D’après cela , le corps flottant étant supposé en

mouvement, et les valeurs des quantités ç,- ç,&>, '!*■ qu1 entrent dans les formules précédentes , étant supposées celles qui ont lieu à la fin da temps t, le mouvement du centre de gravité, conformément a ce quon a vu dans le n° 312 , est réglé par la seule équation

at 2

et le mouvement de rotation du corps autour de son centre de gravité est déterminé d’apres le même numéro par les équations

^ — z — fâr[^?ï+(c+n)a,-l-^l ’

/ d‘x dy\

S. ml y — ; x — 1=0. ...

V dt‘ dt‘ )

D’après les formules du n° 249 , où l’on doit changer les signes de z et de «,

dy= — zdy — xdty , dz=xda>-\-ydf.

(Ti/

dy

r dF

3 de'

<ry

cCf

de

~zdt'

~xdê'

æz

de <f

de ~

de

+r di"

puisque, les déplacements étant supposés très -petits, les coordonnées de chaque point du corps peuvent être eensées constantes par rapport au temps. Substituant ces expressions dans les trois équalions du mouvement de rotation , et posant comme dans le n° 285 ,

A=S.m(iy,-f-*,)i ’ F =S.myz,

B=S./w(.r’-f-z’) , G~S.mxz.

il viendra

d? (p d? ‘1/ d* oü

A — -)-G +H =— p £[oôç-ffc>-j-(rc-{-m)f],

<A> cL\ d'il

B — +H — —F -j-; =— pg'[liaî+(*'c+«)w-f^] -

rf3®

dt' dt 1 dd

Les quatre équations précédentes doivent donner les expressions des quantités ç, ?, w, ^ en fonction de t. Comme elles sont linéaires et à coefficients constants , on pourra toujours les intégrer par les procédés indiqués dans les n°‘ Ü55 et suivants des Leçons d’ Analyse.

388. Nous supposerons , conformément à l’état ordinaire des bâtiments de mer,, que le corps flottant peut être partagé eù deux parties égales et symétriques par un plan vertical.

Admettant que ce plan soit celui des yz, on aura donc a— 0 , /=0,G = 0, H = 0; ce qui réduit les quatre équations trouvées ci-dessus à

A ^p=— [ûtoi-f <ïc+m)f] (2),

cÛ-f5=0 ....

dt' dt'

Considérons les équations (1) et (2) qui , en posant pour abréger •

o -*> Bab C/ ïSLlb +'")

S=T’ T==r ' S-~ÂT' ~ Â ’

s’écriront

J+Sç+T^O.

Multipliant la seconde par une constante indéterminée X, et l’ajoutant à la première, il vient

1 ^+;s+>»)î+(T+Ar)?=o;

puis en posant, «étant une nouvelle variable, ç = «— Xf,

dX du dtf d’où d? ~ dC ~ k -di-

on aura

~ + (S+XS')u— (S+>S')).?+ (T+ ) T') ? = 0-

dt

On satisfait à cette équation en posant

jjr +(S+iS')a=0 , ,

(S+XS')X-(T+iT')=0.

La seconde de ces deux équations donne

— S-f-T'il/ (S— T')*+4TS,

en substituant cette valeur dans la première et faisant pour abréger

K= -i-(s+T'±l/(S— T7+4TS'),

il viendra

équation dont l’intégrale est

u = rcos.<l/'K-|-Asin./|/'K ,

r et a étant les deux constantes arbitraires.

Si l’on suppose qu’à l’origine du mouvement la vi-

dx^

lesse du corps flottant soit nulle , on aura alors 0 ,

dm , du

— -~0, et par cpnsequent — -= 0 ; en sorte que la

cit (IL

contante A devra être nulle. Nous écrirons donc M=r,cos./|/''KI et «=r,cos.fl/'K, ,

en désignant par K, et K, les deux valeurs de K ; et par conséquent

Ç+>.?=r,cos.<l/K,

Ç+\'P=r.cos.t|/'K, ,

en désignant également par \ et \ les deux valeurs de > ; d’où l’on déduit

r,\ cos. /l/K, — r,*, cos.<|/K,

r.cos.t f/K, — r.cos.t l^K,

Il est visible d’ailleurs qu’en représentant par ç. et 'ÿo.

les valeurs. initiales «le ç et , on aura

U-Kfo^r, et ç„+>,?„=r, ,

pour les valeurs «les «leux constantes r, et is.

Quant à lequation (3) , que l’équation (fc) réduit à

d'o> og (Tc+«).C dë^ BC— F

elle donne immédiatement

... A / fg (vc+«).C

W — toQCOS f y/ jgjT pi \V

en supposant toujours la valeur initiale de ^ nulle, et

désignant par «„ la valeur initiale de w.

Enfin , mettant cette valeur de « dans l’équation (4). il viendra

d'-> F fg(vc+«)C A /pgPc+nÿ. . .

dë ~ C””’ BC— F*~ ^ BC-F’ ’

intégrant deux fois de suite, supposant' la valeur

initiale de ^ mille, et représentant par la valeur dt

initiale de ^ , on trouve

+=*•+ 1 "('"“Virr)

Les équations (5), (6), (7) , (8) , qui donnent les valeurs des quatre variables ç, <p, w et en fonction du temps t , font connaître le mouvement du corps flottant. Si les radicaux qui multiplient t sous le signe cosinus sont réels, ou si les quantités sous le signe \/ sont positives, ces mouvements ne consisteront évidemment qu’en des oscillations qui auront lieu de part et

d'autre de la position, naturelle d’équilibre du corps.

Le corps ne s’écartera jamais de cette position plus qu’il n’en était écarté à l’origine du mouvement, et l'équilibre sera stable. Mais si les quantités dont il s’agit sont négatives, le corps tendra à s’écarter de plus en plus de sa position initiale. Ainsi la stabilité ou l’instabilité de l’équilibre tient aux signes des quantités K, et

K , et à celui de la quantité — L’une des valeurs ’ l BC— FJ

de K est toujours positive, et l’on peut reconnaître que l’autre sera aussi positive pourvu que la quantité rc-j-m soit plus grande que a b*. Ainsi la condition de 1;) stabilité de l’équilibre s’exprime en posant

le 4-«

T&frn>nft’ et -jjj,— pr,>0.

On peut remarquer que la figure des bâtiments de mer, qui est symétrique par rapport au plan qui les coupe dans le sens de la longueur, s’éloigne peu d’être aussi symétrique par rapporta un plan perpendiculaire à celui-ci. Il y a donc en général peu d’erreur, dans ce genre d’applications, à supposer que le plan des xz partage le corps flottant en deux parties à peu près égales, et à regarder en conséquence b et F comme des quantités dont on peut négliger les quarrés. Le signe d’une des valeurs de la quantité K , qui entre sous le signe radical dans les équations (5) et (6), dépendrait alors entièrement du signe de la quantité vc-t-m : les deux valeurs de K seraient positives si rc-f-m était positive , et l’une de ces valeurs serait négative dans le cas contraire. On reconnaît également que le radical des équations (7) et (8) serait réel ou imaginaire, suivant

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que la quantité rc-j-n serait positive ou négative. Ainsi l’équilibre du corps flottant serait stable si les quantités Vc-(-m et ïc-j-n étaient toutes deux positives, et il serait instable si l’une d’entre elles on si toutes deux étaient négatives.

Les quantités m et n sont toujours positives > aussi bien que T. La quantité c est positive lorsque le centre de gravité du corps est au-dessous de celui du fluide déplacé dans l’état naturel d’équilibre, comme on l’a supposé dans la figure: alors les quantités Vc-j-m et vc-f-n sont toujours positives, et par conséquent l’équilibre est toujours stable. Mais si le centre de gravité du corps est situé plus haut que celui du fluide déplacé dans létal naturel d'équilibre, la stabilité de l’équilibre exige que Te soit plus petite que m et n.

389. La recherche serait.d’ailleurs plus simple si l’on supposait d’avance que le plî»n des xz partage le corps ilottant, aussi bien que le plan des yz, en deux parties égales et symétriques. En faisant b= 0 et F=Odans les équations (1), (2), (3) et (4) du numéro précédent, elles se réduisent à

A -—=—pg(Tcri-m)i, dJu

h d[, =—!<g{rc+n)<* ,

Dans ces équations , que l’on aurait pu obtenir directement , les variables sont séparées, et l’on a immé*

diatement (en supposant toujours les vitesses initiales nulles),

ç=ç„cos.<

On peut alors affirmer avec une entière exactitude que l’équilibré du corps flottant est stable ou instable suivant que les quantités rc -f- m et rc-f- n , sont ou non toutes deux positives ; et il est utile de remarquer que ces quantités étant multipliées par le poids fg de l’unité de volume du fluide expriment respectivement les moments des forces qui tendent â ramener l’axe du corps flottant dans sa situation verticale primitive., le déplacement de ce corps étant supposé égal à celui qui a lieu dans cette situation. D’où l’on doit conclure que les quantités rc-f-m et Tc-j-n seront positives ou négatives, suivant que le métacentre déterminé en supposant cette condition satisfaite , se trouvera placé au-dessus ou audessous du centre de gravité du corps flottant; et par conséquent que la seule considération du métacentre ainsi déterminé suffit , dans le cas particulier que nous considérons, pour prononcer si l’équilibre du corps flottant est stable ou instable.

Les oscillations que le corps flottant exécute dans le sens vertical et autour des deux axes principaux qui se croisent à son centre de gravité sont ici entièrement

indépendantes les unes des autres. Les durées des oscillations seront exprimées respectivement , d’après les expressions précédentes , par ‘ ■

fô(YC+m) ’

rV-

fg-(rc+/t) ’

« représentant le rapport de la circonférence au diamètre. La comparaison de ces valeurs dans divers bâtiments de mer, peut faire juger de la douceur ou de la dureté de leurs mouvements.

390. Pour donner une application très-simple de ces résultats * nous supposerons que le corps flottant est uu paraliélipipède rectangle homogène, dont la densité est la moitié de celle du fluide , et nous considérerons seulement les positions d’équilibre dans lesquelles l’une des arêtes est verticale, le» deux autres horizontales, et le plan de flottaison passe par le centre du corps. Il s'agit de distinguer dans quels cas l’équilibre sera stable ou non. En conservant les dénominations précédentes , désignons par a , b , c les demi-longueurs des trois arêtes dirigées parallèlement aux axes des x , des y et des z , dans l’état naturel d’équiljfere. Le volume de fluide déplacé dans cet état est la moitié de celui du corp# s donc

Va — Ka.bc.

Le centre de gravité du corps est au niveau de la surface supérieure du fluide, et le centre de gravité du

fluide déplacé est à la distance ^ c au-dessous de cette surface : donc la quantité c des formules précédentes , doit être remplacée par c.

Nous.aurons d’ailleurs

fa- M -< ' * : c* r* a

dx I dy y,= -al>i /?= I dx.a? I dy^-a'b.

Ainsi

“s+sy

rc+n=*ab(-£+£);

d’où l’on conclut que l’équilibre du corps ne peut être stable, à moins que l’arête verticale ne soit moindre que la plus petite des arêtes horizontales multipliée par

la Fraction V -,.U ne peut y avoir qu'une seule position

d’équHibrO stable. ' t ' ,UJ‘1 ai1

Quant à la durée des oscillations qui auront lieu autour de cette position, on remarquera que, d'après le n° 296 . les moments d’inertie du corps., pris par rapport aux axes des x et des y qui passent par le centre dé gravité, seront respectivement r- ■ '

A== - paflécfù’.+c’), ®= „P ab^a'+c1),

, J , *|t I 4 * ** I. . * « i- »*t« ll‘^ '» . \‘t >’• • •*

p désignant toujours la densité du fluide, qui •est supposée ici double de celle du corps flottant. De plus

'.. , j, n=4 ab. |.: ‘ -, •• -,

Ces valeurs substituées dans les ex pressions précédentes, donneront , , j - . , . - • , i - 1 1 ^ ,**» .*• -, ô oL:ufl

pour les durées respectives des oscillations très-petites qui auront lieu dans le sens vertical, autour de l’axe horizontal parallèle à l’aréte 2 a et autour de l’axe horizontal parallèle à l’arête 2 b. On voit que la durée des oscillations verticales est égale à celle des oscillations d un pendule simple dont la longueur est c.

XXVII. ÉQUILIBRE d’une COLONNE ATMOSPHÉRIQUE. NIVEL- LEMENT BAROMÉTRIQUE.

391. Considérons en premier lieu un fluide élastique homogène contenu dans un. vase et soumis à l’action de la gravité, que Top regarde comme une force verticale constante:. Adâmttons de plus que la température soit uniforme dans toute l’étendue du fluide, ce qui per*] mettra d’écrire comme dans le n° 369 , conformément à la loi de Mariotté . ... ,

V ' 11! ' “Il

^ désignant la pression qui a Heu dans un point quelconque, p la densité d'n fluide en ce point , et k un coefficient constant. Lé résultat énonéé dans le numéro cité donnera la loi de l’équilibre du fluide , en remarquant que s désignant l’ordonnée verticale d’un pOiht quel-' conque comptée de bas en haut à partir d’uh plan horizontal fixe, on a ici JI = — gz, et par conséquent

/>= A.e * , ou Zzx log. —

À étant une constante arbitraire. Et si l’on nomme P la 1 pression qui répond au point dont l’ordonnée verticale est Z , on aura

p~ A.e* ., ou z — Z=- log.

Cette équation donnant pour z une valeur infinie lorsqu’on faitP=o, on voit que l’on ne peut supposer qu’aucune pression n’est exercée sur la surface supé* rieure du fluide, sans admettre en même temps que la hauteur de la colonne de fluide est infinie. Mais comme la densité devient nulle en même temps que la pression, il faut seulement entendre par ce résultat que l’on ne peut spécifier la hauteur à laquelle se termine le fluide.

392. Considérons maintenant plusieurs gaz ou vapeurs soumis à l’action de la gravité et contenus dans un même vase, en supposant comme ci-dessus la température constante. On sait, par les recherches des physiciens ; 1° que ces fluides, parvenus à un état d’équilibre, se trouveront mélangés complètement de manière à former un corps homogène; 2° que, dans cet état, chaque fluide supporte une partie de la pression totale égale à celle qu’il supporterait s’il remplissait seul le même espace. Soient, pour un point quélconqueTp„ p„ pJt etc., les densités des fluides qui forment le mélange ; Pi,pt,pt, etc., les parties de la pression qu’ils supportent respectivement. On aura

/>.=*, p. , P%=K°,; P,=tf„ etc., etc., désignant des coefficients constants , et P=P,+Pi+P>+etc-

La densité p du mélange sera évidemment la somme p,-}-p, -)-p,-t-etc. des densités de chaque gaz. Donc ici l’équation p=Ap devient . ■

d’où

k *,P,+*.!vf *éyf<=lc-

p.+p.+Pi-Hte.

Celle expression de k doit être substituée dans la formule du n" 391 , qui devient ainsi

. z ^.P.+^.+^i-H*6- |OR P (pi+p«4*pi~f*etc')ff h p ’

quand on veut l’appliquer à un mélange de plusieurs gaz. ’ • ’ •

393. Nous avons supposé qu’il s’agissait d’un fluide contenu dans un vase; mais si l’on voulait considérer l’équilibre d’un fluide occupant un grand espace, ou même l’équilibre de l’atmosphère terrestre dans toute son étendue, il est visible par les n“ 368 et suivants , que les résultats précédents pourraient être appliqués, en supposant la direction commune de la gravité et des ordonnées z perpendiculaire à, la surface des eaux , qui est nécessairement ici une surface de niveau. Ces résultats donnent l’expression de la différence de niveau de deux points quelconques du fluide au moyen du rapport des pressions qui ont lieu respectivement dans ces deux points. Mais comme les formules précédentes sont fondées sur l’hypothèse d’une température constante, et d’une action constante exercée par la gravité, hypothèses qui ne s’accordent point avec l’état véritable de l’atmosphère, elles ne peuvent être employées à la mesure des hauteurs pàr l’observation du baromètre.