DES FLUIDES PESANTS
382. Considérons un fluide incompressible et pesant, supposé en équilibre, et dont la surface supérieure sera par conséquent un plan horizontal , conformément à ce qu’on a vu nu 374. Soit un corps solide pesant, de figure quelconque, plongé dans ce fluide. Il s’agit de reconnaître les conditions nécessaires pour que ce corps soit en équilibre , c’est-à-dire pour qu’il y ait destruction mutuelle entre l’action de la gravité sur le corps et les pressions exercées par le fluide sur toutes les parties de sa surface.
L’action de la gravité sur le corps se réduit toujours à une seule force égale au poids du corps , et dirigée suivant la verticale passant par son centre, de gravité. Quant aux pressions exercées sur la surface du corps , on reconnaît en premier lieu par le n° 376, que les composantes horizontales de ces pressions auront toujours une résultante nulle; car quel que soit le plan
vertical sur lequel on projette cette surface, il y aura toujours deux parties qui se projetteront l’une sur l'autre et auxquelles répondront des pressions dirigées en sens opposés. On reconnaît en second lieu que les composantes verticales des pressions se composent en une force unique agissant de bas en haut, égale au poids du fluide déplacé par le corps , et dirigée suivant la verticale passant par le centre de gravité de ce fluide. En ellet, deux éléments de la surface du corps, situés sur la même verticale , supportant toujours deux pressions dirigées, l’une de bas en haut, l’autre de haut en bas , dont la résultante, dirigée en sens contraire de la pesanteur est égale au poids du fluide contenu entre les deux éléments.
D’après ce qui précède , les conditions de l’équilibre se réduisent: 1° à ce que le poids du corps soit égal au poids du volume de fluide déplacé; 2» à ce que le centre de gravité du corps et le centre de gravité de ce volume de fluide se trouvent situés dans une même ligne verticale.
Lorsque le corps et lefluidesont homogènes, le centre de gravité du corps et celui du fluide dont il tient la place coïncident toujours : la condition de l’équilibre se réduit à ce que le poids du corps et celui de ce fluide soient égaux.
383. Si le poids du corps est plus grand ou plus petit que celui du fluide dont il tient la place , il est sollicité à descendre ou à monter par une force verticale égale à la diflérence des deux poids. Le corps prend une position telle que les deux centres de gravité soieut situés dans une même verticale qui est la direction de cette
force, et que le centre de gravité du corps soit audessous du centre de gravité du fluide dont il tient la place.
384. Considérons en second lieu un corps solide, en partie plongé dans un fluide incompressible. On verra comme ci-dessus que les composantes horizontales des pressions exercées par lé fluide sur la surface de la partie plongée se détruisent toujours réciproquement; et que les composantes verticales de ces près- * sions ne diffèrent point de l’action de la gravité sur
le fluide dont cette partie du corps occupe la place. Les conditions de l’équilibre d’un corps solide flottant à la surface d’un fluide pesant consistent donc : 1° en ce que le poids du corps soit égal au poids de la portion de fluide qu’il déplace ; 2° en ce que le centre de gravité du corps et celui du fluide dont il tient la place soient situés sur une même ligne verticale.
Si le corps et le fluide sont homogènes , le centre de gravité de la partie plongée du corps coïncide avec le centre de gravité du fluide déplacé par cette partie. La condition de l’équilibre se réduit à ce que le plan de flottaison partage le corps en deux parties dont les volumes soient entre eux dans le rapport de la densité du corps à l’excès de la densité du fluide sur celle du corps , et dont les centres de gravité soient situés sur une même perpendiculaire à ce plan.
Stabilité des corps flottants.
385. Un corps flottant à la surface d’un fluide est en équilibre lorsque les deux conditions énoncées dans le
ils
numéro précédent sont satisfaites. L’équilibre est stable lorsque le corps ayant été dérangé très-peu , d’une manière quelconque , de sa position actuelle d’équilibre , puis abandonné à l’action des forces par lesquelles il est sollicité , ces forces tendent toujours à le ramener dans cette position.
Soient (fig. 40) AB la surface du fluide, AmB le corps flottant dans sa situation naturelle d’équilibre , F le centre de gravité du fluide que le corps déplace, et G le centre de gravité du corps. Ces deux points , d’après ce qu’on a vu dans le numéro précédent, se trouveront nécessairement dans une même verticale EG, et l’équilibre du corps flottant n’est autre chose que l’équilibre d'une force égale au poids du corps agissant de haut en bas au point G, qui est détruite par une force égale, agissant de bas en haut au point F.
Admettons que l’on change la position actuelle du corps flottant, en sorte que le centre de gravité G soit transporté en G', et la ligne EG en E'G'. Soit, après ce changement F' la position du centre de gravi té du fluide déplacé. On devra maintenant regarderie corps flottant comme étant soumis à l’action de deux forces verticales, l’une agissant de haut en bas en G', qui est toujours égale au poids du corps ; l’autre agissant de bas en haut en F' qui est égale au poids du fluide déplacé. L’action de ces deux forces tendra toujours; 1” à faire mouvoir verticalement le centre de gravité G' du corps de bas en haut ou de haut en bas, suivant que le déplacement sera plus grand ou plus petit qu’il n’était dans la situation naturelle d’équilibre; 2° à faire tourner le corps flottant autour d’un axe horizontal passant par le
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point G* et perpendiculaire au plan vertical qui contient les points G' et F'. Concevons le plan incliné qui contiendrait cet axe horizontal et la ligne E'G', et que nous supposerons perpendiculaire au plan de la figure.
Il est visible que si la ligne E'G' étant inclinée à droite, comme le représente la figure, le point F' sç trouve à droite du point G, la force égale au poids du fluide déplacé, qui agit de bas en haut en F' tendra à ramener la ligne E'G' vers la verticale ; tandis que si le point F' se trouvait à gauche du point G', la même force tendrait à faire incliner de plus en plus la ligne E'G' vers la droite. Ou, si l’on veut, concevant par le point F' une ligne verticale qui rencontre en p. le plan perpendiculaire au plan de la figure dont on a parlé ci-dessus et dont E'G est la trace, si le point u se trouve au-dessus de G' le corps tendra à se redresser, tandis que si le point f» se trouve au-dessous de G' le corps tendra à s’incliner de plus en plus dans le même sens. Le point y a été nommé, d’après Bouguer , Métacentre.
Si le centre de gravité du corps, que nous avons supposé en G dans l’état naturel d’équilibre, avait été placé en g , et s’était transporté en g par l’efiet du déplacement attribué au corps, le métacentre y se trouverait au-dessous de g, et le corps flottant tendrait à s’incliner de plus en plus. Ainsi, toutes choses égales d’ailleurs, il peut résulter du seul changement de la position du centre de gravité du corps flottant , que ce corps se trouve sollicité h revenir à sa position naturelle d’équilibre ou à s’en ccarler.
Concevons que le corps flottant ait été écarté de sa position naturelle d’équilibre , puis abandonné à l’ac- *
tion des forces qui le sollicitent. ïl est visible que si, pour toutes les situations possibles de ce corps, le métacentre est au-dessus du centre de gravité, les forces tendront toujours à ramener le corps à sa situation naturelle d’équilibre, et par conséquent son équilibre sera stable. Si au contraire , pour toutes les situations possibles du corps flottant, le métacentre est au-dessous du centre de gravité , les forces tendront toujours à écarter davantage le corps de sa situation d’équilibre; et par conséquent son équilibre sera instable. Mais comme le métacentre peut se trouver tantôt au-dessus , tantôt au-dessous du centre de gravité, suivant la position actuelle du corps flottant, on ne peut en général déterminer exactement les conditions de la stabilité de l’équilibre sans rechercher la nature des mouvements affectés par ce corps.
386. Lorsque le déplacement du corps est supposé très-petit, on peut exprimer d’une manière générale les conditions relatives à la figure du corps, ou à la distribution des poids dont il est chargé, dont dépendent la stabilité ou l’instabilité de son équilibre. Nous ferons ici abstraction du mouvement du fluide, et nous admettrons qu’il exerce constamment sur le corps, la même action qui aurait lieu si le corps était immobile. D'après ce qui a été dit dans l’article XX, on pourra toujours considérer à part : 1* le mouvement du centre de gravité du corps, qui aura lieu comme si toute la masse était concentrée en ce point, et comme si toutes les forces y étaient appliquées ; 2° la rotation du corps autour de son centre de gravité qui aura lieu comme si ce point était fixe.
AB étant toujours la surface supérieure du iluide (tig. 41), soient, comme ci-dessus, G la position du centre de gravité du corps dans l’état naturel d’équilibre, EG la verticale qui passe par ce point, F la position sur cette verticale du centre de gravité du fluide déplacé par le corps. Nous prenons le point G pour origine des coordonnées horizontales x, y et verticales z, les z positives étant comptées de haut en bas. Nous admettons ensuite que le corps flottant a été déplacé, en sorte que le centre de gravité G s’est abaissé en G' sans sortir delà verticale où il était situé, que la ligne EG s’est placée en E'G', et que le point F s’est transporté en J" sur cette ligne, la distance /G' étant égale à FG. Le plan de flottaison, qui coïncidait dans l'état naturel d’équilibre avec AB , s’est abaissé et incliné en demeurant perpendiculaire à E'G', et sa trace sur le plan desxz est maintenant ab. la distance Ce étant égale à GG7 en négligeant une quantité très-petite du second ordre. Enfin nous désignerons par
V le volume du fluide déplacé par le corps dans l'état naturel d’équilibre;
U l’aire du plan de flottaison AB ;
b les coordonnées du centre de gravité de l’aire n comptées du point G sur les axes des x et des ; c la distance GF ou G f des deux centres de gravité du corps et du fluide déplacé dans l’état naturel d’équilibre du corps flottant (on a supposé dans la figure G au-dessous de F ; s’il était au-dessus , il faudrait changer dans les formules le signe de c) ;
la hauteur verticale très-petite GG' ou Ce iloul le centre de gravité G est abaissé au-dessous de sa position dans l’état naturel d’équilibre ;
», *>, ^ les angles très-petits que la ligne EG a décrits autour des axes des x , des y et des z, pour arriver à sa position actuelle. (On suppose ici les angles ? et » positifs, lorsque les mouvements de rotation qui ont lieu autour des axes des x et des y ont tous deux pour effet d’abaisser les points du plan de flottaison qui sont situés dans l’angle des x et des y positives);
P la masse de l’unité de volume de fluide; g la vitesse imprimée par la gravité dans l’unité de temps.
Le déplacement du corps étant supposé très-petit, les quantités n , a, b peuvent être censées constantes pendant toute la durée du mouvement.
11 s’agit en premier lieu de distinguer les forces par lesquelles le corps flottant est sollicité dans sa position actuelle. Elles consistent évidemment : 1° dans le poids île ce corps, exprimé par pgy, qui agit verticalement de haut en bas en G'; 2° dans une force égale au poids du fluide déplacé dans l’état naturel d’équilibre , également exprimée par rgT, agissant verticalement de bas en haut en f\ 3° dans le poids du fluide contenu entre les deux plans AB et ab , qu’il faut concevoir agissant aussi de bas en haut. Quant aux pressions horizontales exercées sur la surface du corps , elles se détruisent dans tous les sens , et on ne doit point les considérer. Pour établir les équations du mouvement
du corps , nous devons exprimer en fonction des cjuantités.ç, ç, u, 4, les forces qui viennent d’être indiquées, et leurs moments pris par rapport aux axes des coordonnées.
Relativement à la force fgr, agissant verticalement de bas en haut en /, les moments de cette force pour faire tourner le corps autour de deux parallèles aux axes des x et desj, et passant par le centre de gravité G' sont évidemment
Pgr.Cf et pg-r.cw.
A l’égard du poids du fluide contenu entre les deux plans de flottaison AB et ab , il faut observer que prenant sur le plan AB un point dont les coordonnées horizontales sont x,y, la longueur de la verticale abaissée de ce point jusqu’à la rencontre du plan ab , sera Ç+x<*+yy. Par conséquent le poids de ce fluide est
4f dxdyi£+x*+yi) i
et les moments de ce poids pris par.rapport à l’axe des je et à l’axe des y sont respectivement
dxdy.y [K+x*+y<t) >
*ff,
• .JJ dxdy .x{t,-\-xu-\-y<î) >
les intégrales étant prises dans toute 1 etendue du plan de flottaison AB. Si l’on fait attention que ffdxdy= a, f f dxdy.y —nb , ffdxdy.x=&a ; et si l’on pose pour abréger
j jdxdy.xy = l , j,jdxdyy= ni , j jdxdy.x'—n ;
l’expression précédente du poids du fluide contenu entre les plans AB et ab deviendra
et les expressions des moments de ce poids pris par rapport aux axes parallèles aux x et auxy, qui passent par le centre de gravité deviendront respectivement
Les quantités l, mt n peuvent être censées constantes , pendant toute la durée du mouvement.
Ôn voit donc par ce qui précède: 1° que si l’on transporte toutes les forces au centre de gravité G', il restera seulement une force verticale agissant de bas en haut , égale à
2° que les moments des forces qui tendent à faire tourner le système autour de l’axe parallèle aux x et autour de l’axe parallèle aux y, de manière à faire diminuer les angles <p et <■>, sont respectivement
(ïc+m)ÿ] ,
pgiQ«ç+( ïc+ n) «-K?] .
Quant au moment qui tendrait à faire tourner le système autour de l’axe des z , sa valeur est nulle , puisque les forces horizontales se détruisent dans tous les sens.
