XXV. Equilibre des fluides incompressibles pesants

372. Considérons un fluide incompressible homogène contenu dans un vase et sollicité par l’action de la gravité, c’est-à-dire par une force constante dont la direction est parallèle à la verticale. En conservant les dénominations desn0* 358 et suivants, supposant le plan des xj horizontal et les z comptées de haut en bas, on devra, pour appliquer les résultats des numéros cités, faire X=0,Y=0,Z=g, en désignant toujours par g la vitesse imprimée aux corps pesants par la gravité dans l’unité de temps. La fonction X*f.r-j- Y dj-\-7xdz se réduira à gdz , les équations du n° 364 qui expriment les conditions nécessaires pour l’équilibre seront satisfaites, et l’expression de p du n° 366 deviendra

P=V+pg* .

P désignant une constante. Ainsi un fluide incompressible pesant demeurera toujours en équilibre pourvu que la paroi du vase résiste à la pression dont la valeur est donnée par cette formule.

373. Soit un vase fermé , de figure quelconque , et rempli de fluide. Admettons que le plan des xj passe par le point le plus élevé de la paroi. La constante P représentera alors la pression qui a lieu en ce point. Or, on peut supposer que le fluide a été versé dans le vase

p; ir une ouverture placée à la partie supérieure , puis <|ue cette ouverture u été fermée sans qu'aucun effort fût exercé; on aura alors évidemment P=0 , et les pressions dans l'intérieur du vase seront données simplement par l’expression

P-Pg*-' ‘

On peut supposer également que l’ouverture a été fermée par un diaphragme sur lequel on a exercé un + effort, les pressions dans l’intérieur du vase seront alors exprimées par

/,=:P-fp£t.

P représente la valeur de l’effort dont il s’agit divisée par l’aire du diaphragme , c’est-à-dice la valeur de la pression exercée, rapportée «à l’unité de surface. Dans tous les cas, la valeur de la pression est la même pour tous les points du iluide appartenant à une section horizontale quelconque, et cette valeur augmente, quand on passe d une section horizontale à une autre, d une quantité proportionnelle il la différence de niveau des ileux sections.

374.. Soit maintenant un vase ouvert à sa partie supérieure , de sorte que dans cette partie la surface du fluidesoit libre. La figure de cette surface sera donnée, d’après le n" 367, par l’équation

dz= 0 ou z=const.,

c’est-à-dire quelle sera un plan horizontal. Nous la prendrons pour le plan des x y. La constante P , dans l’expression p = P-t-cgr , représentera, donc la pression

exercée sur la surface supérieure du fluide, etl’on devrait faire P=0 si cette surface ne supportait aucune pression. Mais cette hypothèse ne peut être admise dans les cas naturels. Lorsque le vase et le fluide sont placés dans l’atmosphère, P représente la pression atmosphérique sur l’unité de surface. Ainsi la pression qui a lieu dans un point quelconque du fluide est formée de deux parties : 1° la pression atmosphérique représentée par la constante P, qui se transmet sans altération dans tout le fluide ; 2° la pression due à l’action de la gravité sur le fluide représentée par le terme fgz. On voit que cette dernière partie est égale au poids d’une colonne de fluide ayant pour base l’unité de surface et pour hauteur la distance du point que l’on considère à la surface libre du fluide. Ici , comme dans le cas précédent , la pression est la même pour tous les points de chaque section horizontale.

Ces résultats sont absolument indépendants de la figure du vase, et l'on reconnaît aisément qu’ils conviennent même au cas où cette figure serait telle que la surface libre du fluide se trouverait partagée en plusieurs parties séparées les unes des autres. Les différentes parties de cette surface doivent toujours se trouver dans un même plan horizontal , et la pression est la même pour tous les points du fluide placés dans un même plan horizontal quelconque.

Si le vase présente une partie MN (fig. 39), remplie de fluide, plus élevée que le ni veau MMde la surface libre qui reçoit la pression atmosphérique, le fluide en se mettant en équilibre s'élèvera dans cette partie au-dessus du ni-

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veau MM a une hauteur z= — ; et si ia hauteur MM

fg

est moindre que cette quantité , le fluide exercera alors de bas en haut contre la paroi NN une pression exprimée par P — ogz , z désignant la hauteur MN. Ainsi la hauteur à laquelle on verra le fluide s’élever dans la partie MN au-dessus du niveau M (en supposant qu’il reste dans cette partie au-dessus du fluide un espace entièrement vide) sera proportionnelle à la pression atmosphérique et en donnera la mesure.

375. On reconnaît facilement que s’il existe dans le même vase plusieurs fluides incompressibles et pesants de densités inégales , l’équilibre ne peut subsister à moins que ces fluides ne soient disposés par couches séparées par des plans horizontaux et dans chacune desquelles il ne se trouve que des parties ayant une même densité. De plus, cet équilibre ne sera stable qu’autant que les couches seront placées dans l'ordre des densités, les plus denses occupant la partie inférieure du vase. La valeur de la pression est donnée par la formule

p = P+gf pdz-,

et par conséquent la partie due a la pesanteur du fluide est égale ici, comme dans le cas du numéro précédent, au poids du fluide compris dans un prisme droit dont la base égale à l’unité de surface est à la surface libre du fluide, et dont la hauteur est la verticale menée du point que l’on considère à celle surface.

— 3yo —

Calcul des pressions supportées par les parois des vases.

376. On traitera cette question d’une manière générale en concevant q.u’ifn£ surface contre laquelle s’appuie le fluide est représentée par l’équation

et qu’il s’agit de déterminer la pression supportée par une partie de cette surface terminée par un contour donné. Nous admettrons ici , comme dans les numéros précédents, que le plan des xy est la surface libre du fluide, et que les z sont comptées de haut en bas à partir de ce plan. Nous représenterons par

y=* rtx), = = 9(.r), z =^(r),

les équations des projections sur les plans des xj , des xz et des yz du contour de la portion de la surface que l’on considère, en observant qu’il suffit de donner une seule de ces équations pour connaître les deux autres au moyen de l’équatjon de la surface. Cela posé, on remarquera , d’après le^ n° 374 , et en faisant d’abord abstraction de la pression atmosphérique P pour ne considérer que les pressions dues au seul poids du fluide, qu un élément qqelcouque infiniment petit de la surface proposée placéà la distance z au-dessous du plan des xy supportera une pression exprimée par

g»! dz.p, et dirigée suivant la normale à celle surface.

Les pressions qui s'exercent .ainsi sur les différents éléments de la surface constituent un système de forces qu’il est toujours aisé de réduire à deux forces horizontales dirigées parallèlement aux x et aux y, et à une force verticale.

En effet, désignons par 7, 8, « les angles que le plan de l’élément w forme avec les plans des xy, des xz et des y z ; ou bien les angles que la normale forme avec les axes des z, des > et des x. Nous aurons, pour les trois composantes de la pression élémentaire parallèles h ces axes ,

çz rz

COi.y.ga I il Z. o , COS.ë.g’w 1