L’expression de Q peut être mise sous la forme

Q = V{h — h!) cos.e;

et dans le cas où la paroi est verticale,

165. Pour connaître maintenant le point de la paroi où la force Q doit être appliquée, on remarquera que, sur une portion de la paroi correspondante à la portion z de la hauteur h , la poussée a pour expression

— t'(z-h') cos. t.

Différenciant par rapport à z , il vient

pour la poussée exercée sur la portion de la paroi correspondante à la portion dz de la hauteur h. On aura le moment de cette poussée élémentaire , pris par rapport au point A (Fig. 20 et ai ), en multipliant par

Prenant la somme des moments de ces poussées

cos.t r

élémentaires, et la divisaut par la poussée totale , on a

h (A — h') cos.e 3 cos.e h — h'

pour la distance du point d’application de la force Q au point inférieur A de la paroi (a). Quand la paroi est verticale, cette distance est

166. L’inclinaison du plan de rupture qui donne le prisme de plus grande poussée est indépendante de la valeur de la cohésion. Si l’on suppose la cohésion nulle, h' — o : la valeur de la poussée est

it A’ •

— • t cos. e;

(à) Cette formule diffère de celle donnée par MM. de Prony et Français dans les Mémoires cités ci-dessus , ces savants ayant pris l’intégrale du moment de la poussée entre les limites h' et h. On remarquera que, quoique la somme des poussées élémentaires soit nulle sur la hauteur h' , il ne s’ensuit pas que la somme des moments de ces poussées soit également nulle. Il paraît donc que l’intégrale doit être prise entre les limites o et h, comme l’a fait Coulomb dans son Mémoire de 1773. En opérant de cette manière, on fait disparaître l’anomalie remarquée par M' de Prony, n u 28 de ses Recherches sur la poussée des terres.

DE LA MÉCAWIOjp, I™ PARTIE. IOQ

et quand la paroi est verticale.

La distance du point d’application de Q à l’extrémité inférieure de la paroi est

3 cos. e ’

et quand la paroi est verticale, comme dans les fluides.

167. Si l’on suppose en même temps la force de cohésion et le frottement nuis, h' = o, t=9o°,

t == tang. ( 45° =p v t ) db tang. £ ;

et quand la paroi est verticale,

La valeur de la poussée est dans ce dernier cas

conformément aux propriétés connues des fluides.

Pression exercée contre une paroi plane , lorsque la surface supérieure des terres est surchargée.

168; Reprenant le calcul du n° 159, en supposant la surface supérieure des terres chargée uniformément par des matières susceptibles de se diviser suivant des plans verticaux correspondants aux extrémités supé-

rieures T des lignes de rupture (Fig. ao et ai.), et nommant

p le poids porté par l’unité de surface,

on devra, dans les formules de ce n°, écrire ph+^xh 1 au lieu de^isA*. L’angle du prisme de plus grande poussée demeurera toujours le même. La valeur de la poussée du n° 1 63 deviendra

Q = (ph + ±xh')t\cos. e — y A