SIM. T

cos.’ ’

et dans lé cas où la paroi est verticale,

Q = (ph -t- ~xh’)t' — ayh.t.

169. En appelant h u la valeur de h pour laquelle Q est nulle , on aura

les expressions de Q du n° 164, et l’expression trouvée n° 1 65 pour la distance du point d’application deQ à l’extrémité inférieure de la paroi, conviendront au cas dont il s’agit en écrivant h” au lieu de h'.

170. En supposant nulle la cohésion des terres, comme au u° 166, la valeur de la poussée sera

Q = (p h -\-~xk 1 ) t 3 cos.«; et si la paroi est verticale,

Q = (ph-b ±xh")t\

La distance du point d’application de Q à l’extrémité inférieure de la paroi sera

h xh-^Zp üoos.i xh + ip’

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE.

et si la paroi est verticale,

iA .îi±i£.

1 T,h-\-ip

1 7 1 . Lorsque les terres se changent en un fluide, les expressions précédentes de Q s’appliquent à ce cas en supposant t=qo°, ce qui donne t = i quand la paroi est verticale. La valeur précédente de la distance du point d’application de la pression convient également aux terres non cohérentes , et aux fluides.

Équilibre d'un mur soutenant la poussée des terres.

172. On regarde le mur AB b a (Fig- 22 et a3) comme étant susceptible de se rompre suivant la direction inclinée a S. La rupture peut avoir lieu, soit parce que la partie supérieure SB b a glisserait sur le plan de rupture , soit parce que cette partie supérieure serait renversée en tournant sur l’arête a. La rupture par glissement, suivant une direction inclinée tracée dans l’épaisseur du mur, peut être prévenue par divers procédés de construction; et, abstraction faite de ces procédés, ce genre de rupture n’aura pas lieu , en général , si le mur a l’épaisseur nécessaire pour résister à la rupture par renversement. On considérera seulement ici ce dernier genre de rupture.

Conservant les dénominations des n os i5ç) et suivants, on nommera

a la largeur A a de la base du mur;

h la hauteur verticale AC;

m le rapport de la base à la hauteur, pour le talus de la face extérieure a A du mur;

n le poids de l’unité de volume de la matière du mur;

R la cohésion de la matière du mur sur l’unité superficielle ( voyez n° 1 48 ) ; e représentera , comme ci-dessus , l’angle que le parement intérieur AB forme avec la verticale; z la hauteur indéterminée SD.

En regardant la pression exercée par la terre contre BS comme une force appliquée en E, perpendiculairement au parement du mur, la valeur de cette force, d’après le n° 164, est

jitüf 1 ( z — h') cos. e.

La distance SE, d’après le n° i65 , est

3 cos. e s— A,', ’ „

d’où il suit que le bras de levier a G de la force dont il s’agit, est

z „ iJi’

(h — z) cos. e -t-n— — - — Vp zp a sin.e.

L’expression du moment de la poussée des terres sur B S , pris par rapport à l’arête a , est donc

7icz£’(z-A')cos.e [(A-z)cos.e-+- asin.s

les signes supérieur et inférieur ayant lieu respectivement pour les cas des figures 22 et a3. La même expression conviendrait au cas où la surface supérieure des terres serait surchargée uniformément, en écrivant h" au lieu de /ï , conformément au n° 169.

1 73. Le moment des forces qui s’opposent au renver-

DE I.A MÉCANIQUE , I" PARTIE. Il3

sement, pris par rapport à l’arête A, se compose du moment du poids du rectangle AC ca, qui est

tÜæ’A;

moins le moment du poids du triangle abc,

iïlm'h*;

moins ou plus le moment du poids du triangle A C B ,

n h 1 tang. « ( a ÿ h tang. e ) ;

moins le moment du poids du triangle a B S

jn(A — z)[azp(h — z)tang.e]*;

moins ou plus le moment du poids du triangle A RS,

7 11(4 — z)’tang.t[a:+:j(A — z) tang.e];

auxquels il faut ajouter le moment de la résistance à la rupture sur a S, qui est

}R j ( h — z)’-+- [a=j=(4 — z)tang.ï]’j .

Nous négligeons ici la considération du frottement et de l’adhérence des terres , contre le parement intérieur du mur.

174 . La condition de l’équilibre du mur , pour une valeur donnée de z, s’exprimera en égalant cette somme de moments au moment de la poussée des terres sur BS. Si l’on résout ensuite l’équation par rapport à a, et si l’on détermine la valeur de z par la condition de rendre a un maximum , on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le mur se romprait, si l’épaisseur a était un peu trop petite, et la moindre valeur qu’il soit possible de donner à cette épaisseur.

1 l4 LEÇONS SUR L APPLICATION

175. Nous supposerons le parement intérieur du mur vertical , la cohésion des terres et celle de la matière du mur nulles, d’où e=o , h — o , lt = o. Dans ce cas, s’il n’y a point de surcharge sur la surface supérieure des terres. Le moment de la poussée sur BS, pris par rapport au point A, est

-jz);

et le moment de stabilité du mur,

{Ha 7 h — { n a 7 (h — z) — ^11/»’ h\

En égalant ces deux quantités., et résolvant par rapport à a -, on trouve

z a /*(3À — »s) + n ni* h‘ ' n(A-t-az)

Différentiant et égalant à zéro , on aura , pour déterminer la valeur de z qui rendra a le plus jgrand posr sible, l’équation

ÎIz 3 — ünt'.Tlk'z-b ZWm'h 3 = 0.

Cette valeur, substituée dans l’expression précédente, fera connaître la moindre largeur qu’il soit possible de donner à la base du mur.

176. Si le parement extérieur du mur est vertical, aussi-bien que le parement intérieur, rn= o; l’expression précédente de a se réduit à

z * J 9 (3 h — jz) Il(À-t-az)

La valeur de z qui rend cette expression un maximum , est

DK LA MÉCANIQUE, l' L PARTIE. Il5

et la moindre épaisseur qu’il soit possible de donner au mur, est

Ainsi la hauteur RS est alors le £ environ de la hauteur du mur, et la moindre épaisseur est à peu près

Équilibre d'un mur soutenant la poussée des terres , en supposant ce mur renversé en totalité sur l'arête extérieure de la base.

1 77. On regarde maintenant le mur comme un corps posé sur une base avec laquelle il n’aurait aucune adhérence, en supposant l’adhérence de la matière de ce mur assez grande pour qu’il ne s’y fasse pas de disjonction , dans le cas où la poussée des terres le renverserait en le faisant tourner sur l’aréte extérieure de la base. En conservant les dénominations du n° 172, qui se rapportent aux fig. 23 et a 3 , l’expression du moment de la poussée des terres sur AB se déduira de celle trouvée dans ce numéro en supposant z — h, et sera

— \h")zç.ah(h — -/i')sin.gcos.e].

Le moment des forces qui s’opposent au renversement se déduira également de l’expression donnée n° 173 , en supposant z=h , R=o, et sera

j n h [a* zf a h tang. e -+■ -5 h' ( tang.’ e — m 1 ) J.

Égalant ces deux expressions, et résolvant l’équation

1 16 leçons sur l’application

par rapport à a , on trouvera

a—dt j JVttang.e — — À')sin.e cos.ej

+ v/(^[ Atan S- 8— S f, ( h — A')sin.e COS. ej

-+- ^t\h(h — ^à') — f A^tang.’e — 7»’)|

pour l’expression de la largeur à donner à la base du mur.

Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée , en écrivant h” au lieu de h' , et donnant à h * la valeur indiquée n° 169.

1 78. Si le parement intérieur du mur est vertical , e = o; la valeur de a est

a = \ / ~^Vh[h — |A')4- jm'h*,,

formule dans laquelle *=tang. -j*, conformément au n° i 63 .

179. Si le parement extérieur du mur est également vertical, /«= o, et l’on a

180. Si, la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une surcharge sur la face supérieure , on doit

(conformément au n°. 169) écrire — ^ au lieu de h'

TZ

dans l’expression générale de a du n° 1 77 , et dans celles des deux n°* précédents. Mais s’il n’existe point de surcharge , 011 doit faire h' ■=. o. L’expression du n° 177

Digit:

devient alors

a — ± ~ h jtang. e — ^ t 1 sin. e cos. e j

-+- j^tang.8— jjf’sin.ecos.ej ^(tang.’s-m’)-

181. Si, la cohésion des terres étant nulle, le parement intérieur du mur est vertical, on a

1 82. Enfin si , la cohésion des terres étant nulle , les deux parements du mur sont verticaux , on a

en sorte que la moindre épaisseur à donner au mur est à peu près o,S r ] r ].ht y/ -, résultat qui ne diffère

pas sensiblement de celui du n° 176.

1 83 . Les formules des trois n“ précédents s’appliqueront au cas où les terres se changent en un fluide, en supposant v = qo°, ce qui donne t— 1 quand le parement intérieur du mur est vertical.

Équilibre d’un mur soutenant la poussée des terres , en supposant que ce mur peut glisser sur la fondation.

184. On peut encore regarder le mur comme un corps posé sur une base horizontale , avec laquelle il aurait une faible adhérence, et sur laquelle la poussée des terres le ferait glisser, sans opérer de disjonction dans ce mur. Conservant les dénominations du n° 172 .

Jl8 LEÇOKS SUR l' APPL 1CA TlOîf

qui se rapportent au fig. 22 et 23, on nommera F le rapport du frottement à la pression lorsque le mur glisse sur la base Ans;

T la force de cohésion existant entre la matière du mur et la base. *

La force qui tend à produire le glissement est la composante horizontale de la poussée Q, dont la valeur a été donnée n° 164, c’est-à-dire

'-vhV^h — h) cos . 1 e.

Le poids du mur étant

n[ah — j& J (/»±tang.Ê)], on a pour la force qui s’oppose au glissement ± 7 Fnht'^h — À f )sin.ECOS.e

+ Fü[aÀ — ^(witang.e)] 4- Ta.

En égalant ces deux forces, on exprime la condition de l’équilibre du système, et en résolvant l’équation par rapport à a , on trouve

h — h’) cos.’e(i zpFtang.e)-t-FIIA (wîdbtang.e)

a ~\ “ FiuTf

pour l’expression de la moindre largeur qu’il soit possible de donner à la base du mur.

Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée , en écrivant h" au lieu de h', et donnant à h" la valeur indiquée n° 169.

1 85. Si le parement intérieur du mur est vertical, £ — o : la valeur de a est

^ h TC/ a (A — A'J + Filmi

a ~l FTI/i + r ’

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. I Ig

formule dans Laquelle t = tang. 7 1 , conformément au n° i63.

1 86. Si le parement extérieur du mur est également vertical , m = o , et l’on a

h nt' {h — A') a ~l" FÜA-l-r '

1 87. Si , la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une surcharge sur la face supérieure, on doit,

conformément au n° i6q, écrire — au lieu de A' dans