Ç [ ÇA^S
r=g I dx I dy | dz.{
et pour les distances de la direction de la force r aux r
plans des xz et des yz
les limites des intégrales étant données par l’équation y = <m (ar).
Le fluide étant supposé en équilibre , si la densité p n’est pas constante , elle sera toujours une fonction donnée de l’ordonnée z seule , conformément «à ce qu’on a vu n° 375.
Si la densité p est constante, on écrira dans les formules précédentes pz à la place de l'intégrale
p /(x, y) à la place de l’intégrale I dz.p.
En général , les trois forces js, q, r ne se compose* ront pas en une force unique. Il serait nécessaire pour cela que les intégrales doubles qui donnent les valeurs
de ces forces et de leurs moments, par rapport aux axes des x , des y et des z, satisfissent à l'équation de condition du n* 56.
378- Si l’on veut maintenant tenir compte de la pression atmosphérique P qui s’exerce à la surface supérieure du fluide , il suffira de remplacer dans les
formules précédentes g I tlz.ç, par g I dz.tr- J-P,
ou
d’ajouter le terme
P Cz
- à l’intégrale I
dz.u.
Dans le cas où la densité p sera constante , on ajou-
tera P à ogz , ou — a z.
Les forces désignées par p, q , /• se trouveront augmentées respectivementdequantitéségalesaux produits de P par les aires des projections de la surface proposée sur les plans des yz , des xz et des xj ; et les directions de ces forces ne rencontreront plus ces plans dans les mêmes points.
379. Lorsque la surface contre laquelle s’appuie le fluide est plane, les pressions élémentaires se composent toujours en une force unique, puisqu’elles sont toutes parallèles et dirigées dans le même sens. Supposons p constante, prenons pour axe des x l’intersection de la surface plane dont il s’agit avec la surface libre du fluide qui est le plan des xy, et soit e l’angle compris entre ces deux plans. L’équation désignée ci-dcssus par z=/(x,j) deviendra
î—.ytang.g, . 6u y= -.
tang/i
La résultante p des pressions horizontales parallèles aux x sera nulle. On aura
q= pgjdxjdz.z-,
et pour les distances de la direction de q aux plans
des xy et des^z
.* . i . - ». •»•!*{ i II
ru, I. Ifbiini M! 4»iT>.
j dx.x J dz.z
jdxjdz.z
JW*'
les limites des intégrales étant données par 1 équation zc=<p(a). Quanta la résultante r des pressions verticales, les formules du numéro précédent donnent
r=tang.9.fér
jdx jdy.y ;
et pour les distances de la direction de la force r aux plans des xz et des yz
| dx | dy.y'
J dx.x j dy .y
f* Uy '
jdx j dy.y
les limites des intégrales étant données par l'équation
y=' Tsrlx) nui ne doit pasdilterer ici ite y£= .
‘ 1 tang. ü
Quelle que soit d’ailleurs la figure du contour tracé
sur b paroi plane, contour dont l’équation z=y (jc) représente la projection verticale sur le plan des xz, les formules précédentes donnent lieu aux remarques
suivantes :
1° Les distances des directions des forces q et r au plan des yz sont égales entre elles, en sorte que ces forces sont toujours comprises dans un même plan vertical perpendiculaire à la paroi plane proposée, et peuvent se composer en une seule force.
2° La distance de la force r au plan des xz est égale à la distance de la force q au plan des xy divisée par tang. 0 ; d’où il suit que le point de rencontre des directions de ces deux forces est situé sur la paroi plane proposée. On nomme centre de pression le point dont il s’agit , qui est le point d’application de la résultante R des pressions normales supportées par la paroi. a ,
3° On a r=tang &i et par conséquent
Le résultat précédent peut être exprimé d'une manière fort simple. Soit A l’aire de la figure proposée, et z, la distance du centre de gravité de cette figure à la surface supérieure du fluide. A sin. 9 sera la projection de l’aire A sur le plan des xz, et z, sera également la distance du centre de gravité de cette projection à la
surface supérieure du fluide. Ainsi l’on a
^dx ^
Asin.9
pgK sin. U
L’expression précédente de la pression normale supportée par la paroi plane revient donc à
R = PffAz, .
R = il Az, ,
il étant le poids de l’unité de volume du fluide ; c’est-àdire que la pression supportée par l’aire plane A est égale au poids d’une colonne de fluide ayant pour base A, et pour hauteur la distance z , de son centrede gravité •à la surface supérieure du fluide. Cette proposition se conclut d’ailleurs sans calcul du principe énoncé n° 374.
L expression pgA.z ou nAz, donne la valeur de la pression, quelle que soit l’inclinaison de la paroi plane. Si cette paroi est horizontale, le centre de pression coïncide avec le centre de gravité de l’aire A. Dans les autres cas l’on connaîtra le centre de pression en déterminant les deux distances de ce centre aux plans des xy et des
, fdxfdz.z'
y z, distances qui sout representees par ■ et
fdxxfdz.z ..... , .
fdxfdz z ’ *es mteSrales etant prises entre les limites
données par l’équation z=?(x) qui appartient à la projection verticale du contour de la paroi sur le plan des xz.
380. Lorsque la paroi plane est un rectangle vertical dont le côté supérieur est placé à la surface supérieure du fluide, on a, en désignant par a la longueur de ce côté et par c la longueur du côté vertical,
R= pg.ac. — c
..h R=— Pëac' •
— 3ytf —
pour ia pression supportée, et
pour la distance du centre de pression à la surface supérieure du fluide.
Lorsque la paroi est un triangle vertical dont le sommet est placé à la surface supérieure du fluide, et dont la base a est horizontale, la pression, en désignant par c la hauteur, est exprimée par
?g ac '■ ~Y c ou -f tëac‘ y
cjc C doc C dz z* 3
et conupe on a — , la formule - — ; — — donne —c
a ' / dxf dz-z 4
pour la distance du centre de pression à la surface supérieure du fluide.
Si la base du triangle vertical est au contraire placée à la surface supérieure du fluide , la pression est exprimée par
ou
et comme on a z=±c , Informulé précédente donne
^ c pour la distance du centre de pression à la surface
supérieure du fluide. Le centre dépression est d’ailleurs placé dans tous les cas sur la ligne qui joint le sommet du triangle au milieu de la hase.
381. Si, considérant toujours le cas d’une paroi plane, on veut avoir égard à la pression atmosphérique , la
valeur de la pression normale donnée n° 379 deviendra (ne,+P)A.
Les distances du ceBtre de pression aux plans des xy et
• . . f dxf dz.z ( tls4-P)
des jz sont représentées par j-dxj-dz ^2+P) et
fdx.xfdz(nz-\- P) , ,
fdxfdc (nz-j-P) » les ,nteSrales ctant toujours prises
entre les limites données par l’équation s =? (x) de la projection du contour de la paroi sur un plan vertical parallèle à l’intersection de cette paroi avec la surface supérieure du fluide.
