SEMENT DES MURS DE REVÊTEMENT DES TERRES
i 3 o. Les massifs, dans les constructions, sont formés par des terres , des sables , de la maçonnerie. Pour établir les lois de l’équilibre et de la résistance de ces massifs, on les regarde en premier lieu comme des masses homogènes, dont les parties adhèrent les unes aux autres , et n’ont pas plus de tendance à se séparer dans une direction que dans une autre. On examine ensuite ce qui doit arriver quand le9 massifs sont formés de matériaux taillés régulièrement, et posés par assises.
( 4 ) A practiçal JBtsajr on tke strength (tf cast iron , page *5i.
DE J, A MÉCANIQUE , t K PARTIE. %
ARTICLE PREMIER
De l’équilibre d'un massif coupé latéralement.
1 3 1 . Considérant un massif dont la surface supérieure est terminée par un plan horizontal CD(fig. i4), et qui est coupé latéralement par un plan AC, on regarde ce corps comme susceptible de se partager suivant une direction rectiligne inclinée quelconque AT, la partie ACT glissant sur AT. Il s’agit de déterminer l’inclinaison que doit avoir le talus AC , pour qu’il ne se fosse aucune disjonction dans le massif. On nommera
h la hauteur AE de la coupure faite dans le massif;
m le rapport de la base à la hauteur du talus AC, ou la tangente de l’angle EAC;
6 l’angle EAT;
■a le poids de l’unité de volume de la matière du massif ;
y la force, rapportée à l’unité superficielle, nécessaire pour séparer deux portions du massif, en les faisant glisser l’une sur l’autre;
/"le rapport du frottement à la pression, pour deux portions du massif glissant l’une sur l’autre.
On aura, pour le poids du prisme CAT,
(tang. 6 — m);
pour la force qui tend à le faire glisser le long de AT, ^-(tang'.ê — m)c os. 6;
et pour la force qui s’oppose à ce glissement ,
(tang.g — w)sin.ê
a v D ' cos. g
L’équation qui exprime l’égalité de ces deux forces est
( tang. ê — m) ( i— /tang. g ) = ( 1 + tang.’ g ) ,
et l’on en déduit
m=:tang.g —
2 y n-tang.’g izh i — /tang.g
i3a. Si l’on détermine la valeur de g qui rend cette expression un maximum , on connaîtra à la fois la plus petite valeur qu’il soit possible de donner à m, et la direction suivant laquelle le massif se romprait, si l’on donnait à m une valeur un peu au-dessous de celle qui convient à l’équilibre.
Cette valeur de g est donnée par l’équation
et en la substituant dans l’expression de m du n° pré cèdent, on a .
pour la limite de l’inclinaison suivant laquelle le massif peut être coupé sans qu’il survienne d’éboulement.
Si l’on résout cette équation par rapport à h, on connaîtra la plus grande hauteur sur laquelle le massif peut se soutenir avec l’inclinaison m.
1)E LA MÉCANIQUE, I rr PARTIE. 9 I
i33. Si h est très-petit, cette formule donnera pour m une valeur négative; en sorte qu’on pourrait alors couper le massif, sans qu’il y eût éboulement, suivant un plan tracé à gauche de la verticale AE, et à plus forte raison , suivant un plan vertical. En faisant
la formule précédente donnera o : ainsi, sur la hauteur exprimée par cette formule , le massif tranché verticalement se maintiendra encore en équilibre. Mais, en donnant à h des valeurs plus grandes, on aura pour m des valeurs positives croissantes, jusqu’à une limite que l’on trouve en supposant h infini, et qui est
Cette limite répond à l’inclinaison que la surface du massif prendrait d’elle-même , en supposant la cohésion des parties détruites , et admettant qu’elles ne se maintiennent que par l’effet seul du frottement. .
1 34- Si l’on suppose y = o , ou que les parties du massif 11 ’aient entre elles aucune cohésion, on a
tang. ê=^,
en sorte que le massif doit alors être coupé suivant l’angle du talus naturel. *
Si l’on suppose /== o, ou que la force unissant les deux parties du massif soit indépendante de la pression, et seulement proportionnelle à l’étendue des surfaces en contact , on a
•e Tïh TZ'h' 16 V 3
1 35. L’expression de A du n° i33, en nommant t l’angle dont la tangente est^,, peut s’écrire
d’où
h—— il—
w.tang.jT’
yr^TïÆ.tang.jT.
Elle représente la plus grande hauteur sur laquelle la niasse puisse êtr# coupée verticalement, sans qu’il survienne d’éboulement. Si y=o, cette hauteur est nulle. Si/=o, elle est égale à -X
La valeur du nombre f se connaît en observant le talus que prend la matière du massif, quand la cohésion a été rompue: f est la tangente de l’angle que ce talus fait avec l’horizon, et t l’angle que ce talus fait avec la verticale. En observant ensuite la hauteur sur laquelle le massif peut être coupé verticalement , sans qu’il y ait éboulement , on connaîtra le poids y au moyen de l’équation précédente.
i36. Reprenant le calcul du n° i3i , conservant les mêmes dénominations, et supposant la surface supérieure CD du massif (Fig. i5) chargée uniformément par des matières susceptibles de se diviser suivant des plans verticaux, correspondants aux extrémités supérieures T des plans de rupture; nommant p la pression qui en résulte sur l’unité superficielle du plan CD; on aura pour la force qui tend à opérer le glissement le long de A T
(ph-\- jir h') (tang.g — m) cos. g; pour celle qui tend à l’empêcher
Aph+^h') (tang. 6— ni) sin.é + y
DE Là. MÉCANIQUE, l re PAKTIE.
En égalant ces deux quantités, il viendra
(tang. ê —m) (i— /tang. É) = j
et si l’on compare cette équation à celte du n° i 3 i, on reconnaîtra que les formules trouvées dans le n° i 3 a s’appliqueront au cas dont il s’agit, en y écrivant 2 p-\-ith à la place de Tth.
ARTICLE II
De ^équilibre d’un massif terminé par deux faces latérales , dont la surface supérieure est chargée d’un poids.
137. On considérera, pour plus de simplicité, un massif compris entre deux plans verticaux parallèles (Fig. 16). Supposant que le massif doit se rompre suivant la direction incliuée AT, on nommera h la hauteur A G du massif; a l’épaisseur A B ou CD;
* l’inclinaison sur l’horizon de la ligne de rupture AT;
P un poids réparti uniformément sur la surface supérieure CD, pour l’unité de longueur du massif; n, y y et auront les significations indiques n° l3i.
La force qui tend à produire le glissement de la partie supérieure du massif le long de AT est
-+- T.ah — ~ tang.cT) sin.a;
celle qui tend à empêcher ce glissement est
f{V-hr,an — tang.aj cos. * 4-
94 LEÇONS sor l’application
Si l’on égale ces deux forces , on aura
(V+Ttah— ^-tang.a) (tang.a— < /)=Ya(i-Mang.’a),
d’où l’on déduit
ita*
n i ^ i-f-tang.’a
P + i \ah — — tang. a+ya.
2 ° 1 tang.a — -J
1 38. En faisant varier a, et déterminant la valeur minimum de P-f-iraA, on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le massif se romprait , si la charge surpassait un peu la valeur qui convient à l’équilibre , et la plus grande hauteur qu’il soit possible de donner à ce massif, ou le plus grand poids dont on puisse le charger.
La valeur de tang.a qui répond au minimum du second membre de l’équation préeéden te est
tang. «=/+ v / a rC t ~+/ , > ; ’
° J V it a + îy ,
et en la substituant dans ce second membre, on trouve
P-hitak=f(^- + 2 yO^j (ita’+ayu) (i +f*)
pour l’ex pression de la plus grande valeur qu’il soit possible de donner à P-t- ra h, sans causer la rupture du massif.
139. Si l’on fait abstraction du poids de la partie supérieure A CDT du massif, ces formules deviennent
tang. a =/’+ V I P — 2y« (/+ 1/ 1 -+-/’)•
140. Si de plus on suppose f=. o, ou que la résistance au glissement soit indépendante de la pression ,
DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE.
et proportionnelle à la surface de rupture , on a
tang.a=i, P —o.^a,
résultats donnés par Coulomb (a). La rupture tend alors à s’opérer suivant un plan incliné d’un demi -angle droit; la valeur de P est proportionnelle à l’épaisseur a du massif. Ces formules peuvent donner les lois de l’écrasement d’un prisme de pierre , par un effort exercé sur la face supérieure.
1 4 1 • Les résultats précédents supposent la composition du massif homogène, comme le serait celle d’une masse de terre, de béton, ou de petits moellons posés irrégulièrement et unis avec du mortier. Dans ce dernier cas, on doit mettre dans les formules, pouryet y, les valeurs qui conviennent à la matière du mortier. Mais si le massif est formé en pierres un peu grandes, taillées régulièrement, et posées par assises horizontales , la lézarde inclinée qui a lieu lors de la rupture, devra se former dans les pierres mêmes ; et par conséquent les valeurs dey et y devront être cellës qui conviennent à la matière de ces pierres. On explique, par cette circonstance, l’excès de solidité que l’on obtient en employant le mode de construction dont il s’agit.
^ARTICLE III
De l’équilibre d’un massif exposé à un effort exercé contre une des faces latérales.
i4a. Considérons un massif ABDC (Fig. 17 ) compris entre deux faces parallèles , soumis à l’action d’une
(a) Mémoire* de» savants étrangers, 1773.
force horizontale appliquée en E. Cette forcé pourra rompre le massif, en faisant glisser la partie supérieure sur la partie inférieure, ou eu renversant la première. Ces deux modes de rupture doivent être examinés à part.
Cas ou la rupture du massif s'opère par glissement.
1 43. La ligne ET étant prise pour la direction du plan de rupture , oh nommera a l’épaisseur AB du massif;
P le poids de la partie supérieure CDEF du massif, pour l’unité de longueur; a l’angle de ET avec l’horizontale EF;
Q la valeur de la force horizontale appliquée en E, pour l’unité de longueur du massif; rc, y et y auront les significations indiquées n° i3i. La force qui tend à produire le glissement sur ET est
Qcos.a -t- ^P+^-tang.a^) sin. a; la force qui s’y oppose est f\~ — Qsin. a + (P+ ^-tang.a^ cos. «J +
En égalant ces deux forces et tirant la valeur de Q, il vient
(2 P-+- ira’ tang.a) [f — tang.a) 4- zya (1 -t-tan g.^a) i+/tang.«
1 44 - En faisant varier a, et déterminant la valeur minimum de Q , on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le massif se romprait , si la
DF. LA MÉCANIQUE, I rc PARTIE. 97
valeur de Q surpassait un peu celle qui convient à l’équilibre; et la plus grande valeur qu’il soit possible de donner à Q, sans causer la rupture du massif. Posant pour abréger
A=a fV ■+■ 2. y a, B =fr;a 7 — aP, C=ir« 2 — 2y«,
la valeur de tang. * qui rend l’expression précédente un minimum est
tang. «== — j -+- j\/ • ,
i 45. Si l’on suppose la force de cohésion extrême’' ment grande , cette valeur se réduit à
, V, fillIEt
tang. a = -y , mi ur.^
c’est-à-dire , en appelant <7 l’angle dont la tangente est/,
tang. a = tang. \ a.
La valeur correspondante de Q est
tartg.f c
tang. ‘‘
: itARiW '»!
Uni; Uyoi ml mi&ti
Li^que y diminue à partir de l’infini, a augmente et Q diminue. La valeur a devient infinie quand y=^n«, et la valeur correspondante de Q est zéro. Mais on ne peut pas supposer a plus grand que l’angle A EF: par conséquent quand la formule du n° 1 44 donnera pour a une valeur > AEF, il faudra faire a = AEF dans l’expression de Q du n° i43.
1 4G. Si y est < iUa, il existera une valeur de a qui rendra nulle cette expression de (,). Cette valeur est
tang. a
