COS.Ï

Dans ces dernières équations, .

Mouvement d'un fluide incompressible et pesant dans un vase de figure quelconque.

V23. La connaissance exacte du mouvement d’un flnide pesant dans un vase exigerait l’empioi des équation* différentielles qui ont été données dans l’article XXVIII. On peut néanmoins-, dans plusieurs cas, déduire des notions présentées dans les n°‘ VI 6 et suivants des résultats qui S’accordent avec les effets naturels , et dont la connaissance est très-utile.

Les cas qu’il importe de considérer pour les applications , sont : 1° celui ou un vasç qui avait été rempli de fluide se vide par un orifice inférieur, comme on l’avait supposé dans le n° V18 , et 2" celui où un vase est entretenu constamment plein., le fluide qui s’écoule par l’orifice étant continuellement remplacé à la surface supérieure , comme on l’avait supposé n* V20. La principale question que l’on se propose , consiste à déterminer là quantité de fluide qui sera débitée par l’orifice dans un temps donné , et cette question dépend eUetméme de la détermination de la vitesse du fluide il cet orifice.

Considérons un vase de figure quelconque dont lé fluide s’écoule par l’orifice NN (fig. V3). Admettons que cet orifice soit évasé, c’est-à-dire que la paroi supérieure ait près dé l’orifice une figure telle que l’on puisse attribuer à'-tous les filets du fluidequi traversent. le plan NN

(les directions perpendiculaires a ce plan. Soit MM la surface supérieure du fluide contenu dans le vase à la tin du temps t. L’observation apprend que cette surface diffère très-peu d’un plan horizontal , surtout quand l’orifice NN est sensiblement moindre que l’aire de la surface dont il s’agit, et quand elle n’est pas très-voisine de cet orifice. Cela posé , considérant un élément quelconque infiniment petit de l’aire de l'orifice,placé en B qj. le filet de fluide qui traverse cet, élément, on peut toujours concevoir ce filet prolongé en A jusqu’à la surface supérieure du fluide, en lui donnant une figure telle qu’il contienne toutes les molécules qui, par le progrès du mouvement, doivent traverser le plan de l’orifice en B. Or, si la figure de tous les filets AB était connue, on pourrait appliquer à chacun d’eux les résultats présentés dans les n05 416 et 417, en sorte que l’on connaîtrait la valeur de la vitesse du fluide à la fin du temps t pour un élément quelconque de l’aire de l’orifice, et, par conséquent , la quantité de fluide écoulé dans un temps donné.. On doit remarquer, d’ailleurs , que la connaissance de la figure des filets de fluide AB, est ici absolument nécessaire pour la détermination du mouvement du fluide, puisque la formule (F) du

n" 4l6 , dont on dqit faire usage, contient l’iqtégrale

C** ds ' ^ ' •

M— J ' — dont la valeur dépend de cette figure. Et il

en résulte qu’en général le mouvement du fluide, dans . un vase qui se vide par un orificè inférieur, ne peut être connu aveç l’exactitude nécessaire.

424. Mais si la surface supérieure du fluide dans le vase est maintenue constamment au niveau MM, les

parties du fluide qui s’abaissent étant continuellement remplacées par d’autres qui affluent avec des vitesses égalés aux vitesses des premières,- on devra appliquer aux divers filets AB les résultats présentés dans le n° lr20- ' Aiqsi, après un temps très-court , le mouvement du fluide dans toutes les parties demeurera constant ; et , en supposant que les pressions extérieures supportées par les sections MM et NN soient égales entre elles , la vitesse du fluide au point B de l’orifice sera d’après la formule (M) , • ;iÿ,

Ç représentant la distance verticale du point B à la surface supérieure MM du fluide, ou la charge du fluide

sur le point B ; et — étant le rapport entre les aires des *

sections extrêmes B et A du filet AB, rapport qui ne peut différer sensiblement de celui des aires des sections NN • et MM du vase. Ainsi , dans le cas d’un écoulèmeht constant dans un vase entretenu plein , on peut évaluer, ayec une exactitude suffisante , la vitesse du fluide dans ■ les différents points du. plan de 1 orifice, et déterminer, eq conséquence, le volume du fluide débité dans l’unité de temps. ,

425. Quant aux pressions qui ont lieu dans les diverses parties du vase , on, voit , par la formule (N) du n" 420 , que là détermination de la pression dans un temps donné exige la connaissance de la section w du

liljet AB qui passerait par ce point: La figure de ces

filets demeurant inconnue, la pression ne peut dont être déterminée exactement : on ne peut que l’évaluer approximativement «l’une manière fort imparfaité en général,, en appliquant au vase que Ton considère la formule (N), qui ne convient réellement qu’à un tuyau dont la grosseur, est très-petite.

Il faut bien remarquer, d’ailleurs, que-cette formule ne s’applique véritablement qu’à un filet de fluide d’une section très-petite coûîarit .dans un- tuyau solide. Si l’on voulait considérer un ensemble de filets de fluide, comme les actions se transmettent alors d’un filet à un autre , il faudrait prendre en considération la force centrifuge des molécules qui augmente nécessairement d’une manière sensible la pression. L'effet de cette force n’altère pas le mouvement du fluide dans chaque filet , parce qu’elle est toujours perpendiculaire & la direction •de l’axe du filet; mais elle augmente la jpresSion dans la

• 'partie du vase vers laquelle les filets de fluide tournent

leur convexité. Ainsi, les résultats relatifs ^u mouvement du fluide, déduits de la considération dû mouve-

ment dans chaque filet pris à part , peuvent être admis, mais il n’en est pas de même des résultats relatifs' à la • pression. . !

^26. A l’égard des efforts supportés par le vase pendant le mouvement du fluide , on peut appliquer ici les expressions du n" k 22. Les angles désignés par X et u sont droits pour tous les' filets , et l’angle ••> est nul. De plus, l’angle désigné par V sera droit, si l’on suppose le plan des yz. perpendiculaire au plan.NN de l’orifice, . et- l'effort désigné par E sera nul. .On- aura donc sim-

plement pour les efforts horizontal et vertical exercés sur le vase

F= — palPcos.fi' ,

expressions qui se réduisent à

F=— pal]*,

lorsque le plan de l'orifice est vertical ; et dans lesquelles on prendra, pour les quantités O et n, les aires des sections MM et NN , et pour U*, la moyenne des carrés des vitesses des filets de fluide qui traversent le plan NN , ces vitesses étant évaluées conformément à ce qui a été dit n° 424.

Gomme l’effet de la force centrifuge est pris en considération dans les expressions dont il s’agit , elles s’appliquent à un ensemble de filets de fluide, aussi bien qù’à chaque filet considéré à part.

Cas oit l’orifice par lequel le fluide s’écoule est très-petit.

427. Si l’orifice est très-petit par rapport à toutes les sections transversales du vase, oh peut admettre que, dans les filets de fluide AB dont il est question dans le n° 423, la section à l'extrémité B est aussi tfès-pétite par rapport à toutes les autres sections. Considérons, comme dans le n° 418 , le cas d’un tuyau qui se vide par l’extrémité inférieure. Nous devons employer, à la détermination du mouvement du fluide, l’équation (F)

(lu u° 417, et comme 1» section inférieure O' est constante, on peut, pour plus de simplicité, écrire a au lieu de O', et alors U désignera la vitesse de la Section dont il s’agit. Mais, si l’on regarde a comme très-petite par rapport à toutes les autres sections du tuyau , le

terme pMa de l’équation (F) pourra être négligé ,

et , à plus forte raison , le terme ~ . Cette équation

donnera donc

u=V'2e(lT'+l:); ’ :

en sorte que la vitesse, h l’extrémité du tuyau par laquelle le fluide s’écoule , ne dépend que des pressions extérieures et de la différence de niveau des deux extrémités de la colonne de fluide. Au moyen de cette expression de U, l’équation (G) du n° 417 donnera immédiatement une relation éntre S et t, et, par conséquent, la loi du mouvement de l’extrémité supérieure de la colonne de fluide. Quant à la valeur de la pression , l’équation (E) du même numéro se réduit ici à

d’où l’on conclut que la pression ne diffère pas de celle qui aurait lieu si le fluide n’avait aucun mouvement.

En appliquant maintenant , d’après les notions présentées n° 423 , ces résultats aux cas où le fluide s’écoulerait hors d’un vase d’une figure quelconque par un orifice très-petit, on voit que les termes dont la détermination exigeait la connaissance de la figure des filets du fluide ayant disparu à raison de la petitesse

supposée «le l’orifice d’écoulement , les expressions précédentes de la vitesse à l’orifice et de la pression dans l’intérieur du vase pourront être employées. Ainsi , l’on doit admettre que lorsqu’un -fluide incompressible s’écoule hors d’un vase par un orifice très-petit, la pression extérieure étant supposée la même à la surface supérieure du fluide et à l’orifice, 1° la vitesse à ï’orifice est constamment due à la Hauteur variable de la surface supérieure du fluide sur le centre de cet orifice ; 2° la pression .dans l’intérieur du vase est la même qui aurait lieu si le fluide ne se mouvait pas.

Les résultats précédents s’appliquent à plus forte raison au cas d’un vase entretenu constamment plein. La quantité désignée par j3 dans le n* 420 étant trèsgrande, la vitesse U acquiert presque instantanément la valeur constante. (M ) du même, numéro , laquelle se réduit à

ou .à * .

' - Uil/^ç,

dans Iç cas où les pressions extérieures sur les tranches extrêmes sont égales entre elles. : .

Les expressions du if 426 donnent exactement les eflorts supportés par le» vase, en prenant pour â l’aire de l’orifice. • . . -

L’expressiou F=— ptiU’ de l’effort horizontal auquel donne lieu l’émission du fluide par un orifice dont Je plan est vertical revenant à F= — pga. 2ç, lorsqu’on remplace U par la valeur précédente |/2 gK, on voit que le

vase est repoussé en sens contraire du mouvement du fluide par un cSort égal au poids d’une colonne de fluide ayant pour base l’orifice et pour hauteur le double de la charge qui a lieu sur le centre de cet orifice. Ce résultat donne l’explication de divers phénomènes remarquables.

# Cas où l orifice n’est point évasé. — Contraction de la veine fluide.

428. On a indiqué dans le n* 423 ce que l’on entendait par un orifice évasé. Les résultats présentés dans ce numéro et les suivants, ne conviennent qu’aux cas où le fluide s’écoule par un orifice de cette espèce. Ils donneront alors les moyens de. calculer le volume de fluide écoulé dans un temps donné, puisqu'ils ibnt connaître la vitesse du fluide dans les dijlérentes parties du plan de l’orifice, et que les filets rencontrant ce plan à angles droits , le volume qui s’écoule dans l’unité de temps est le produit de Faire de chaque partie de l’orifice par la vitesse correspondante. Les calculs faits conformément à ces principes s’accordent avec les observations. Il faut seulement excepter les cas où les dimensions transversales du vase sont fort petites par rapport à sa longuéur, cotome dans les tuyaux servant à conduire l’eau, parce que les effets des forces d'adhérence qui existent entre les parties du fluide et-' des parois deviennent alors très-sensibles , et ne peuvent être négligés sans qu’il en résulte de grandes erreurs.

Quand un orifice n’est pas évasé, la seule différence de ce cas au précédent consiste en ce que les . filets de

fluide ne tr^fersent plus tous le plan de l'orifice, suivant des directions perpendiculaires à ce plan. Cette circonstance n’empêche pas que. les vitesses des molécule» / h l'instant ou elles, traversent le plan de l’orifice, n’aient les valeurs qui seraient; déterminées par lés règles exposées ci-dessus ; mais elle s’oppose à. Ce quç l’on puisse déduire de la seule conna issancede- ces vitesses l'évaluation du volume de fluide qui s’écoule dans un temps -donné. En effet, ]a dépense dé chaque filet doit s’estimer par le produit -de la vitesse multipliée par' l’aire de la partie correspondante.de l’orifice projetée sur un plan perpendiculaire à là direction du filet, directiqn qile la théorie précédente ne détermine pas

Cette obliquité dans» la direction d’une partie des filets, et particulièrement de «ceux qui sont le plus voisins du- contour de l’orifice , -produit ce qu’on appelle lu Contraction do la veine fluide. Lorsqu’un fluide jaillit hors d’un orifice évasé , la veine présente , au sortir de l’orifice, la figure d’un cylindre ou d’un prisme droit, dont la base est l’orifice même., et dont l’axe est perpendiculaire au plan de cet orifice. Mais si l’évasement n’a pas lieu ;^i , par exemple l’orifice NN (fig. kk) consiste simplemen t dans une ouverture fai le dans une paroi plane et mince, la veine se contracte au sortir de cet orifice avant de prendre une figure cylindrique ou prismatique, et sa séction nn est alors très-sensiblement moindre que l’aire-NN de l’orifice. On conçoit d’ailleurs que les filets pouvant être regardés comme traversant la section contractée nn avec des directions perpendiculaires ôu plan de cette section , on peut considérer la partie NnnN

comme un prolongement du vase et appliquera la section nn les résultats présentés ci-dessus et qui conviennent à un orifice évasé. Mais cette remarque ne mettrait pas encore à même d’évaluer la quantité de fluide écoulé dans un temps donné, parce que l’on ne peut assigner d’avance le rapport des sections NN et nn. On peut seulement affirmer que ce rapport est toujours compris entre les nombres i-et 2.

On voit par. ce qui précède que les notions exposées dans cet article ne peuvent faire connaître avec certitude l’écoulement du fluide hors d’un vase que si l’orifice est évasé. Dans tout autre cas il est nécessaire de recourir à des règles déduites d’observations spéciales. L’expérience a appris que dans le cas d’un orifice ouvert dans une paroi plane et mince* le rapport de la section nn à la section NN difière peu de 0,62. Ce résultat subsiste lors même que l’on fait varier dans des limites assez étendues , la figure de , l’orifice et ses dimensions absolues. 11 en résulte que l’on peut alors , si l’orifice est fort petit par rapport aux sections du vase, estimer le volume de fluide écoulé dans Tunitéde temps, par la formule

il désignant 1 .aire de cet orifice et ? la charge de fluide ,j-ui a lieu sur son centre.

429. Le* résultats qui viennent d’être présentés ne peuvent êti'P appliqués que si la grandeur de la section dans l’intérieur du vase varie par degrés insensibles , et surtout s’il n’y a pas dans fce vase d’étranglement, c’est-à-dire de rétrécissement subit dans h section., ou

de changement brusque dans la direction du mouvement du fluide., Lorsqu’un vase présente des modifications de cette nature, la détermination dir mouvement du fluide devient plus difficile, et exige des considérations spéciales. *• .

Mouvement d'un fluide élastique dans un vase.

430. Les équations (A) et (B) du n° 413, expriment généralement les conditions du mouvement d’un fluide coulant dans un tuyau dont les dimensions transversales sont supposées "très-pètiteS. En supposant ce fluide élastique, et la température uniforme et constante, on posera p— ko , ce qui changera ces équations en

dp , du 1 , '• :

* — —gdz— -y- ds d. u

p' 0 dt • -2 ’

dp d.pttu dt ds

et l’on ne doit point oublier que les diflérentielles dp, dz et du dans Iq première^ sont prises éq faisant varier s seule. • •

431. Considérant seulement ici ,• pour plus de simplicité, le cas analogue à celui, du n° 420 , nous supposerons que le tuyau par lequel le fluide s’écoule, prend naissance dans pn réservoir ou gazomètre, où la pression est maintenue à la valeur constante P, et que la section extrême du même tuyau est placée dans un milieu où la pression est aussi maintenue à une valeur constante P' moindrè que P. Dans ce

cas , le mouvement du fluide parviendra presqu’instantanément à un état permanent , que les équations pré-

* dit ‘ J qfn

cédentes feront connaître en y faisant — =0 et = 0:

... . . <a or

ce qui les réduit à

. dp i , d \p*>u

■ k -4- —edz .d. u et — =

p ° 2 ds

• La première donne en intégrant

' • ~ k.lp — const.-\-gz — — u'. -

En désignant, comme dans les numéros précédents, par a l’aire delà dernière section du tuyau et par U la vitesse à cette section y on aura toujours pour la seconde équation pm =P'aU. Si dont bn désigne encore par O Faire de la première section du tuy*au , l’équation précédente donnant pour cette section

k.lP=const. — — ,

on voit que l'on a pour une section quelconque

1 V ~gZ 2 V/>‘w‘ F07 ’ .

et pour la section extrême

d’oü l’on déduit pour l’expression de la vitësse d’écoulement du fluide,

n=V T~ËT »

PV

La vitesse U étant déterminée, l'équation précédente fera connaître la valeur delà pression p qui a lieu dans section quelconque <J>. '

432. -Dans la plupart des cas qui pourront se présenter, le terme sera fort petit par rapport au terme

2k. I — et pourra être négligé. Si de plus on suppose

très-petit le rapport^ des sections extrêmes du tuyau , l’expression précédehte de U se réduira à

et l’équation qui donne la pression à ... «

'• P “ F’tf* ‘ ■ •

L’expression précédente de U peut être employée pour calculer le volume de fluide élastique qui s’écoule dans un temps donné, sous une pression constante P', par un orifice très-petit évasé. Si l’orifice n’était pas évasé, on devrait avoir égard aux remarques présentées n° 428, comme s’il s'agissait d’un fluide incompressible.