TROISIÈME SECTION
de l’équilibre et de l’établissement des voûtes.
210. Il existe plusieurs espèces de voûtes, dont les principales sont les voûtes en berceau , les voûtes d’arête, les voûtes en arc de cloître, les voûtes en dôme. On s’occupera principalement ici des voûtes en berceau.
Une voûte est un assemblage de parties .solides juxtaposées. Ces parties, nommées voussoirs, sont séparées par des joints. Dans les voûtes construites en pierre , les joints des voussoirs sont ordinairement garnis en mortier. Lorsque les efforts exercés sur chaque voussoir, et la figure de la voûte, sont tels que le système ne se trouve point en équilibre, cette voûte se rompt. La rupture peut avoir lieu , soit parce que les parties de la voûte se séparent en glissant les unes sur les autres, soit parce que ces parties s’écartent en tournant autour des arêtes supérieures ou inférieures des voussoirs. Le frottement et l’adhérence des mortiers s’opposent à ces mouvements, et contribuent à maintenir la voûte en équilibre.
ARTICLE PREMIER
Conditions générales de l’équilibre d’un assemblage de voussoirs.
ai i. Soit un assemblage de voussoirs ABNM (fîg. 2 4 ), formant une portion de voûte en berceau, appuyé en A B contre un plan fixe, et maintenu à l’autre extrémité par une force dont les composantes verticale et
l3a LEÇONS SUR l’a PPÇ f CATION
horizontale sont P, Q. La figure de cet assemblage de voussoirs est donnée par les courbes d’intrados et d’extrados AraM et B«N, ainsi que par les directions des plans de joint. On suppose des forces quelconques appliquées aux voussoirs, et il s’agit de reconnaître si le système se maintiendra en équilibre.
Pour trouver les conditions de cet équilibre, on remarquera que la portion de voûte peut se rompre dans l’un quelconque des joints. Supposons que la rupture tende à s’effectuer dans le joint mn, et regardons la partie inférieure AB nrn comme fixe, et la partie supérieure /nreNM comme un corps solide : l’équilibre ne pourra subsister, à moins que les forces appliquées à ce corps ne soient telles i° qu’elles ne puissent le faire glisser sur le joint ma, 2 0 qu’elles ne puissent le faire tourner autour des arêtes m et n. On nommera
x,y les coordonnées horizontale et verticale du point m;
x',y', les coordonnées horizontale et verticale du point n;
6 l’angle que la direction du joint mn forme avec la verticale ;
z la longueur mn de ce joint;
a, b les coordonnées du point extrême M de la courbe d’intrados;
a\ b' les coordonnées du point extrême N de la courbe d’extrados;
G , H les sommes des composantes verticales et horizontales des # forces appliquées aux voussoirs compris dans la portion de voûte ronNM;
J)E LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 1 33
et , 6 les coordonnées du point d’application C de la résultante des forces G et H ;
T la pression normale exercée contre le joint mn; fie rapport du frottement à la pression, lorsque les »
parties de la voûte glissent sur les plans de joint;
y la valeur de la force de cohésion, rapportée à l’unité de surface , qui doit être vaincue pour opérer ce glissement;
R la valeur de la force de cohésion ,• rapportée à l’unité de surface, qui est vaincue lorsque deux voussoirs se séparent, en s’écartant perpendiculairement au plan de joint.
212. Pour exprimer les conditions relatives au glissement sur le joint mn, on remarquera en premier lieu que la force qui tend à faire glisser la portion de voûte ffinNM dans le sens nm est
(P + G) cos. 0;
et la force qui s’oppose à ce glissement,
(Q + H)sin.0-+-/(P4-G)sin.0-t-/(Q + H)cos.0-4-yz:
d’oû il suit que, pour que le glissement n’ait pas lieu , on doit avoir
P ( i — /tang. 9 ) — Q (tang. 0 +/)
< — G ( x —/tang. 0 ) + H (tang. 0 .
On remarquera, en second lieu, que la force qui tend à faire glisser la même portion de voûte dans le sens mn est
(Q +H)sin.0;
et la force qui s’oppose à ce glissement,
(P-+-G)cos.0 +/'(P+G)sin.e-t- i /(Q + H)cos 0-t-yz:
d’où il suit que, pour que le glissement n’^it pas lieu, on doit avoir
— P ( i +/tang. 0) + Q (tang. 0 —f)
< G ( i +/tang. O)— H ( tang. 0 — f) + ^ .
L’équilibre de la portion de voûte A BNM exige que l’on puisse attribuer aux composantes P,Q des valeurs telles que ces conditions soient satisfaites, pour l’un quelconque des joints m n.
21 3. Pour exprimer maintenant les conditions relatives au mouvement de rotation autour des arptes supérieure ou inférieure du joint tnn , on supposera en premier lieu que la portion de voûte m«NM tend à tourner de haut en bas sur l’arête m , et que les forces Pi Q sont appliquées en N, ce qui est le cas où elles ont le moins de tendance possible à favoriser ce mouvement. Le moment des forces qui tendent à faire tour- , ner la portion de voûte est %
et le moment des forces qui s’oppôsent à ce mouvement, en évaluant le moment de la résistance provenant de la cohésion comme on l’a fait n° i48, est
Q(*'- r ) + H(6 r)+-;Rz\
Ainsi , pour que le mouvement de rotation n’ait pas lieu, on doit avoir
P (a' — x) — Q {b' —y) < — G {a.—'fX) + H (ë —y) -4-i Rz’.
DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE.
On supposera en second lieu que la portion de voûte /««NM tend à tourner de bas en haut sur l’arête «, et .que les forces P,Q sont appliquées en M, ce qui est le cas où elles ont le moins de tendance possible à favoriser ce mouvement. Le moment des forces qui tendent à faire tourner la portion de voûte est
et le moment des forces qui s opposent, à ce mouvement,
P {a — x) 4 - G (a — x) 4- ^Rz\
Ainsi , pour que ce second mouvement de rotation n'ait pas lieu, on doit avoir
— P (a — x ) -+- Q {b —y') < G(a — x ) — H (6 — y )4--'-Rz J .
L’équilibre de la portion de voûte ABNM exige, outre la condition indiquée dans le n° précédent , que les valeurs attribuées aux composantes P, Q soient telles que ces dernières conditions se trouvent encore satisfaites, pour l’un quelconque des joints mn.
Réciproquement, lorsqueies conditions précédente* seront satisfaites pour tous les joints , la portion de voûte demeurera nécessairement en équilibre.
ai4- La valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint mn , est
T— (P 4 - G)sin.6 4- (Q 4- H)cos. 9.
ai 5. Si l’on supposait nulles les résistances provenant du frottement et de la cohésion , les conditions du n° 2 ia , relatives à l’équilibre de glissement, se ré-
l36 LEÇONS SUR L’APPLICATION
duiraient à une seule équation , qui serait
P — Q tang. 6 =— G + H tang. 8 , ou tang. 8 ;
exprimant que la résultante des forces appliquées à la portion de voûte mnNM doit être perpendiculaire au joint mn. Dans l’hypothèse dont il s’agit, l’inclinaison de chaque joint a une valeup déterminée , lorsque les forces appliquées à la voûte sont données. La force appliquée au dernier joint M N , dont P et Q sont les composantes verticale et horizontale, doit être normale à ce joint.
216. En supposant toujours nulles les résistances provenant du frottement et de la cohésion , les conditions du n° ai 3 , relatives à l’équilibre de.fOtation, deviennent
-P(rt-*') + Q(*-/)< G(.-aO-HC*— y);
elles expriment que la direction de la résultante des forces appliquées à la portion de voûte mnNM doit passe rentre les points m et n.
Application à une plate-bajide.
a 17. Soit la portion de voûte dont on cherche les conditions d’équilibre la moitié ABN M (Fig. a 5 ) d’une plate-bande uniformément épaisse. Faisons abstraction des résistances provenant du frottement et de la cohésion , et supposons la plate-bande uniquement soumise à l’action de la pesanteur. Conservons les dénominations du n° 21 1 , et nommons
a la demi largeur AM;
DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 1 37
c l’épaisseur MN ;
Il le pouls de l’unité de volume de la matière des voussoirs.
On aura, daus l’équation du n° ai 5 , P = o, H = o, G = II[(a — x tang. 0 ]; cette équation deviendra
tang.0
aü(« — x)c 2 Q -- Il e’ ’
et donnera, si 0' désigne l’inclinaison du premier joint AB,
tang.
2 Îlac 2Q — Ile’’
d’où Q^n— ± £ gy
o tanrr b ’
2 tang. ô'
On déduit delà
tang.0 a — x
tang. 0' a
Ainsi, l’inclinaison 0' du premier joint AB étant donnée, la valeur de Q est déterminée par l’expression précédente, et l’équilibre exige que les directions de tous les joints se rencontrent en un même point O.
218. Quant aux conditions du n° 216 relatives à l’équilibre de rotation, elles deviennent, en les appliquant au joint A B,
Qc> ’-IJ a'c — ^Ilc 3 tang.’0',
— Qc<±ïlac(a + ctang. 0') jllc 3 tang.’0\
La seconde condition , exprimant que la portion de voûte ABNM ne peut tourner sur l’arête supérieure B de ce joint, est satisfaite, quelle que soit la valeur positive donnée à Q; et on voit effectivement, d’après la figure de la voûte, que ce mouvement est
impossible. Quant à la première condition, exprimant que la portion de voûte ABNM ne peut tourner sur l’arête inférieure A , on en conclut, en ayant égard à la valeur de Q trouvée dans le n° précédent , que l’angle 0' ne doit point surpasser la valeur donnée par l’équation
tang. 3 Ô — 3(^-— ijtang.6 + — = o.
Soit C D la verticale passant par le centre de gravité de la portion de voûte ABNM. Composons en C le poids de cette portion de voûte, avec la force horizontale Q , supposée appliquée suivant le ligne. N B. J.a résultante des deux forces devra être normale au joint AB; et cette condition sera remplie , en adoptant la valeur de Q trouvée n° a i r j. De plus cette résultante devra passer entre les points A et B : il est évident qu’elle ne peut # passer au-dessus de B ; niais elle pourrait passer audessous de A. Par conséquent, si l’on mène AO perpendiculairement à C A , l’angle A O M ainsi obtenu est une limite que la valeur de 6' ne peut dépasser: cette limite est donnée par l’équation précédente.
a i§. Si l’épaisseur de la plate-bande était très*petite par rapport à l’ouverture, la limite dont il s’agit serait donnée, à fort peu près, par l’expression
tang.ô =
et l’on aurait sensiblement,
= , Î7J ou Q=?nÆ\
tang.0 ’ ^ ’
aao. En substituant dans la formule du n°ai4 les
DE LA MÉCANIQUE, 1™ PARTIE. 1 3g
valeurs qui conviennent à la .plate-bande , on trouve pour l’expression de la pression normale supportée par le joint AB, *
