La section étant un rectangle (Fig. 2) dont a et
b sont la largeur et l’épaisseur, v’ =- ? et l'expression
«lu moment de rupture est
T'1 7 ~ n lT
78. La figure de la section étant formée de deux triangles égaux (Fig. 3 ), dont les côtés sont p et q , le moment de la résistance à la rupture est
On déduit de ce résultat, pour le moment de la résistance à la rupture d’un prisme à base quarrée ,
fléchi dans le sens des diagonales , R^- ; expression
moindre dans le rapport de 1 à que celle trouvée dans le numéro précédent!
79. La figure de la section transversale étant un cercle ( Fig. 4 ) dont r est le rayon, l’expression du moment de la résistance à la rupture est
R itr* u irr’
Les moments de rupture, pour le quarré et le cercle inscrit, sont entre eux dans le rapport de j à — le même qui a lieu pour le cas de la flexion.
UE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 49
8o. A l’égard d’un tuyau , r' et r' étant les. rayons des cylindres extérieurs et intérieurs, remarquant que le moment de rupture du vide intérieur supposé plein , est
on a pour le moment cherché
t> ir(r“— r"*)
A sections transversales égales, un cylindre plein et un tuyau offrent des résistances à la rupture qui sont entre elles dans le rapport de
A résistances égales , les sections transversales du cylindre et du tuyau sont entre elles dans le rapport de
81. Connaissant l’expression du moment de rupture pour une base de fracture rectangulaire, on peut se proposer d’inscrire dans un cercle un rectangle déterminé par la condition de rendre cette expression un maximum. Le diamètre du cercle étant i,les côtés de ce
rectangle seront respectivement ^ et
8a. Considérons un solide prismatique (Fig. g) encastré horizontalement à l’extrémité A , et chargé à l’autre extrémité M d’un poids. Nommons
p le moment de rupture, évalué conformément aux
n°* 7 $ et suivants, d’après la figure de la section transversale du solide;
P le poids suspendu à l’extrémité M du corps; c la distance horizontale de la section A à la direction du poids P;
s la longueur A M dû solide ; f la flèche de courbure CM.
La rupture tend à se faire dans la section A, et les conditions de l’équilibre sont exprimées par
p = Pe, d’où P = £;
ou à peu près, en supposant que la courbure du solide est l’élastique du n° 55, ce qui donne s = c + -/—,
83. Considérons présentement un solide prismatique (Fig. io), posé horizontalement sur deux appuis, et chargé au milieu. Nommons
2 P le poids suspendu au milieu A du solide ; c la moitié CM de la distance des appuis; f la flèche de courbure A C ;
« l’angle de la tangente à la courbe en M,M' avec l’horizontale MM’.
La rupture du corps tend à s’effectuer au milieu A. L’effort exercé contre l’appui M (abstraction faite de la considération du frottement sur cet appui) est une force normale à la courbe du solide, dont la composante verticale est P, et la composante horizontale P tang. a. Par conséquent , en supposant que la courbe
Lioogle
DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE.
du solide est l’élastique du n° 56, d’où tang. a — les conditions de l’équilibre s’expriment en posant
p =P.c-+-P./tang.«, ou p==Pc(n-^Ç);
d’où
aP=
. . ap
c+ytang.a
, ou aP:
8 /|. Considérant un solide prismatique droit encastré horizontalement à une extrémité, comme celui représenté Fig. 9 , et chargé de poids distribués arbitrairement sur la longueur AM. Nommant
x la distance horizontale d’un point quelconque du solide à l’extrémité A;
p la valeur du poids suspendu en ce point, rapportée à l’unité de longueur, et donnée en fonction de ;r;
c la distance A C.
On aura pour exprimer l'équilibre.
85. Si les poids portés par chacun des éléments de la longueur du solide sont égaux entre eux, p est constante, et l’on a
Ainsi le solide serait également rompu par un poids distribué uniformément sur la longueur, ou par un poids moitié moindre , suspendu à l’extrénnté B.
8 (i. Lorsqu’un solide posé horizontalement sur deux appuis, comme on l’a supposé n" 83, est chargé par des poids distribués uniformément sur la longueur, p représentant la charge correspondante à l’unité linéaire, on a pc et pc tang. a pour les composantes verticales et horizontales de la pression supportée par les appuis. Par conséquent, en supposant que la courbe du solide
est l’élastique du n° 5q, d’où tang. a = les conditions de l’équilibre sont exprimées par l’équation
p =p c . c +p c ./tang. « — p c • - ,
ou
p = P C ( \ + / tan S- a ) ’ ou P = P ~T ( 1 + ’
d’où
, ou zpc=—
c-f-2ytang. a
Ainsi ^en négligeant le quarré de le solide est
également rompu par un poids distribué uniformément sur la longueur, ou par la moitié de ce poids placée au milieu.
87 . Lorsque le solide prismatique, posé horizontalement sur deux appuis, est chargé à la fois du poids a P placé au milieu, et du poids constant^ sur chaque unité de longueur, l’équilibre est exprimé par l’équation
P = (P+/?c)c + (P+/jc)/tang. a — -pc- c -, ou
p = (P-H/?c)(c-+-/t a ng.a)—
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d’où
DE LA. MéCANIQÜE, 1™ PARTIE. 53
p a P ~pc (g + a/tan R . a)
c+/tang.a
Dans le cas dont il s’agit, en supposant la courbure du solide déterminée conformément à ce qui a été
fait n° 5o, on a tane. « — + cette valeur
doit être substituée dans les équations précédentes.
88. Pour appliquer les résultats précédents à ut* corps donné, il faudra substituer à la place de p l’expression du moment de rupture qui convient à la figure de la section transversale de ce corps , confort méraent aux n°* et suivants. On donnera ensuite à la constante R la valêür qiii convient à la nature du corps , et qui doit être déterminée par l’observation.
Les observations au moyen desquelles on détermine fa vâlëütr d"ë cétte constante consistent à placer horizontalement lin solidie prismatique sur deux appuis, ÿ fa charger au rhiliéu par des poids de plus en plus grands , et à observer simultanément le poids qui cause la rupture, et’ la fléché dè courbure qui a lieu à l’instant ou cette rupture est prête à s’opérer. La section transversale du solide étant un rectangle (Fig. i) dont
les côtés sont a et b, on a (n° 77) p=R^-, et (n° 83)
aP=— : — a P .;« ■ , en faisant abstraction du poids du solide. Dofic
ac étant l’intervalle des appuis, 2 P le poids placé » *
54 ' • LEÇOIfS SUR l’aPPMCaTIOR
au milieu de la longueur du solide , /“la flèche de courbure. ■
89. Si l’on a égard au poids du solide, il faut employer l’expression de 2 P du n° 87. En nommant 2 II ce poids, cette expression devient
d’où
p R a b* — 3 II (c -f- 2 y tang. a)
3 3(c+/tang.a) -
p 3 [faP-f-5 n) (c 4 -f tang. a) — Q c \ .
ab' *
et l’on a *
* 3P-t-aII 4 /
tang. «— 8P p 5n - 9 \
90. lorsque les solides ont une petite longueur, ou ne prennent qu’une faible courbure à l’instant de la rupture, on peut négliger les termes du second ordre introduits par la considération de cette courbure : on a alors, en faisant abstraction du poids du solide,
aP=R^, doùR=aP.i;
5 c ab 1
et en tenant compte de ce poids,
2P=R~— n,d’oùR=(aP + nÆ
ôc 1 J ab
On. va maintenant rapporter les expériences faites pour évaluer la résistance à la rupture de divers corps, et au moyen desquelles on peut déterminer les valeurs de la constante R.
Résistance de la pierre et de la brique à la rupture.
91, D’après les expériences de M. Gauthey (a), un prisme en pierre calcaire dure de Givry, ayant 1$ lig. de largeur et 8 lig. d’épaisseur, posé sur deux appuis distants de 18 lig., est rompu sous une charge de t 43 livres placée au milieu. La résistance, pour la pierre tendre de Givry , n’est que le j de la précédente.
92. D’après les expériences de M. Barlow (b), un prisme en brique de 4 pouces anglais de largeur et 2 pouces d’épaisseur, posé sur deux appuis distants de 8 pouces, rompt sous une charge au milieu de
343 liv. av. du poids pour la vieille brique commune.
4 o 3 nouv. brique commune.
444 très-bonne brique.
Résistance du mortier à la rupture.
93. Voyez dans les Recherches sur les chaux de construction , deM. Vicat, la détermination de la résistance à la rupture de diverses espèces de mortiers.
Résistance du bois à la rupture.
9 *- H a été publié, sur la rupture des bois, un grand nombre d’expériences, parmi lesquelles on doit distinguer celles de Bgffon , sur le bois de chêne nouvel-
(a) Mémoire sur la charge que peuvent porter les pierres ; Journal de physique, 1 7 74-
(6J An cssay on lhe strcngth and stress of t imber, page a 5 o.
56 LEÇONS SUR LAPPLICATION
lement abattu (a). Les résultats moyens de ces expériences sont contenus dans le tableau, suivant.
L’intervalle des appuis, représenté ci-dessus par K, était de rr plus petit que les longueurs des pièces indiquées dans ce tableau.
Eqcarrissàgb
des
pièces.
uOIfGUEUR
des
pièces*
Poids
des
pièces.
Charge an miliea qui a rompu.
l'instant de la rupture.
pouces.
pieds.
livres.
livres.
po. U*.
4 oa 5
36 ia
IOI
53 oo
ix 3
KJ
IO
ag 3
2Ôo5o
IO
3 oa
(a) Histoire naturelle , partie expérimentale , XL Mémoire.
DE LA MÉCANIQUE, I rc PARTIE. 5 7
ig
1 IOOO
IO
1 3 aoo
IO
En calculant la valeur de R par la formule du n 0 89, au moyen, des données de l’expérience sur une pièce de G pouces d’équarrissage et 10 pieds de longueur, on trouve: , R = 5 862 ooo lil .
Si l’on cherche les valeurs de R données par toutes ces expériences , on ne trouvera dans ces valeurs que des différences qui peuvent être attribuées à la diversité des qualités des bois, ou aux erreurs des observations. Mais il n’en serait pas de même si l’on n’avait pas égard au poids des pièces et à la courbure, comme on l’a fait en établissant la formule du n° 89.
95. Expériences faites par Rélidor, sur des barreaux en bois de chêne (à).
Largeur
des
pièces.
Épaisseur.
Distance
des
appuis.
Charge an milieu qui rompt.
