HYPOTHÈSE DU PARALLÉLISME DES TRANCHES

413. Considérons une portion de fluide sollicitée par la gravité, et contenue dans un tuyau de figure quelconque, mais dont les dimensions transversales sont supposées extrêmement petites. En appliquant au mouvement de ce fluide les résultats exposés dans l’article précédent, dont nous conservons les dénominations, on voit, en premier lieu, que les ordonnées z étant supposées verticales et comptées de haut en bas , on a ici X=0, Y=0, Z =g. Ainsi, la fonction Xdx+Ydy +7;dz, dans l’équation du n° 409 , se réduit à gdz- En second lieu , la grosseur du tuyau étant supposée très-petite, on peut négliger les vitesses des molécules du fluide , dans le sens perpendiculaire à l’axe du tuyau, par rapport aux vitesses des mêmes molécules dans le sens de cet axe , et regarder toutes les molécules appartenant à une section quelconque faite perpendiculairement à l'axe du tuyau , comme ayant le même mouvement que celle de ces molécules qui est placée dans l’axe même. Soit d’ailleurs m une section transversale quelconque du tuyau j désignonspar x, y, z les coordonnées du point de l’axe où cette section est placée , et par s la longueur de l’axe comptée jusqu’à ce point d’une origine fixe quelconque :

la vitesse de la molécule placée dans l’axe étant — ,

di

et la fonction d<f=udx+vdy+\vdz se réduisant à — ds,

di

on attribuera donc la même valeur à cette fonction pour toutes les molécules placées dans la section m. Nous écri-

ds

rons , pour abréger , u à la place de — , en sorte que u

~ . dt . /J»

désignera maintenant la vitesse du fluide dans le sens de l’axe du tüyau , et que nous aurons d<? = uds : Ainsi , 1 équation du n° 409, qui, étant appliquée aux molécules placées dans l’axe du tuyau , devient

dp , du , 1 „

— — gdz — — ds — d.u1,.

p dt 2. ’

sera regardée comme subsistant pour toutes lçs molécules placées dans une section quelconque faite perpendiculairement à, cet axe. Les différentielles àz, dp, d,u’ sont prises en faisant varier s seule.

' 414. A l’égard de l’équation qui exprimera la continuité du fluide, il convient de revenir au principe employé dans le n° 403. Soit donc « l’aire très-petite de la section faite dans le tuyau au point m , et consisidérons l’élément du tuyau placé à la suite de cette section dont, l’épaisseur est ds. La masse du fluide contenu dans cet élément à la fin du temps t est Pvds^

et à la fin du temps t-\-df . elle est dt^uds. Mais,

d'après les hypothèses admises ci-dessus , il est entré

dans cet élément , pendant le temps dt , par une de ses faces , la masse de fluide exprimée par p uudt , et il en èst sorti par' la face opposée, une masse exprimée par

^ ds ^ dt. ïïonc'on a pour l’équation dé continuité cherchée , la relation

dj> d.n&m

415. Les suppositions d’après lesquelles on a obtenu l’équation (A) du n” 413, reviennent à considérer le fluide comme étant partagé en tranches infiniment minces par des plans perpendiculaires à l’axe du tuyau, en admettant que les molécules contenues dans chaque tranche ont une vitesse commune dans le sens de cet axe. Concevons en effet un tel système, et proposonsnous de trouver directement les conditions du mouvement d’une tranche quelconque. La masse de la tranche m est p.uds ; 'son poids est pg-uds, produisant dans le

** dz

sens de l’axe du tuyau un effort ;.g.u>ds. — ou çg.vdz.

De plus, la face supérieure de la tranche supporte la pression po> , tandis que la face inférieure supporte en sens contraire la pression (p-\-dp) ; et comme la

pression pu sur la face supérieure est détruite d’après la propriété exposée dans les n°* 361 et suivants, par la partie />.(« de la pression exercée sur la surface

inférieure de la tranche , cette tranche est seulement soHicitéeen sens contraire de son mouvement, en vertu de la différence des pressions exercées sur ses deux faces, par l’effort dp.a>. L’équation du mouvement de la tranche est donc • V . .,

• , / du du ds\ ■ ■ . •

. • ds dt ) •* * "

ce qui revient à l’équation (A), en divisant par pu, et

, . .. ds - ’

faisant attention que —=u.

Quoique les. suppositions dont il s’agit, qui sont connues sous le nom à’ hypothèse du parallèlisme des

tranches, ue conviennent véritablement qu’au cas où le fluide coule dans un tuyau dont la section est trèspetite, et ne change pas brusquement de grandeur, on les a néanmoins appliquées à des cas plus étendus. Mais les résultats auxquels elles conduisent ne peuvent être regardés comme étant généralement conformes aux ellorts naturels, et ne doivent pas être admis sans restriction. - ' *

Mouvement d’un fluide incompressible et pesant, dans . un tuyau dont les sections transversales sont très-, petites.

4-16. Considérons , comme dans le n° 413, une por- . tion dé fluide AR(fîg. 42) sollicitée par la gravité, et coulant dans un tuyau. En supposant le fluide incompressible , la densité & sera constante , et l’équation (B) du n» 414 , se réduira à

(l.vu

ce qui indique qu’à un instant quelconque la vitesse du fluide est, dans toute l’étendue du tuyau, en raison inverse de l’aire de la section. On en conclut qu’il suflit de déterminer la valeur de la vitesse dans une section donnée pour connaître le mouvement du fluide. Soit donc U la valeur de là vitesse qui aurait lieu à la fin du temps t dans la section dont l’aire serait fl, on aura par l’équation précédente ,

d’où l’on tire

du

~dt

oi dt

Cès valeurs étant substituées dans l’équation (A) du n* 413 la changent en .

dp . rfU ds

du ds i yo’U'x

• p dt

et en intégrant par rapport h la variable 's , il vient

■ : du Cds P uJua

ps=const.-\-pgz pft -J --- —

417. Cela posé, il est nécessaire de distinguer divers cas. Le premier est celui où une portion de fluide coule dans ujn tuyau d’une longueur indéfinie, dont elle occupe successivement diverses parties. Nous désignerons à la ‘fin du temps t par

Ô, (y les aires des sections extrêmes A , B ;

z la différence de niveau des centres des sections A et m ;

ç la diflérencc de niveau des centres ides sections A et B ; • . ' . ...

S, S' les longueurs de l’axe du tuyau comptées d’une origine fixe jusqu’à la section supérieure A du fluide , et j usqua la section inférieure B ;

. Cds

fti la valeur de l’intégrale I , prise dans l’intervalle An* ; r 1

M la valeur de la même intégrale prise dans l’intervalle AB - ' * • ' . •

P, P’ les pressions (que l’on supposera constantes par rapport au temps) , exercées extérieurement sur les sections extrêmes A et B.

L’équation (D) du numéro précédent donnera pour la- sectioü supérieure A ,

cl par conséquent l’on aura pour une section quelconque

dU UVnJ

„ . dU U yti n*\

r=r+ts*-t'™ s - -a(ÿ-v)'

En appliquant cette dernière équation à la section inférieure B , il viendra - •

, ’ * dJH •-,,«< «*

• En remarquant d’ailleurs que la vitesse à la section

. • i} -, . - , jyït , nfo*’ \ • » * ^

supérieure A est exprimée par — , on a, d’après l’é-

. • dS nU

quation (C),-j- = — , ou • . clt U

■ 0dS=nUdj.

Pans les équations (F) et (G) , les quantités O, O1,

£ et M sontdonnées en fonction de S, lorsqu’on Connaît lafiguredu tuyau et le volume du fluide. Ces équations détermineront donc en fonction de t les variables S et U, ce qui fera connaître le mouvement du fluide. En

éliminant ^ , entre les équations (E) et (F) , on a ■at

„ „ ™ , m pU’rn’ ft’ /n? n‘\»» i

P—l+!‘Sz—(V—p ^0 — xL «’ — Ô’ -\<ÿ’ — O’ j ’ ■ • (l

pour la valeur de la pression dans la section quelconque rn du tuyau: ' * . * .

4.18. Le second cas est celui où le fluide s’écoulerait par l’extrémité inférieure du tuyau , S laquelle la sec- • tion extrême B se trouverait placée , tandis que la section supérieure A s’abaisserait progressivement. Les équations (F), (G), (H) -du numéro précédent, conviennent à ce cas , et serviront à déterminer le mouvement

i: wi

i D[gitïzecl t>y GooglB

du fluide et la pression , en y regardant O' et l’intégrale M comme constantes.

419. Dans le troisième cas , qui est l’inverse du précédent , on admet que le fluide est renouvelé à l’extrémité supérieure du tuyau , où la section A est constamment placée, tandis que la section B s’abaisse progressivement. Ce renouvellement du fluide est supposé s’opérer par l’addition de nouvelles tranches ayant les . mêmes vitesses que celles quelles remplacent. L’aire O de la section supérieure doit alors être regardée comme constante dans les équations du n° 417, aussi bien.que

■S. On remplacera l’cquation {G) parla suivante

, 0'dS'=nU<fc ,

et on exprimera dans l’équation (F) les quantités O', ç. 'et M en fonction de S' d’après la figure du tuyau. L’équation (F) réunie à la précédente donnera S' et U en fonction d et.' .- . . ..

420. Enfin le dernier cas est celui où l’oq suppose que le tuyau est constamment rempli far le fluide, qui s’écoule par l’extrémité inférieure , en même temps qu’il est renouvelé par l’extrémité supérieure. L’équation (F) du n° 417 , convient également à cette hypothèse en y regardant les quantités O, O'. S et M comme des constantes; et la vitesse U étant la seule quantité à déterminer, il n’y a plus lieu à considérer l’équation (G). Si, pour plus de simplicité , on prend pour la section a à laquelle se rapporte la vitesse U., la section qui forme l’extrémité inférieure du tuyau, l’équation (F) deviendra

P.-fr-B*

el 1 équation (H) donnera pour la valeur de la pression dans une section quelconque

« , tv i -pUTn’ n1 / n’y/in

p— +?gz — ôi-^ o*

L’équation (I) étant résolue par rapport à dt donne

pMn dU

dlz=.

Posons , pour Abréger

P-F+tft nous aurons

pMii

dt— •

du

<1 où , en intégrant et déterminant la constante de manière que l’on ait en même temps t=0 et U=0, f 7 ,1+f’U

En résolvant cette équation par rapport à U , nous obtenons

t ey — \

S nf.

pour l’expression de la vitesse qui a lieu dans la sectiou inférieure du tuyau à la fin du temps t. La valeur de la pression dans une tranche quelconque , sera ensuite donnée par la formule (K).

On doit remarquer d’ailleurs que lu valeur donoée par l’expression (L) après un certain temps (ordinairement très-court et presque insensible) ne différera pas d'une quantité appréciable de la valeur constante

qui répond à la supposition de. t infiniment grand, et qui serait donnée immédiatement par l’équation (l), si dU

l’on y faisait ^-,=0. En adoptant cette dernière valeur

de U, l’expression (K) de la pression prendra la forme plus simple

p—'P+fgz —

laquelle se déduit aussi de l’expression (E) -, en y faisant

On conclut de ces derniers résultats , que le tuyau étant entretenu constamment plein , le mouvement du fluide peut, après quelques instants, être regardé comme uniforme , la vitesse à la section inférieure étant représentée par la formule (M) , et la pression dans une section quelconque par la formule (N). Ainsi, dans ce cas, la vitesse la section inférieure. ne dépend, pas de la figure du tuyau, mais seulement du rapport des sections extrêmes.

Oh ne doit point oublier que les résultats dont H s’agit sont fondés Sur la forme de l’intégrale (L), en sorte

qu’ils supposent que le facteur 1 — 1 est positif, ou

que la section inférieure du tuyau est plus petite que la section supérieure. Si cette condition n’avait pas lieu, la vitesse du fluide tendrait à augmenter indéfiniment.'

Efforts supportés par le tuyau pendant le mouvement . du fluide.

42f. Supposons comme dans le n” U6, qu’une portion de fluide incompressible AB (fig. 42), sollicitée par la gravité, couledans ud tuyau d’une longueur indéfinie, et proposons-nous de connaître les elïorts que le fluide exerce contre le tuyau , c’est-à-dire les forces qu’il faut employer pour maintenir ce tuyau dans sa position. Cette question se résoudra de la manière la plus simple en observant que le fluide en mouvement et. la paroi solide cl fixe du tuyau forment un système qui peut être supposé libre dans l’espace , si l’on remplace les obstacles qui maintiennent le tuyau par des forces égales et opposées aux efforts que ces obstacles supportaient. Soient E, F, Gles résultantes partielles des efforts dont il s’agit, dirigées dans le sens des x , des y et des z. Le système est donc sollicité (en négligeant le poids du tuyau), par des forcés' égales et contraires aux eflorts E, F, G, et par l’action de la gravité 6ur le fluide. Et comme les mouvements des parties du système, qui sé réduisent ici aux mouvements des parties du fluide , doivent toujours être tels qu’il y ait équilibre entre les forces qui produiraient ces mouvements et les forces appliquées au système prises en sens contraires, on voit que l’expression de cette condition déterminera les valeurs des eflorts E,‘F, G, lorsque le mouvement du fluide sera Connu. ' . v v

Conservons les dénominations des no* 413 et suivants. La tranche quelconque placée en m se meut , à la fin du temps t, dans le sens de l’axe du tuyau avec la quantité de mouvement puds.u, dont les composantes dans lesens des a;, des y et des % sont respectivement .

, dx - dy ? oduls.U •

^ds-u%

ds ’ ds

Ainsi la condition d’équilibre énoncée ci-dessus donne les équations

; • G=“°./ uds-i(uÿ+M f"'ds ’ ’

les intégrales désignées par f étant prises entre les sections extrêmes A et E du fluide. Mais ou a

d / dx\/du du ds\dx d ( dx\ ds dl\ ds J \dt + ds dt) ds +U ds J .de ’

ds

ou , parce que — :

, * ut • .

d f dx\ du dx d / dx\

«fr \ ds J dt ds + dsy ds )’

et par l’équation fC) du n° 416 ,

nü

U dV

11 vient donc, en substituant ces valeurs,

du d~t :

djf dx\ riidU dx *?U" d t\ dx\ dt\ ds ) m dt ds u, dsstt) ds /

On trouvera de même >

A( f(r\ jy rfü1 d/i dy\

, di\ ds / Qi dt ds O» ds\ w ds /'

d / dz \ a dt J dz u’IP d/i dz\

dt\ ds ) O) dl ds oi ds \ <w ds)

Ainsi les expressions précédentes reviennent à ou bien à «

• ■ r- . du 1 dx .

• E= COHSt. — pii — - X — sü D . ,

. i ' . . • . . ,dt o), ds

- ' rfU t

F= const. — pQ — y — sifU*. - , .

• dt O» ds ,

* G—conit. — iti — — z— tûü’U*. ~'-r+zg f "ds ,

♦ * . ‘ ■ «/ fr# «5 'J

en déterminant les constantes de manière que cçs ex-, pressions soient nulles pour les valeurs qui conviennent à la sectiou supérieure A du fluide, et donnant ensuite aux variables les valeurs qui conviennent à la section intérieure B: ■

.Si l'on représente comme ci-dessus par O, O*, les aires des sections A et B; par l, p, v et V, p', /.les angles que l’axe du tuyau forme respectivement au point A et au point B avec les axes des x, des y et des z ; par n et ç les distances des points A et B de l’axe mesurées parallèlement aux x, aux y et aux z; et enfin par n le

poids (lu fluide contenu dans le tuyau, on aura défini

ti veinent , . , • . •’

« • dll ... / cos.V eos.XX

• dU . /cos.>' . cos.'jX , .

pour lès expressions des forces cherchées. Ces formules' remarquables montrent que les efforts exercés sur le tuyau dans une direction quelconque dépendent seulement de la situation respective des extrémités de la colonne de fluide, de la direction' du tuyau et de l’amplitude de la section transversale à ces mêmes extrémi- . tés, et enfin de la vitesse du fluide. Elles sont indépendantes de la figure du tuyau entre les points extrêmes dont il s’agit. * . ' . .

422- Les formules précédentes s’appliqueront facilement aux divers cas d’écoulement qui ont été considérés dans les u°* 417 et suivants. En général, }es efforts supportés par le tüyau varient avec le temps- Mais dans Je cas du n° 420 , c’est-à-dire quand il s’agit d’un tuyau entretenu constamment plein , où l’op peut regarder ( abstraction faite des premiers instants du mouvement) ta vitesse comme coustante ,■ ces formules deviendront, en écrivant a au lieu de O', .

K— ooaI J* i

( cos.X’

y cos.V

• Jj— U 1

(cos, p