Si le vase renfermé un fluide élastique dont les molécules ne soient sollicitées par aucune force.,- v on. verra, par un raisonnement semblable à celui du n° 361, que pour qu’il y ait équilibre, c’est-à-dire pour que les -parties du fluide demeurent immobiles, il doit exister, dans tous. les points de ce fluide, et suivant toutes les directions , nue pression constante. Cette même pression est également exercée contre la paroi solide du vase. Elle est due -à la force répulsive des molécules du fluide. S’il existe dans la paroi du y1sÇ inic . ou plusieurs ouvertures- formées par des dra-

pbragmes ; il faudra; nécessairement1:, pour que l!^ (jui libre ne soit point rompu, leur appliquer, extérieurement des forces égales au produit de d’aire du djaphragitae par la valeur de la pression. intérieure rapportée à L'unité de surface. ■ ■ ' • . • *,

36t. Admettons présentement que les molécules d’un fluide incompressible ou élastique sont sollicitées par dés forces quelconques , et cherchons le6 Conditions de l’équilibre de ces forces. Si cet équilibre existe, il ne sera point détruit dans le cas où tout le fluide deviendrait solide à l’exception de la colonne de figure quelconque AB (fig. 38), supposée d’une grosseur uniforme et infiniment petite. Donc cette cohmtfe, considérée comme contenue dans un tuyau solide fixe, sera en équilibre, et ou pourra lixi appliquer les résultats obtenus n°* 338 et 339, en sorte qu’on aura les équations

dp^p(yLdx-\-Ydy^Zctï) , . ■ '

et * . . •• . - , . ... ' •*' ;

p—const.^ r f,(K.djc-j-Ydjr-^-Zdz) ,

dans lesquelles oti doit regarder les coordonnée^ x, y, z comme appartenant à la ligne qui forme l’axe du .tuyau. La constante, dans* 1 ex pression 4ep, représente évidemment la valetir de ,1a pression à i’eUrémité A du tuyau la plus voisine de l’origine des coordonnées! En prenant l’intégrale entre des limites correspondant à l’extré-, mité A et a un point quelconque m du tuyau, l’équation précédente donnera la pression qui a beu au point m dans le sens de L’axe du. -tuyau. En prenUnt cette même intégrale entre les limites qui répondent aux’ extrémités A et B, l'équation donnera la pression qui a lieu

à l'extrémité B.. Pour trouver d'ailleurs la valeur de *• - • • • l’intégrale dont il s'agit, on substituerait dans la fonc .

lion fi ( Xdx-{-Ydy+Zdz)f à la .placé de y et z,dy et dz, leurs valeurs en x et dx données par les.équalions de l’axe du tuyau, et l’on n’aurait plusqu’une intégrale simple relative à k» seule variable x, dont la valeur peut toujours être déterminée.

Mais nous remarquerons qu’entre les deux points A et B pris arbitrairement dans le fluide, on peut concevoir une infinité dç canaux de figure quelconque à chacun desquels ée qui vient d’être, dit peut être appliqué. Or, quelle que soit la figure atribuée au canal, il est nécessaire qu’il résulte de l’Opération précédente une même valeur pour la pression existante à l’extrémité B ; d’où l’on conclut que la fonction p(Xdx-{-Y dy-\-Zdz) doit être telle que prenant 'l’intégrale jp(Xdx^\-Ydÿ-\-Zdz) entre des limites- correspondantes à deux points quql- • conques du fluide, on trouve pour cette intégrale une’ même valeur, quelle que soit la relation supposée entre les variables *x','yv*. Dont l’intégrale dont il s’agit doit pouvoir être prise sans qu’il soit nécessaire d’y substituer pour y et z leurs valeurs en x , c’ est-h-dire que la fonction p(Xdx-\-Y dy+Zdz) doit être. la différentielle complète d’une fonction des trois variables x , y,- z. (Jette condition est exprimée, conformément au n° 366 des Leçons d Analyse , par les équations

d pX d.pY d.pX d.pZ d.pY d.pZ

dy ~~ dx ’ dz dx ' dz dy ’ •

. - • auxquelles les. valeurs des forçes X , Y , Z doivent satisfaire dans toute l’étendue du flùjde , pour que ce fluide demeure en équilibre sous l’action de ces forces.

Dans le cas pajrticulier où le fluide est incompressible et homogène , la densité p étant constante , il est nécessaire, pour que l'équilibre subsiste, que la fonction soit une différentielle complète d'une fonction des trois variables or , y, z , et pqr conséquent que les composantes de la forcé qui sollicite chaque molécule satisfassent aux équations

dt .JY dX dZ. dY dZ

dy dx~ dz dx' dz dy

L’aption de la plupart des forces naturelles’ est conforme à ces conditions. Elles seront accomplies toutes les fois que les molécules du fluide seront sollicitées par dés forces émanant de centres fixes, et dont l’intensité sera fonction des distances des molécules à ces centres , ou par des forces qui s’exercent entre ces molécules mêmes , et sont fonctions de lpurs distances mutuelles.

306. Les équations du n” 304 étant satisfaites , la' va-, leur de la pression rapportée à l’nnité de surface est doimée dans un point quelconque du fluide par l’équation suivante : . • , ;

pz=const.-\- Jf(S.(bc-{Jldy-?f-'Ldz). ; ■

L’expression det p en x, y, z, n’est autre chose que la fonction même de ces trois variables dont la quantité f(K.dx+\dy-\-7jdz) est la différentielle complète. Ainsi , dans un fluide en équilibre , la pression est toujours exprimée par uue fonction finie des coordonnées auxquelles sont rapportés les points du fluide. Il est visibled’ailleurs que pour un point donné, ht valeur de la pression sera trouvée l^tmême, quelleque soitJa direction dans le sens de laquelle onia considère puisque p n’est exprimé qu’en

fonction des coordonnées du point m, et ne dépend nullemeut de la direction de l’axe de la colonne AB en ce point. La constante se déterminera d’après La valeur de la pression dans un point déterminé du fluide , valeur qui doit être, donnée. En mettant ensuite dans la formule précédente, pour z, les coordonnées d’un point

quelconque du fluidfe , on connaîtra la pression qui s’exerce en ce point dans toutes les directions.

367. La même formule donne également la pression exercée contre la'paroi solide d’un vase dans lequel le fluide serait contenu- Celte pression est alors détruite par la résistance de la paroi. Mais lorsque la surface du fluide n’est pas appuyée contre Une paroi solide, et ne reçoit aucune pression extérieure , l’équilibre exige évidemment qùe l’expression précédente de p devienne nulle lorsqu’on y met pour les valeurs qui appar-

tiennent à- cette surface. Cette condition ne peut subr sistèr en général à moins que l’on n’ait - ■ ,

' \dx-\-Ydy-\-Zdz = 0 ,

équation à- laquelle doivent Satisfaire les coordonnées x, y, z appartenant à la surface libre du fluide , et qui doit être regardée comme l’équation différentielle de. cette surface. Elle indique une propriété remar- ’ quable de la surface dont il s’agit, qui consiste en ce que la direction de la normale en un point quelconque coïncide -toujours avec la direction de la force par la-- . quelle les molécules du fluide sont sollicitées. •

Oh remarquera que cette équation différentielle appartient non-seulement à une surface- daps tous les points de laquelle la pression eçt nulle . mais encore

à toute sjutfafce dans tous les points dé laquelle la pression conserve une valeur constante quelconque. On a nommé les surfaces dont il s’agit surfaces de niveau , ,et on les distingue , dans l’intérieur d’un fluide, par leur propriété de rencontrer toujours a angle droit la direction de la force qui sollicite les molécules de ce fluide. »

Lorsque la surface d’un fluide ne s’appuie point contre une paroi solide, et qu’elle supporte néanmoins dans tous ses points une pression normale constante , comme cela a lieu dans le cas où la pression atmosphérique s’exerce sur cette surface, l’équilibre exige évidemment que sa figure satisfasse à la condition précédente; c’est-à-dire quelle soit une surface de niveau.

On voit d’ailleurs que l’équation

'S.dx-\-Ydy-\-Zdz = Q , ■/' ‘

devant être toujours intégrable, soit d’elle-méme, soif en la multipliant par le facteur p; là surface libre d’un fluide en équilibre est- toujours représentée par une équation finie entre les coordonnées x,y,z. •

368. Dans la plupart des cas naturels-, la fonction \dxf-Xdj-\-7jdz, comme ôn.’f’a remarqué n° 365 / est la différentielle complète d’une fonction de x f,z qüe

nous désignerons par fl. On aura donc alors • • - . , . ’ • • ’ ’ • . '>

'• dp^p.dll et • p=.const.-j-J p.dtl.'

Or il est nécessaire pour l’équilibre du fluide que p.rfll * soit une différentielle cojnplèle d’une fonction de x,y,z, -ce, qui ne peut avoir lieu à moins que p ne soit Une fonction de fl. Donc p sera une fonction de p , et par

Digitizbd by Googlt

conséquent ées deux quantités varieront ensemble ou demeqreront constantes ensemble, quand on passera d’un point à l’autre du fluide. L’équilibre exige donc que la densité soit constante en même temps que la pression dans toute l’étendue de chacune des surfaces de niveau. Ainsi, quand les parties d'un fluide n’ont pas la même densité, elles se disposent entré elles en se mettant en équilibre sous l’action de forces quelconques , de manière que les parties dont la den- si té est la même forment des couches séparées par lès surfaces de n|veau Cette dis position est nécessaire pour que l’équilibre puisse subsister.

Dans le cas d’un fluide incompressibiè et hétérogène . l’équilibre peut avoir lieu, quelle que soit la loi suivant laquelle la densité varie d’une couche de niveau h une autre. On doit remarquer seulement que l’équilibre ne sera stable qu’autant que les couches du fluide seront disposées de manière que les plus denses soient les plus rapprochées des centres dont émanent les forces attractives par lesquelles les molécules sont sollicitées. ,ji

369. Dans le cas Jun fluide élastique homogène*, ou la densité est supposée proportionnelle h la pression,, la loi suivant laquelle la densité varie d’une couche de

niveau à üne autre est déterminée. Soient

p=kc,

A étant un coefficient constant ; l’équation précédente devient '• , . * •

kdp~=dri

elle donne en intégrant'

d’où g —

, A étant une constante arbitraire, et e la- base des logarithmes népériens. . • s

370. Dans les questions qui se rapportent aux eflets naturels , la densité ne peut être supposée proportionnelle à la pression dans un fluide élastique, à moins que la température ne soit constante dans toute l’étendue du fluide. En général la densité est fonction de la température et de la pression. L’équilibre exigeant que le second membre de l’équation dp—fdU. soit une différentielle complète, il faudra que n soit une fonction de IL Cette équation étant intégrée donnera la loi des pressions , d’où l’on conclura celle des densités. Mais a étant fonction de la température , il en sera de même de p ; d’où l’on conclut que la pression et la température seront constantes ensemble et varieront ensemble dans l’intérieur du fluide. L’équilibre ne peut donc subsister dans un’ fluide élastique à moins que la température ne soit uniforme dans tous les points d’une même surface de niveau. Dans la réalité, cette proposition doit aussi s’appliquer aux fluides appelés communément incompressibles , puisque leur densité varie sensiblement avec la température., ce qui explique les mouvements que prennent les parties d’un fluide de cette nature par le seul effet d’uné distribution inégale delà température.

371-. Pour donner une application des résultats précédents , ou considérera le cas d’une masse fluide dont toutes les mplécules seraient attirées vers un centre pris pour origine des coordonnées avec une force proportionnelle à leur distance à ce centre , et tourneraient autout de l’axe desé avec une même vitesse angulaire. Désignant -par F la force d’attraction centrale pour fu-

is.

nité Je masse et l’unité de distance, la valeur de cette force au point ayant pour coordonnées x,y,z sera

— F\/ x'-\y'-\-z' ; et ses trois composantes dans le sens des axes seront respectivement — Fx, — Fy, — Fz. La valeur de la force centrifuge au même point, en

appelant o la vitesse angulaire, sera v\/ xî-\ -y'-, et ses trois composantes dans le seus des axes seront respectivement vx,v'y, et 0. Ainsi la fonction désignée dans les numéros précédents par Xz/x-j-Ydy-f- 2,dz est ici —F(xdx-{-ydy-\-zdz)-\-v{xdx-\-ydy), et l’on a par conséquent pour l’équation diflérentielle des surfaces de niveau, et de la surface même du fluide supposé en équilibre ,

F{xdx-\-ydy-\-zdz) — v'{xdx-\-ydy) =0.

Comme le fluide doit évidemment affecter ici la figure d’un solide de révolution autour de l’axe des z, il suffit de considérer un des méridiens. En faisant donc y= 0, il viendra

F (xdx-\-zdz) — u'xdx = 0 , équation qui donne en intégrant

A étant une constante arbitraire. Ainsi la figure affectée par le fluide est celle d’un ellipsoïde de révolution autour du petit axe si F est>o\ Dans lecascontraireon obtient un byperboloïde de révolution autour del’axe imaginaire. Les actions auxquelles les parties des fluides placées à la surface.de la terre sont soumises, diffèrent peu de l’action d’une force centrale proportionnelle à la distance, comme on peut en juger d’après le n° 203, et

la force centrifuge est fort petite par rapport à cette force centrale : il en résulte que ia figure aflectée par la surface ries iners approche beaucoup de celle d’un ellipsoïde de révolution dont le rayon à l’équateur excède d’une petite quantité le rayon au pôle.