FLUIDE SOLLICITÉ PAR DES FORCES QUELCONQUES

402. Nous considérons un fluide en mouvement dont les parties sont sollicitées par des forces données, et nous désignons par

x, y, z les coordonnées d’un point quelconque du fluide, comptées à partir d’une origine fixe sur trois axes rectangulaires; ,

X, Y, Z les vitesses que la force agissant sur la molécule placée ep ce point imprimerait à l’unité de masse dans l’unité de temps , dans le sens des x, dès y, et des z-, ,

u, v, w les vitesses de cette molécule à la fin du temps • t, dans le sens des x, des y et des z ;

p la masse de l’unité de volume, ou la densité du fluide, qui a lieu à la fin du temps t , au point dont lès coordonnées sont x , y, z-, p la valeur de la pression sur l’unité de surface, qui a lieu à la fin da temps t , dans le même point. - • -

•Les quantités u, v, w , p et p doivent être regardées otnme des fonctions variables des coordonnées x, y, z et du temps t. Il en sera de même, en général, des forces représeptées par X,Y, Z. Cela posé, le fluide étaDt censé se mouvoir de manière à former coriîtam-

ment une masse continue , dont les parties ne se séparent, ni des autres parties , ni des parois solides contre lesquelles le fluide peut s’appuyer, le mouvement est assujetti à des conditions générales dont il s’agit de trouver l’expression analytique.

Quant aux relations qui doivent exister entre les vitesses des parties du fluide et les forces qui les sollicitent, on les connaîtra en appliquant le principe de d’Alembert (Voyez n° 257) , qui convient à un système quelconque d’éléments matériels ; c’est-à-dire en exprimant qu’il y a constamment équilibre entre les forces perdues appliquées à chacun des éléments du fluide. La force perdue pour la molécule située dans le point du fluide dont les coordonnées sont x, y, z, est ici la force capable d’imprimer à l’unité de masse , dans le temps dt , les vitesses Xdt — du, Ydt — du, T^dt — dw , dans le sens desx, des .y et des z. Par conséquent on voit d’après le n° 364, que la condition de l’équilibre du fluide est exprimée par l’équation

/ Xdt — du , dp=? \ dt dx~

ydt— du

' dt

dy-\-

Zdt — dw

T~~di

dans laquelle le second membre doit être une différentielle complète des variables x ,y, z ; en sorte que 1 on doit, avoir les trois équations distinctes

dp Xdt — du

dx dt • ’

, • .dp Xdt — du

dy dx

dp 7tdt — dw

<fz dt

Dans ces équations , les différentielles du , du , dw , représentent respectivement les accroissements que subissent les vitesses u,u,-w pendant le temps infiniment petit dt. Or ces vitesses varient en général à mesure que le temps s'écoule , soit par l’elfe t des changements qui peuvent avoir lieu dans le point où la molécule du fluide est actuellement placée, soit par l’elfet des déplacements que cette molécule subit; c’est-à-dire par l’eflet des variations que subissent les coordonnées xy y, z considérées comme des fonctions du temps t. On doit donc avoir, par exemple , pour l’expression complète de du ,

, du , , du dx , , du dy , , du dz , du= — dt+ — — dt+r— d-dt+-~ — dt ; dt dx dt dy dt dz dt T

Ou, puisque

dx dy

dt dt~W\

— du du ,, du .

du~ ~t dt+ Tx Udt+ dy Vdt+ Hz™4*'

La même remarque s'applique aux vitesses u et w. Ainsi l’on doit donner, dans leséqùations précédentes, aux différentielles du, dv, d\v , les valeur^

du = 1

/ du , du

, f du , du , du , du \ ,

\dl dx U~^~ dy / dvu dvu dw

=\dï + d^u+dÿ

et par conséquent ces équations deviendront

L dt ~

dx U

dy "

. dv

dx U

, dw

~~dt~

dy dz

Elles conviennent à tous les points du fluide , et doivent être satisfaites par les expressions de u , v, w et p en t , x,y, z qui exprimeront l’état de mouvement de ce corps.

403. Quant à la condition nécessaire pour que le fluide forme une masse continue, concevons l’élément rectangulaire de volume dont les trois dimensions sont dx,dy,dz. La masse du fluide contenu dans cet élément, à la fin du temps t, est p. dxdydz, et à la fin du temps dt

elle est devenue dt^ dxdydz. Or, on exprimera

qu’il n’y a aucune solution de continuité dans le fluide,

, ‘ , do

si l’on écrit que l’accroissement dt. dxdydz éprouvé

par cette masse, dans le temps dt, est égal à la masse du fluide qui est entré pendant le même temps, dans l’élément de volume dont il s’agit, par les trois faces les plus voisines de l’origine des coordonnées ; moinscelle qui eu est sortie par les trois faces opposées. La masse du fluide qui entre parles trois premières faces dans le temps dt est , dydz.oudt-\-dxdz.pvdt-\~dx.dy.owdt ;

celle qui Sort par les trois faces opposées dans le même temps est

' dydzÇ fjit+ dx^ dt+dxdz v 4- dy ^ dt

■ +dxdz^p\y + ~^fj~dz^ dt.

ninitÎ7(vi hv Oorw

On a donc, pour l’excès dé la première sur la seconde,

, , , / dj.u , d.ùv ' d.pw\

et en égalant cette quantité à l’accroissement

do '

dt.dxdydz ,

on obtiendra , après la suppression des facteurs communs, pour lequation appelée par quelques géomètres équation de continuité , . :

dp d.pu d.pv d.pw

dt ~r djc dy ^ dz

Cette équation doit aussi être satisfaite pour tous les points de l’espace occupé par le fluide , par les expressions de u , . v , w et p en fonction de t , x, y, z .

404. Les équations (1) et (2) , conviennent à tous les cas du mouvement dp fluide. On ajoutera seulement les remarques suivantes. ’ ’

1° Lorsqu’il s’agit d’un fluide incompressible et homogène, p est constante, et par conséquent l’équation (2) se réduit à

du . dv , dw .

ri4- L

qui exprime que le volume d’une partie quelconque du fluide ne varie point lorsque cette partie se déplace.

2* Lorsqu’il s’agit d’un fluide incompressible et non homogène , l’équation (2) se partage nécessairement dans les deux suivantes du

,dv dw

dx dy dz ' ’

dt ‘ dx dy dz

qui doivent subsister séparément.

3" Enfin , lorsqu’il s’agit d’un fluide élastique , on a , dans l’hypothèse d’une température uniforme et constante ,

p=kP,

k désignant comme dans le n° 369 un coefficient con-

stant.

Les équations précédentes suffiront toujours, l’état initial étant donné, et le fluide étant regardé comme un corps ayant une étendue indéfinie dans tous les sens, pour déterminer les quantités inconnues u, v, w, p et p en fonction de x,y, z et ï, et pour faire connaître la nature du mouvement.

405. Mais si le fluide n’occupe qu’un espace limité, et s’appuie constamment contre une paroi solide, il est visible que les molécules contiguës à celte paroi sont immobiles, ou se meuvent dans le plan tangent à la surface. Soit généralement

Pf=0, ;

l’équation de la surface de la paroi solide dont il s’agit, F étant une fonction des coordonnées x, y, z. La condition qui vient d’étre énoncée, sera exprimée par l’équation

• dF . dF dF ■ i\\

dx dy dz

à laquelle doivent satisfaire les expressions de m, v, w lorsqu’on donnera à x, y, z, les valeurs qui satisfont à l’équation F=0, c’est-à-dire les valeurs qui appartiennent à la surface du fluide contiguë à la paroi solide.

V06. Si. le fluide s’appuie contré une paroi mobile

dont l’équation soit toujours exprimée par F=0, F désignant maintenant une fonction dex,^, z et t, on aura , en diflérentiant cette équation par rapport à toutes les variables qu’elle contient ,

dF dF dF dF

Or , on exprimera évidemment la condition qu’une molécule de fluide placée à la surface se meut sans quitter cette surface , en donnant dans cette équation , aux différentielles dx, dj, dz , les, valeurs udt , udt, wdt, ce qui la change.en

dF , dF . dF , dF — 4- -r- U+ — j— U-f- -y W=0.

dt dx dy dz

Cette dernière équation doit donc être satisfaite , dans le cas dont il s’agit , par les valeurs des coordonnées appartenant à la surface du fluide.

Ü07. Si l’on considère un fluide incompressible, et qu’il ait une surface libre -sur tous les points de laquelle s’exerce une préssion uniforme et constante, on aura dans toute l’étendue de cette surface,

P désignant celte pression constante. Donc, conformément à ce qui vient d’être dit, on exprimera que les molécules placées à la surface libre du fluide se meuvent sans la quitter, en posant l’équation

dt dx

qui doit être satisfaite par les valeurs des coordonnées appartenant a la surface libre dont il s’agit.

408.' Jusqu’ici nous avons regardé x, y , z comme représentant les coordonnées d’un point quelconque de l’espace occupé par le fluide, comptées d’une origine fixe. Ces quantités sont alors des variables indépendantes. Mais l’on peut aussi concevoir que x, y, z représentent , à la fin du temps t, les coordonnées d’une molécule déterminée du fluide ; et alors on aura les relations % ’ . ■

dx=udl , dy—vdl , dz— wdt.

Cette nouvelle signification attribuée h x, y, z ne change rien aux équations établies dans les n®‘ 402 et suivants , mais alors ces variables ne seront plus regardées comme indépendantes ; elles deviendront des fonctions de t, qui sera maintenant la seule variable indépendante. Et lorsqu’on aura déterminé les expressions de u,v,w,p et p &nx, y, z, t, qui satisfont aux équations des numéros 402 et suivants , on trouvera les valeurs • de x, y, z en t, en intégrant les équations différentielles précédentes, dont on déduit

: = .rv-f J" udt ,y=ya- J- j*«&, z = z„-j- j" wdt

pour l’expression des coordonnées qui appartiennent, à la fin du temps t, à la molécule du fluide, dont les coordonnées initiales sont x„, yQ , zo.

L’élimination de t entre les trois équations (8) donnera d’ailleurs deux équations distinctes entre les variables x, y, z ; elles appartiendront à la courbe décrite par la molécule dont les coordonnées étaient x0, y0, z quand on a commencé à compter le temps. On voit

donc que toutes les courbes décrites par les molécules du fluide seront exprimées par deux équations qui ne pourront dillérer d’une molécule à une autre que par les valeurs des constantes x0 , y0, z0 représentant les coordonnées du premier point de chaque courbe- Il n’est pas inutile d’ajouter que si l’on considère une molécule qui se trouvait sur la surface du fluide à l'instant où l’on commence à compter le temps, cette molécule devant, d’après le n° 405, se mouvoir constamment dans le sens de la surface , il est nécessaire que les équations dont il s’agit , qui expriment le système des courbes décrites par les molécules, soient telles qu’en prenant dans ces équations, pour les constantes 20, les coordonnées

d’un point quelconque de la surface à l’origine du mouvement , les équations particulières qui en résulteront s’accordent avec les équations (5) ou (6) des n0‘ 405 et 406, s’il s’agit d’une partie de la surface appuyée contre une . paroi solide ; ou avec l’équation (7) du n° 407, s’il s’agit de la surface libre d’un fluide incompressible.

Cas où la fonction udxfvdyfwdz est une différentielle complète d’une fonction de x, y, z.

409. Si l’on admet que la fonction udx-\-vdy-\-wdx est la différentielle complète, prise par rapport à x, y et 2, d’une certaine fonction y de ces trois variables ( qui doit aussi en général contenir le temps t), on aura

do do do

U=di' V~dy’ W~7h'

dy—udx-\-vdy-\-yvdz ,

en représentant par d<t la différentielle de la fonction ?

prise en faisant varier seulement x,y, z. Mais, en ajoutant les trois équations du n° 402 , après les avoir multipliées respectivement par dx , dy, dz, on trouvera

i±dx p dx

, t dp

+ - -f dy

P dy , 1 dp + p dz dZ

w—dx ) dz

du du du

jLdx — dx — u — dx — v —r- dx

dt dx dy

, dv d\> dv dt>

= dy-Ud-Xdy-Vdydy-W-dzdy

Zdz—~dz dt

dw dw , dw , .

u —dz — v——dz — w-r-dz i dx dy dz

équation qui peut secriré dp

ou bien

-dd4-

=)Ldx^\-Ydy-\-dz

, dy dy dy dy d'y

dx dx dy ’ dy dz ' dz ’

^ =YLdx+Ydy+7.dz

en comprenant toujours que les différentielles marquées par le signe d sont prises en faisant varier z seules.

410. L’équation précédente peut être immédiatement intégrée, lorsque la relation dep et p est connue. Ainsi, pour un fluide incompressible et homogène, la densité p étant constante, les équations (1) et (3) sont remplacées par les suivantes :

^ =const. -f- | Ç&.dx-\-Ydy-\-Zdz]

dy ^ [Y ^?\2 1 / dy \*

Elles suffiront, l’état initial étant connu, pour déterminer le mouvement du fluide, lorsque ce fluide aura une étendue indéfinie dans tous les sens. Quand on aura déter^ miné au moyen de ces équations les expressions des fonctions y et p en x, y, z et t, on aura les vitesses des molécules du fluide au moyen des équations

Si l’étendue du fluide est limitée, la fonction y devra satisfaire , pour les valeurs particulières de x, y, z qui appartiendront à la surface, aux équations déterminées (5), (6) et <7); en sorte que l’on devra avoir pour tous les points d’une paroi solide fixe,

ffü ^ + — ^=0, {b)

dx dx dy dy dz dz

pour tous les points d’une paroi solide mobile

rfF dF dy dF dy dF dy

de dx dx dy dy dz dz '

F=0 étant l'équation de la surface de cette paroi ; et

enfin

dp dp dy dp^ d? dp d?

Ht dx dx dy dy ‘ dz dz

pour les points de la surface libre soumise à une pression normale uniforme et constante.

411. Dans le cas d’un fluide élastique , la température étant supposée uniforme et constante, (hypothèse qui ne s’accorde point avec 1 état naturel de ces fluides, lorsque le mouvement donne lieu à des changements sensibles dans la densité des parties), on a p—kp , en

désignant par k un coefficient constant. Les équations indéfinies exprimant les conditions du mouvement du fluide sont donc

> dp d / dv\ d / dv\ d / do\

IrVdA* z(ræ)=o.

et si le fluide est contenu dans une paroi solide, la fonction ÿ devra satisfaire, pour les valeurs a?, y, z appartenant à cette paroi, aux équations déterminées ( b ) ou (c) du numéro précédent.

412. Les équations précédentes paraissant plus faciles à traiter que celles qui ont été données dans les n0' 402 et suivants, il importait de distinguer les cas particuliers où le mouvement du fluide est tel, que l’on peut supposer d’avance les vitesses u, v, w respectivement données par les coefficients différentiels partiels relatifs a x, y, z d’une fonction ç de x, y, z et t. Lagrange a montré que la proposition énoncée subsistait à toutes les époques du mouvement si elle avait lieu dans un seul instant, pourvu toutefois que la fonction 'üdx-\-Ydy-\-rLdz fut elle-même une différentielle complète de x, y, z. Il en résulte que cette proposition peut toujours être admise lorsque , dans l’état initial, les molécules du fluide n’ont aucune vitesse. On reconnaît également que les équations des n®’ 410 et 411 peuvent être employées dans tous les cas où les mouvements du fluide consistent dans des oscillations ou vibrations, et où l’on suppose les vitesses et les déplacements des molécules assez petits pour qu’il soit permis d’en négliger les puissances supérieures et les produits.