COS. H

et en

ized t

n désignant toujours Taire de Torificë NN et U la vitesse du fluide à cet orificé. Mais dans cette formule le

rapport des aires des sections de chaque filet en N

et en P demeure inconnu. On remarquera qu'il ne peut y avoir une grande erreur à supposer que la plupart des filets de fluide affectent des figures telles que la vitesse absolue des molécules ne Varie pas d’une manière sensible de N en P, et par conséquent que les sections transversales de ces filets ne varient pas non plus sensiblement. D’après cette hypothèse on fera ~ = 1 , et

Ton regardera l'effort supporté parie conoïde comme étant donné par l'expression *

(1017(1 — cos.»).

Si le conoïde recevait Iç choc de la veine sur sa concavité , on pourrai! appliquer les considérations précédentes en changeant le signe du cosinus de l’angle 4 . L’effort résultant du choc serait exprimé par

, pni?(i-f cos.ho. ; ’ •

Cette formule donnerait pour la valeur de cet effort

.... 2.poU* ou p#û.*ï,

( ç étant la hauteur due à la vitesse U), si la forme dû conoïdç était telle que les filets du fluide fussent réfléchis en sens contraire de la veine. Ces résultats sont à fort peu près conformes aux effets naturels , ainsi qu’on peut le conclure d’expériences spéciales dues à Morosi.

437. Nous admettrons enfin que Ton présente, au choc d’une veiné dont Taxe AB (fig. 47) est dirigé d’une manière quelconque, un plan PP dont la direction est égale-

ment arbitraire.. Nous supposons toujours ce plan assez grand pour que les filets de fluide, en le quittant en P, soient dirigés parallèlement à sa surface. $oit v l’angle que le plan PP forme avec l’axe'AB, a Pangle que la perpendiculaire à ce même plaq forme avec la verticale, il le poids du fluide contenu dans l’espace NNPP, F la force qui doit être appliquée perpendiculairement au plan , pour le maintenir dans sa position et résister au choc du fluide. On connaîtra la force F en remarquant que, dans le système formé du plan PP et du fluide contenu en NNPP, il doit toujours y avoir équilibre entre les quantités de mouvement acquises pendant l’intervalle de temps dt et les quantités de mouvement imprimées , par les forces qui agissent sur le système prises en sens contraire. Considérons ici les quantités de mouvement acquises et imprimées, en les décomposant perpendiculairement au plan PP. Pendant un instant dt il entre en NN dans le système la masse de fluide pfiU dt , dont la quantité de mouvement décomposée perpendiculairement au plan est pDUrft.Usin.>r. Pendant le même instant il sort en PP une masse de fluide, dont la quantité de mouvement dans le sens perpendiculaire au plan est nulle. Donc , ' la quantité de mouvement acquise dans ce sens est — piîUsin.v. D’autre part, la quantité de mouvement imprimée dans le même sens par l’actionde la gravité sur le fluide contenu en NNPP et par l’efiort F est ncos.a.zft — F dt. Le principe énoncé ci-dessus donnera donc l’équation

— ptfJefr.Usin.4 ricos.z.<*+F<* = 0,

d’où ,* * ’ * * V" •

■ F st rtcbs. x+pùlf »sin> . " •

jlized b

Si le plan est vertical , pn a simplement

• • • F=sriü’sin.'l'.

Il existe plusieurs expériences, dont quelques-unes sont dues au docteur Vince, qui s’accordent avec ce résultat.

De la résistance des fluides dans le cas d’un corps ' plongé dans un fluide indéfini.

438. Concevons un corps maintenu immobile, et placé dans un courant de fluide dont la direction est horizontale et dont la vitesse est uniforme. Il s’agit de connaître l’effort supporté par le corps dans la direction du courant par l’effet du choc .du fluide ; c’est-à-dire l’effort qui tend à déplacer le corps dans cette direction. La solution générale de cette question, qui exigerait la détermination complète des modifications que le mouvement du fluide subit à la rencontre, du corps, n’a pas été donnée ; on ne peut présenter sur ce sujet -que quelques aperçus, et indiquer divers résultats obtenus par des expériences spéciales- . " *

Imaginons que l’on ait enveloppé le corps par une surface cylindrique ayant ses arêtes parallèles à la direction du cqurant- La ligne de contact dè cette surface avec celle du corps partagëra cette dernière en deux parties. Nous appellerons face antérieure du corps là partie qui reçoit le choc du courant, et face postérieure la partie opposée, dont le courant s’éloigne. Pour connaître l’effort supporté par le corps dans la direction du courant , .il faudrait évidemment décomposer, dans. le sens de cette direction, les pressions supportées pqr toutes les parties de la face antérieure , et

prendre la somme de cès composantes; puis faire la même opération pour la face postérieure. Ces deux sommes , comme on l’a vu dans le n° 382 , sont toujours égales et directement opposées si le fluide n’a pas de mouvement. Mais il n’en est pas de même lorsque le fluide «e meut : la somme donnée par la face antérieure est alors plus grande que la somme donnée par la face postérieure , et l’excès de la première somme sur la seconde est l’effort supporté par le corps , ou la résistance qu’il oppose au mouvement du fluide. On voit donc que la question dont il s’agit se ramène à considérer la surface du corps comme une paroi solide contre laquelle s’appuie le fluide en mouvement , et à déterminer la pression exercée par le fluide contre les diverses parties de cette paroi. Mais cette détermination, comme on l’a déjà remarqué, exige la connaissance complète du mouvement du fluide, c'est-à-dire l’intégration des équations différentielles qui expriment les conditions de ce mouvement , intégration qui ne peut avoir lieu en général par les méthodes analytiques connues , et même en supposant au corps présenté au choc du fluide la 6gure la plus simple.

439. Si l’on veut, d’ailleurs, se former une idée de la nature de la résistance dont il s’agit , on peut faire les remarques suivantes.

Soit un corps de figurequelconqueprésentéauchocdu courant (fig. 48); PP étant la face antérieure, etQQla face postérieure. L’effet de la présence de ce corps est de modifier le mouvement du fluide , de telle manière que les filets qui devraient se mouvoir suivant des directions rectilignes et parallèles à AB, décrivent des courbes telles

que amb , dont la ligure dépend principalement de la figure du corps. Cette modification s’étend à une certaine distance de la surface de ce corps, au delà de laquelle le mouvement naturel du fluide n’est pas sensiblement altéré. On peut se représenter la figure formée par l’ensemble des filets de fluide dont la direction est ainsi changée. Les courbes amb décrites par les filets oflriront toujours deux parties; l’une am, dans laquelle ils tourneront leur convexité vers le corps, l’autre mb, dans laquelle ils présenteront au corps leur concavité. Dans la première partie, la vitesse croît de a à m; et, dans la seconde partie, elle décroît de m vers b. Si, d’ailleurs, on considère le filet nraicomme coulant de a en m dans une paroi solide, on déterminerait l’effort exercé sur celte paroi parallèlement à la direction AB du courant d’après les formules données n° 422. Tous ces efforts se transmettent d’un filet à l’autre, et sont supportés par la face antérieure PP du corps. C’est par cette raison que celte face supporte une pression plus grande qu elle ne le ferait si le fluide était sans mouvement. Quant à la partie mb des filets , l’effort que supporterait leur paroi se trouverait dirigé en sens opposé par rapport au corps. Les efforts provenant de la déviation des filets de fluide dans cette partie sont donc supportés par le fluide environnant, et la pression contre la force postérieure QQ est plus petite que la pression qui aurait lieu dans l’état de repos du fluide. Les notions que nous présentons ici sont conformes à toutes les indications qui ont été obtenues par des observations et des expériences directes.

En considérant , d’ailleurs , les expressions des quan-

tités E ou F du n* 422, on voit quelles, se composent de trois facteurs., savoir la densité p du fluide; le pro-

duit Un’; et la quantité cos.V ^ cosi qui dépend de la

direction du tuyau à ses extrémités et du rapport- des sections extrêmes. Or, les rapprochements auxquels donnent lieu les résultats des observations conduisent à penser : t'que si les ûgures des corps sont semblables, les dimensions absolues seules étant changées , l’ensemble des filets de fluide déviés de leur direction présente aussi des Ggures semblables, dans les différentes parties desquelles les vitesses des molécules conservent les mêmes rapports , en sorte que rien ne sera changé dans l'expression de l’eflort correspondant à chaque Glet , si ce n’est le facteur n qui aura augmenté comme le quarré des dimensions linéaires du corps ; 2° que le corps restant le même , la Ggure formée par les Glets de fluide , ainsi que les rapports des vitesses des molécules dans les diverses parties de ces Glets ne changent point lorsque la vitesse du courant varie , en sorte que les efforts demeurent toujours proportionnels au quarré de cette vitesse.

440. En admettant ces résultats , qui ne peuvent être fort éloignés de la vérité , on représentera en général l’effort exercé sur un corps exposé à l’action d’un courant de fluide par la formule

A.pûU*,

dans laquelle n désigne l’aire de la plus grande section transversale du corps , U la vitesse du courant , et k un coefficient constant pour tous les corps de Ggure sem-

blable, mais qui devra changer d’une figure à une autre, et dont la valeur ne peut être connue que par des expériences directes.

On peut aussi écrire , au lieu de l’expression précédente ,

nn.AH ,

en désignant par n le poids de l’unité de volume de fluide , et par H la hauteur due à la vitesse du courant. D’après cette dernière forme donnée à l’expression dont il s’agit, on se représente l’effort exercé contre le corps comme le poids d’une colonne de fluide dont la section transversale de ce corps est la base , et dont la hauteur est le multiple A de la hauteur H due à la vitesse du fluide. Ainsi , la recherche est ramenée à déterminer la valeur du coefficient k qui convient aux corps de diverses figures.

Les notions précédentes out été présentées en considérant un corps immobile exposé à un courant de fluide. Elles peuvent également convenir à un corps mû dans un fluide en repos , ou dans un couraDt de fluide dont la vitesse est différente de la sienne. Dans ce dernier cas, U désignerait la vitesse .relative dp corps et du fluide. On regarde généralement l’expression no.AH, et les mêmes valeurs du coefficient A, comme convenant également à ces divers cas.

i41. Les résultats que l’on vient d’exposer sont conformes à la nature du phénomène de la résistance des fluides considéré d’une manière générale. On doit néanmoins avoir égard à diverses considérations particulières d’après lesquelles ces résultats doivent dans quelques

cas être modifiés, et dont nous indiquerons les principales :

1° L’adhérence des molécules du fluide produit des eflets sensibles quand la vitesse du courant est petite et le corps très-petit ou très-allongé dans le sens du mouvement. Il faudrait alors , pour représenter les eflets naturels , ajouter à l'expression du n° 140 un terme proportionnel à la première puissance de la vitesse.

2“ Dans les fluides élastiques, la densité du fluide croissant avec la pression contre la face antérieure du corps , la résistance croit plus rapidement que le quarré de la vitesse. Cette modification ne devient sensible qu’autant que les vitesses sont très-grandes.

3° Quand un corps se meut dans l’eau fort près de la surface, et, à plus forte raison , quand il s’agit d’un corps flottant, le mouvement des filets de fluide est altéré d’une autre manière que -si le fluide est indéfini dans tous les sens. De plus, la surface du fluide subit une dénivellation par l'effet de laquelle les pressions dues au poids du fluide sur les diverses parties de la surface du corps sont changées II en résulte un accroissement dansla résistance, que l’on pourrait représenter par un terme proportionnel à la quatrième puissance de la vitesse. Ceci suppose, d’ailleurs, que le corps présente toujours la même surface au choc du fluide. L’expérience montre que , dans quelques cas , le corps prend, à mesure que la vitesse augmente, une position différente par rapport à la surface de l’eau, ce qui change la loi de la résistance.

W° On peut toujours concevoir une valeur de la vitesse