CL C C

sin-ô' acos^O /

aai. Dans le cas où l’épaisseur de la plate-bande est très-petite par rapport à l’ouverture, cette expression devient

rj, Il UC * ■ «

sin.Q'

222. Si t° n considère deux moitiés égales de platebande ( Fig. 26 ), séparées par le joint vertical M N , l’équilibre ne pourra subsister, à moins que l’inclinaison des joints extrêmes AB, A' B' sur la verticale, ne soit au-dessous de la valeur de 6' donnée par l’équation du n° ai8;*et que tous les joints ne soient dirigés suivant des lignes passant par le même point O. L’expression deQdun°2i7, donnera la pression horizontale que les deux moitiés de la voûte exercent l’une contre l’autre dans le joint M N ; et l’expression de T du n° 220 donner^la pression normale supportée par les joints extrêmes AB, À' B'.' Les piédroits de la platebande devront offrir la stabilité nécessaire pour résister à ces pressions.

Conditions de F équilibre d'un assemblage de vous soirs, en supposant tous les joints perpendiculaires à la courbe d’intrados.

223 . Considérant une portion de voûte A B NM, dans laquelle tous les joints des voussoirs sont perpendiculaires à la courbe d’intrados A rnM , appuyée à une

l4o LEÇONS SUR L’APPLICATION

extrémité contre un plarè fixe A B , et maintenue à l’autre extrémité par une force dont les composantes verticale et horizontale sont P et Q : on nommera

x,y les coordonnées A p,pm d’un point quelconque m de la courbe d’intrados; z la longueur du joint mn\ s la longueur de l’arc A m; a, b les coordonnées du poiut extrême M;

S la longueur totale A/nM delà courbe d’intrados; P le rayon de courbure de cette courbe, au point///; F la valeur de la force appliquée aux vous^irs, pour le point m de la courbe d’intrados, cette valeur étant rapportée à l’unité de longueur, et donnée en fonction de l’arc de la courbe.

9 l’angle que la direction de la force F forme avec l’axe horizontal des abscisses, cet angle étant également donné en fonction de l’arc de la courbe.

T la valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint ntn, par l’une des parties de la voûte contre l’autre.

Faisant abstraction des résistances provenant du frottement et de la cohésion , et appliquant ici les notions présentées n°* 21 1 et suivants, la première condition de l’équilibre du système est que la pression normale T, supportée par le joint mn, soit égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces appliquées à la partie /««NM de la voûte. En remarquant qqe les composantes verticale et horizontale de la pression T

sont respectivement T ^etT^; et que les sommes des

composantes verticales et horizontales des forces ap-

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. l4l

pliquées à la portion /renNMde la voûte sont respects S

tivenient f dïj.Fsin. <p et / c/.f.Fcos.ç, cette

condition donnera les deux équations,

ds

T$ = P+/ «fo.Fsin. <p,

T £=Q+/ ds. Fcos.fi.

224. La seconde condition de ^équilibre du système est que la direction de la résultante de toutes ces forces passe entre les points m et n ; mais il est inutile d’y avoir égard. Cette condition est implicitement comprise dans la supposition que les joints des voussoirs sont normaux à la courbe d’intrados, puisqu’alors les directions successives des résultantes dont il s’agit formeront nécessairement une seconde courbe parallèle à la première.

225 . Différentiant les deux équations du n° 223 , multipliant la première par ^r, la seconde par et

* d ie* dr*

ajoutant f en observant que = 1 , et par con-

, dx . dx dy , dy \

séquent ^7 “• ^7 + ^ «• 0 ) > on aura

— dT = F<fj(^sin.9 + ^cos.<p), équation d’où l’on déduira la valeur de la pression.

LEÇONS SUR l’aPPLICATION

Cas ou les forces appliquées aux voussoirs sont partout normales à la courbe d’intrados.

. dx dy i ,

aa6. Dans ce cas , si n. 9 = ^jetcos.<p = — L équation trouvée dans le n° précédent donne

dT = o,

en sorte que la pression est constante dans toute l’étendue de la voûte.

On aura donc, en différentiant les deux équations du n° aa 3 ,

T d.^j = — Frfo.sin.9, T~ = — F</.y.cos*p;

d’où ( en ayant égard aux valeurs de sin. 9 et cos. 9 ) l’on déduit

T dq = — F ds ,

ou, parce que d<p (qui est l’angle de deux normales con-

. . ds •

sécutives ) — 7

T=— f F, et F— — — ■

Ainsi la pression exercée d’un voussoir à l’autre est égale à la force appliquée normalement à chaque point de la courbe d’intrados , multipliée par le rayon de courbure en ce point; et l’équilibre exige que cétte dernière force ait, dans toute l’étendue de la courbe, des valeurs réciproques ay rayon de courbure. I

la courbe d'intrados était un arc de cercle , la force appliquée aux voussoirs, perpendiculairement

DE LA MÉCANIQUE, l re PAIITIE. 1 43

à celte courbe, “devrait avoir une valeur constante dans toute l’étendue «le la voûte. L’équation précédente donne la relation qui existe entre cette force , et la pression qui s’établit entre les voussoirs. On en conclut que, si la courbe d'intrados était un cercle entier, la somme des forces normales appliquées à la voûte dans toute l’étendue de ce cercle, et la pression exercée d’un voussoir à l’autre, seraient entre elles comme la circonférence est au rayon, ou comme 2^ est à i.

228. On a supposé précédemment que les voussoirs pouvaient glisser sur les plans de joint, sans qu’aucune résistance provenant du frottement ou de la cohésion s’opposât à ce mouvement. En admettant l’existence du frottement et de la cohésion, il n’est plus nécessaire, pour que la voûte se maintienne en équilibre , que les forces appliquées perpendiculairement à la courbe d’intrados soient assujetties à la loi indiquée n° 226. Mais , quelles que soient les valeurs de ces forces , la pression normale existant entre les voussoirs, qui pourra alors varier d'un point de la voûte à l’autre, se calculera toujours en chaque point au moyen de la formule T = pF.

Cas ou les forces appliquées à la voûte se réduisent en poids des voussoirs.

• 229. Conservons les dénominations du n° aa 3 , et appelons

Il le poids dé^funité de volume de la matière des voussoirs „

0 l’angle que le joint mn forme avec la verticale , ce \. , d y . . d x

qm donne -^=siu .9 , — — cos.O.

Nops avons ici ?=qo°, F ds=^Hzds ^i-f - J- Les équations du n° aa3 deviendront

d'où

Tsin.8 = — P + Iiy ds.z(^i + ^j,

T cos. d = Q; , ; •. .. • .

t»ng.e =— q + qJ J s.z(,+£), .

Cette dernière équation devient, en différentiant , .

cos

ou ^parce que dd

dd II , / z \

.\9~ q ds.z + 2 pJ?

aQ

n cos. y

équation qui donnera la loi de l’épaisseur des voussoirs, quand la figure de la courbe sera connue , et réciproquement.

Dans le cas dont il s’agit, et en général lorsqu’une voûte est sollicitée seulement par des forces verticales, la composante horizontale de la pression T est constante dans toute l’étendue de la courbe , et égale à la force Q. Cette force est ce qu’on nomme la poussée horizontale de la voûte. ^

a3o. Lorsque la courbe d’intrados est un arc de cercle, p est constant : l’équation du n° précédent donne

aQ

Il cos. fl

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 1^5

Si les joints extrêmes sont horizontaux , la longueur de ces joints est infinie.

Appelant c la longueur du joint placé au sommet de la voûte, où la direction.de ce joint est verticale, on a

Q = 7n(apc-f-c 1 )

pour la valeur de la poussée horizontale.

La pression exercée perpendiculairement au joint /n«

est

ARTICLE II

Principales expériences et observations relatives a V équilibre des 'voûtes.

a3i. Dans des expériences sur de petits modèles de voûtes en berceau, qu’il faisait rompre en chargeant par des poids les parties supérieures, M. Danisy [a) a montré que, lors de la rupture, les parties supérieures s’abaissaient en s’appuyant l’une contre l’autre à la clef, et en écartant les parties inférieures, qui se renversaient en tournant sur les arêtes extérieures de leurs bases. Il a fait remarquer que, dans ces mouvements , les voussoirs ne glissaient point sur les plans de joint, mais s’écartaient les uns des autres en tournant sur lesprêtes contiguës. Des expériences sembla-

(a) Traité de k coupe de* pierres, de Frezier, tome III. Ces expériences ont été faites en 173» , devant l’Académie de Montpellier

IO

j/jG ( LEÇONS SUR INAPPLICATION

blés ont été faites depuis par MM. Gauthey (a) et Rondelet (b).

a 3 a. Rt Boistard, ingénieur en chef des ponts-etehaussées, a publié d’autres expériences faites plus en grand, et avec plus de précision (c). Les voûtes avaient a” 1 , 27 d’ouverture, et étaient construites avec des voussoirs en briques, polis au grès, ayant o ,n , 1 1 d’épaisseur et de hauteur. On a formé avec ces matériaux des voûtes en plein ceintre, en anse de panier surbaissées au tiers et au quart, en arc de cercle dont la flèche était le i , le ^ et le tï 'ouverture, et en plate-

bande. Chacune de ces voûtes a été soumise à trois épreuves principales. Dans la première, les voûtes étaient extradossées sur o™, 11 d’épaisseur, et cette épaisseur n’étant pas syffisante pour, qu elles pussent se maintenir en équilibre quand on abaissait le cintre, un certain nombre de voussoirs de la partie supérieure s’abaissait en portant sur le sommet de ce cintre (Fig. 28). Les deux parties inférieures de la voûte formaient des arcs rampants, et se partageaient en deux portions. La rupture tendait à se faire vers le npilieu de chacun de ces arcs , où les voussoirs ne touchaient point le cintre, et où les joints s’ouvraient à l’extrados; tandis que les joints s’ouvraient à l’intrados aux extrémités supérieure et inférieure de chaque arc.

(à) Dissertation sur les dégradations du Panthéon français, page 1 1 1 . Traité de la construction des ponts, tome I, page 3 i£.

(b) Art de bâtir, tome III, page a 36 et suir.

(c) Recueil de divers Mémoires, publié par Le Sage, tome II, page 170; ou Recueil d’expériences et d’observations, faites par Boistard , page g 5 . Ces expériences ont été faites en 1800.

DE LA MÉCANIQUE, i'*’ PARTIE. il \-J

u33. Dans la seconde éprèuve , les voûtes étaient encore cxtradossées. On embrassait de chaque côté un certain nombre de voussoirs de la partie inférieure pai*une corde qui ‘s’appuyait sur l’extrados, et qui était tendue par un poids. Si la tension de la corde n’était pas suffisante pour maintenir la voûte en équilibre, cette voûte se rompait en s’ouvrant à l’intrados près de la clef et aux naissances, et à l’extrados dans les reins (Fig. 29 ). Si la tension de la corde était suffisante pour l’équilibre, les mêmes joints s’ouvraient de la même manière, par l’effet du tassement; mais l’action des poids tendant à les faire resserrer, ils s’ouvraient et se fermaient alternativement par une sorte de mouvement d’oscillation , dans lequel les parties de la voûte tournaient alternativement dans les deux sens, et en s’appuyant tantôt sur les arêtes supérieures et tantôt sur les arêtes inférieures des voussoirs. Enfin , si la tension de la corde était augmentée au-delà d’une certaine limite, des effets analogues aux premiers se manifestaient en sens contraire (fig. 3o); c’est-à-dire que les parties inférieures de la voûte tendaient à s’abaisser, et les parties supérieures à être soulevées, les joints s’ouvrant à l’extrados près de la clef et aux naissances, et à l’intrados dans les reiris.

a34- Dans la troisième épreuve on construisait des ^ * culées , et l’on remplissait les reins de la voûte en maçonnerie arrasée au niveau du sommet, où l’épaisseur était toujours de o m , t ï. Si l’épaisseur des culées était suffisante, la voûte se maintenait en, équilibre, lorsqu’on abaissait le cintre. Dans le cas contraire, ou si l’on chargeait davantage le sommet de la voûte, cette voûte se rompait en quatre parties ( fig. 3i ), les joints s’ou-

f /j8 LEÇO'VS SUR l’aPPUCATION

vrant à l’intrados à la clef et aux naissances, et à l’extradoS dans les reins.

Il résulte de ces expériences que, dans les voûtes en demi cercle, extradossées d’égale épaisseur ou e*tradossées de niveau , la rupture tend à se faire vers l’angle de 3o° environ , à compter de la naissance du demi cercle Dans les voûtes en anse de panier décrites avec trois arcs de cercle de 6o° chacun , et surbaissées au tiers ou au quart , la rupture tend à se faire vers l’angle de 45° ou de 55°, à compter de la naissance du petit arc. Dans les voûtes en arc de cercle, le point de rupture est à l’intersection de l’arc et du piédroit, à moins que la voûte ne soit extradossée sur une très-petite épaisseur, ou que l’amplitude de l’arc ne surpasse 120 ® environ (a).

a35. Les observations faites par M. Perronet (Æ), lors de la construction de plusieurs grands ponts, indiquent également la nature des mouvements qui ont lieu dans les voûtes. D’après ces observations, les premiers cours de voussoirs peuvent être posés sans l’appui du cintre, et ne commencent à glisser qu’autant que l’inclinaison

(a) On trouve d’autres expériences relatives à l’équilibre de* voûtes , dans l’ouvrage intitulé A dissertation on the construction and properties of arches , par G. Atvrood, 1801. L’auteur considérait les voûtes dans l’hypothèse dn glissement des voussoirs , et ses expériences, faites avec des voussoirs en cuivre bien polis, se rapportent spécialement à cette hypothèse.

(b) Mémoire sur le cintrement et décintrement des ponts. Voyex aùssi le Recueil d’expériences et d’observations, par M. Boistard, et les Études relatives à l’art des constructions, par M. Bruyère , premier recueil.

DE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE. I

des joints sur l’horizon est de 39° à 4 o° (a). Au-delà de cette inclinaison, le cintre porte une portion du poids des voussoirs ; et , quand on emploie un cintre retroussé, il s’abaisse dans les parties inférieures , et se soulèverait au sommet, si l’on ne s’opposait à ce mouvement en plaçant sur ce sommet une charge suffisante.

Ces effets ont été observés à l’arche de St-Edme, à Nogent-sur-Seine , dont la figure est une anse de panier, ayant 29™, 24 d’ouverture et 8 m , 77 de flèche (Fig. 3 a). L’épaisseur au sommet est de i m , 62. Chaque moitié est composée de 47 cours de voussoirs, non compris la clef. Les 20 premiers cours de voussoirs ayant été posés, Jes 5 derniers se séparèrent à raison du tassement du cintre ; le joint s’ouvrit de o m , oa à l’extrados au-dessus du i 5 e cours, et il se fit une disjonction verticale entre la voûte et les assises horizontales des culées , dont l’effet était sensible jusqu’au 7 e cours. En continuant la pose, ces joints se refermèrent: le point de rupture se trouva reporté plus haut, et les joints s’ouvrirent de o"“, 002 à l’extrados, du 26 e au 3 i e cours.

La figure des arches du pont de Neuilly, est une anse de panier surbaissée au quart , ayant 3 q“ d’ouverture. Chaque moitié est composée de 56 cours de voussoirs, non compris la clef. Dans les arches adjacentes au culées, les jo|nts se sont successivement ouverts à l’extrados, en raison de l’avancement de la pose

( a ) Cela suppose que le rapport du frottemeW *à la pression est environ 0,82, et cette observation s’accorde sensiblement avec le résultat rapporté ci-dessus, n" 206.

LEÇONS SUR L’APtLICàTlON

des voussoirs, depuis^ jusqu’à 5 et 7 millimètres , du 1 1* au 36 e cours. Des effets analogues ont été observés dans les autres ponts.

a 36 . D’autres mouvements ont lieu après la pose des clefs : les cintres sont alors chargés sur le sommet , et tendent à se soulever vers les reins. On avait tracé, avant le décintrement , sur les têtes de l’arche de Nogent (Fig. 3 a), trois lignes droites, l’une horizontale placée au sommet de la voûte, du dessus d’un a8 e cours à l’autre; et les deux autres inclinées, depuis les extrémités de la première jusques aux points où le joint du 7 e cours rencontre la tangente verticale aux naissances. La position de ces lignes avait été rapportée à des points fixes. Les derniers joints ouverts à l’extrados, dans la partie supérieure de la voûte, se sont resserrés, et la disjonction verticale qui s’était faite entre les voussoirs et les assises des culées, a presque entièrement disparu. La ligne horizontale a pris une courbure indiquant un tassement vertical, qui allait en diminuant uniformément depuis le milieu de cette ligne jusqu’aux extrémités. Il s’est formé dans la courbure des deux autres lignes un point d’inflexion , à la rencontre du joint entre le 16 e et le 17 e cours; ce qui indiquait, outre le tassement vertical et le resserrement des joints dans les cours supérieurs, jusques et compris le 17 e , un resserrement semblable dans les joints de la partie inférieure , *ui se trouvait reportée vérs les culées. Le point de rupture se trouvait donc placé entre le 16 e et le 17 e cours des voussoirs, et on doit remafffcer que la maçonnerie des reins était achevée lors dlï décintrement.

Au pont de Neuilly, après la pose des clefs, les der-

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 101

niers joints qui s’étaient ouverts à l’extrados se sont refermés; et, de chaque côté, de nouveaux joints se sont ouverts à l’intrados , à partir de la clef. Les joints sont restés ouverts à l’extrados dans les reins; la plus grande ouverture avait lieu entre le a6 e et le 27 e cours devoussoirs, ce qui a indiqué la position du point de rupture 1 . La maçonnerie des reins n’était pas construite lors du décintrement.

237. Les résultats précédents se rapportent aux voûtes en 'berceau : les observations faites sur les dégradations du dôme de St-Pierre de Rome , peuvent fixer les idées sur les mouvements analogues qui ont lieu dans les voûtes sphériques. Il résulte de ces observations que cet édifice tendait à s’écrouler de la manière indiquée fig. 33 ; la maçonnerie, qui offrait un grand nombre de lézardes dans la direction des plans méridiens, s’ouvrant à l’extrados en V, à la naissance de la voûte, et à l’intrados en AD, à la base du tambour sur lequel cette voûte est portée. Dans ce mouvement , les contreforts s’étaient séparés du mur du tambour. Ces dégradations ont été arrêtées au moyen de cercles de fer qui s’opposent à l’agrandissement du diamètre de la partie inférieure du dôme (a).

(a) Les dégradations survenues au dôme de Saint-Pierre de Rome sont décrites en détail dans l'ouvrage de Poleni , intitulé Mernorie istoriche délia grau cupola del tempio Faticano , Padouc, 1748. On y trouve l'extrait de tous les écrits faits jusqu'à cette époque sur la coupole du Vatican , parmi lesquels on doit distinguer le Parère di Ire matematici sopra i danni che si sono trovati nella cupola di San Pielro sut fine delt anno 174a. Dans ce dernier ouvrage, dû aux PP. Lesueur, Jacquier et Boscowich, la question de l’équilibre des voûtes est traitée avec beaucoup d'exactitude et de sagacité. Les dé-

1 5a leçons sur l’application

•a38j Le résultat général des observations et expériences qui vienneut d’être indiquées, est i°que, dans les mouvements des voûtes , les parties qui se séparent ne glissent pas les unes sur les autres, mais s’écartent en tournant sur les arêtes supérieures ou inférieures des voussoirs; a° qu’une voûte, en se rompant, se sépare ordinairement en quatre parties princip|les, les deux parties supérieures s'abaissant , pendant que les deux parties inférieures sont renversées en dehors. On ne doit pas en conclure d’ailleurs qu’une voûté* ne puisse se rompre par l’effet du glissement des voussoirs ; mais seulement que , d’après les proportions qu’on

gradation* du dôme y sont présentées comme étant le résultat des mouvements que nous indiquons ici, et qui seraient produits par ta poussée des parties supérieures. Poleni n’est pas d’accord sur ce point avec ces savants : il n’admet pas que la poussée du dôme ait écarté les parties inférieures, et attribue uniquement les dégradations à des tassements inégaux produits par des défauts de construction. Cependant il propose d’y remédier au moyen de plusieurs ceintures de fer, qui ont été placés sous sa direction par Vanvitelii, en 1748, et auxquelles on en a depuis ajouté d’autres. Ces armatures ne peuvent avoir d’antre, objet que de contribuer à détruire l’action horizontale de la poussée.

Les idées des PP. Lesueur, Jacquier et Boscowieh ont été adoptées par M. Gauthey, dans sa Dissertation sur les dégradations du Panthéon français, page 117. Elles sont contredites par M. Rondelet, Art de bâtir, tome II, page 6g, tome III, page aaa. Mais les notions présentées par cet architecte , qui a toujours souteuu que les voûtes en dôme n’avaient pas de poussée horizontale, ne sont pas conformes à la vérité.

Il paraît que Christophe Wren, habile géomètre, qui a construit, de îûçSà 1710, la cathédrale de Saint-Paul à Londres, avait adopté, sur l’équilibre des voûtes , des notions semblables à celles dont il s'agit ici. Voyez Account of the Family fFren, pages 356 et suivantes; cité par Robison, A System of mechanical philosophy, tom. I, p. 64*.

DE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE. 1 53

leur donne ordinairement , et les valeurs du frottement et de la cohésion , les voûtes se rompent plus faciler ruent par l’écartement que par le glissement des parties. Il arrive quelquefois que les parties inférieures de la voûte cèdent en glissant sur les joints horizontaux placés au-dessous des naissances, en même temps que les parties supérieures s’abaissent en tournant sur

les arêtes des voussoirs.

ARTICLE III

De l’ établissement des voûtes .

23 g. La figure et les dimensions générales d’une voûte sont déterminées parla destination de l’édifice dont cette voûte fait partie. Ainsi l’on regarde ordinairement comme données l’ouverture de la voûte, la courbe d’intrados , la hauteur des piédroits, la distri- *

bution des poids que la voûte doit supporter. On se donne aussi d’avance, d’après l’exemple des constructions analogues à celle que l’on projette , et regardées comme les plus parfaites , l’épaisseur de la voûte au sommet. Cette épaisseur est conservée la même dans toute l’étendue de la voûte, ou bien on l’augmente progressivement , du sommet aux naissances. Quant une voûte est projettée , on doit s’assurer qu’elle demeurera en équilibre lors du déeintrement. On établit l’équi- . libre d’une voûte, soit çn chargeant davantage les parties qui tendent à être soulevées, soit en donnant plus d’épaisseur à ces parties. On doit vérifier également que les pressions exercées dans les diverses parties de la voûte ne sont pas assez considérables pour causer l’écrasement de la pierre ou des autres matériaux dont

I 54 LEÇONS SÜR L’APPLICATION

les voussoirs sont formés. Ces recherches , dans lesquelles consiste proprement l’établissement des voûtes , 11 e comportent que des applications des notions prév sentées dans l’article i cr .

De l'équilibre des voûtes en berceau.

%l\o. Considérons une voûte en berceau, composée de deux parties égales séparées par un joint vertical. L’action des poids supportés par la voûte produit perpendiculairement à ce joint, entre les deux moitiés,, une pression. On pourrait supprimer une des moitiés de la voûte, et la remplacer par une force horizontale égale à la pression dont il s’agit. Si cette force horizontale est assez grande pour opérer une rupture dans la moitié restante , en la repoussant en dehors en totalité ou en partie; ou si elle n'est pas assez grande pour empêcher cette moitié de tomber en dedans; la voûte ne pourra se maintenir en équilibre^ Elle s'y maintiendra dans le cas contraire. La recherche des conditions de cet équilibre comporte divers cas qui doivent être distingués et examinés à part.

AB NM (fig. 34) représentant la moitié d’une voûte en berceau, et mn étant un joint quelconque, dans lequel on suppose que la rupture peut s’effectuer, oa nommera

4, b' les distances O M , ON ; x, y les distances A p, rnp ; x' ,ÿ les distances A q, nq; z la longueur mn du joint;

0 l’angle que ce joint forme avec la verticale ;

G le poids de la portion de voûte wiraNM pour une unité de longueur de cette voûte;

DE I.A MÉCANIQUE, I re PARTIE. 1 55

« la distance AD du point A à la verticale passant par le centre de gravité C de cette portion de voûte;

T la pression normale exercée contre le joint mn , pour l’unité de longueur de la voûte;

/, y, R auront les significations indiquées n°an.

il\\. Supposant d’abord que la rupture de la voûte ne peut s’opérer que par le glissement des voussoirs le long des plans de joint, on voit facilement, d’après le n° a 1 1 , que la force horizontale Q appliquée en NM, nécessaire pour empêcher la portion de voûte tw/ïNM de glisser de haut en bas sur nm, a pour ex-

pression

G(cos.8 — /sin.0) — y z sin. 8+/cos.0

Les valeurs (A) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la pression que les deux moitiés de la voûte exercent l’une contre l’autre à la clef, pression que l’on désigne ordinairement sous le nom de poussée horizontale de la voûte.

On remarquera ensuite que la force horizontale Q , appliquée en MN, qui serait ÿssez grande pour repousser la portion de voûte m«NM, en la faisant glisser dans le sens mn, aurait pour expression

Q G(cos.0-f-/sin.8)-t-yz ...

sin. 8— /cos. 6 '

Les valeurs (A, ) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, on sera assuré que la voûte est en équilibre, si toutes ees valeurs sont plus

» 56 leçons sur l’application

grandes que la poussée horizontale, déterminée comme on vient de le dire. Dans le cas contraire , l’équilibre ne pourrait subsister.

Ainsi l’équilibre de la voûte exige que le maximum de (A) soit plus petit que le minimum de (A,).

242 - D’après les formes et les proportions que les voûtes offrent le plus communément, le joint de rupture qui donnera la valeur maximum de l’expression (A) sera placé dans les reins de la voûte. Le joint qui donne la valeur minimum de l’expression (A,) est le plus souvent le premier joint horizontal placé au-dessous des naissances. Alors la voûte tend à rompre de la manière indiquée fig. 35, la partie supérieure s’abaissant , en même temps que les parties inférieures sont, de chaque côté, repoussées en dehors.

Il peut arriver aussi que le joint qui donne le maximum de l’expression (A) soit placé anx naissances, ou près des naissances de la voûte, tandis que le joint qui donne le minimum de l’expression (A,) est placé près du sommet. Alors la voûte tendrait à rompre de la manière indiquée fig. 36, la partie supérieure s’élevant, en même temps que les parties inférieures glissent en dedans de chaque côté.

343. En admettant présentement que la rupture de la voûte ne peut s’opérer que par l’écartement des voussoirs, tournant sur les arêtes supérieures ou inférieures des joints, on verra, d’après le n° ai3, que la force horizontale Q ( fig. 34), appliquée au point N, nécessaire pour empêcher la portion de voûte mnN M de tourner de haut en bas sur l’arête m , a pour expression

DE'TA MÉCANIQUE, I r,r PARTIE. I 5^

Les valeurs (B) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, la plus grande de ceS valeurs devra être prise pour la poussée horizontale de la voûte. „

On remarquera ensuite que la force horizontale Q, appliquée en N, qui serait assez grande pour faire tourner la portion de voûte /nnNM de bas en haut sur l’arête n , aurait pour expression

Q= c( vy -- (B.) , '■ ,

Les valeurs (B,) étant calculées pour tous les joints de la demi -voûte, on sera assuré de l’existence de l’équilibre, si toutes ces valeurs sont plus grandes que la poussée horizontale. Daus le cas contraire, l’équilibre n’aurait pas lieu. * $ '

L’équilibre de la voûte exige donc que le maximum de (B) soit plus petit que le minimum de (B,).

Ce que l’on vient de dire suppose d’ailleurs le maxi- 'de (B) donné par un joint de rupture voisin du sommet, et le minimum de (B,) donné par un joint de rupture voisin des naissances. Alors la voûte tend à se rompre de la manière indiquée fig. 37 ,’ les parties supérieures s’abaissant en s’appuyant l’une contre l’autre par l’arête supérieure du joint placé au sommet, tandis que les parties inférieures, renversées en-dehors, tour* ncnt sur les arêtes extérieures de leurs bases. Les parties supérieures portent alors contre les parties inférieures par l’arête du joint de rupture placée à l’in* trados. ■ >

a44- h> a voûte , comme on l’a vu n° 233 , peut également se rompre de la manière. ïndiquéfe fig. 38, les

1 58 leçons sur l’application

parties inférieures tombant en dedans en tournant sur les prêtes inférieures de leurs bases, tandis que les parties supérieures sont soulevées en portant l’une contre l’autre par l’arête inférieure du joint placé au soirtmet. Les parties supérieures portent alors contre les parties inférieures par l’arête d’extrados du joint de rupture. Pour vérifier l’équilibre relatif à ce dernier genre de rupture, on doit remarquer que la force Q, appliquée en M ( fig. 34 ), qui empêcherait la portion de voûte mnNMde tourner de bas en haut sur l’arête m , a pour expression

Le maximum de cette expression doit etre pris pour la poussée horizontale de la voûte. ,

On remarquera ensuite que la valeur nécessaire à la force Q appliquée en M, pour soulever la portion de voûte mnNM, en la faisant tourner sur l’arête n , est

L’équilibre exige donc ici que le maximum de ( b ) soit plus petit que le minimum de ( b t ).

a45- On a supposé dans le n° a4i , que la rupture de la voûte devait s’opérer seulement par glissement, et dans les n°* x[\Z et a44 que cette rupture devait s’opérer seulement par écartement. La rupture peut aussi avoir lieu en partie par glissement, et en partie par écartement. Le cas le plus ordinaire est celui où la voûte tend à se romprede la manière indiquée n° i(\Z, fig. Zj ; et il arrive aussi quelquefois que les parties supérieures

DE LA MÉCANIQUE, I™ PARTIE. 1 5ç)

s’abaissant comme le représente cette figure , les parties inférieures sont repoussées de la manière indiquée fig. 35 . Il est évident que, pour prévenir ce mouvement, le maximum de l’expression (B) doit être rendu moindre que le minimum de l’expression (Ai). Les autres cas de rupture se présenteront très-rarement , et il est inutile de vérifier l’équilibre qui leur est relatif pour la plupart des voûtes que l’on peut avoir à construire.

On aura d’ailleurs égard à toutes les combinaisons possibles, en remarquant que l’équilibre exige i°que les expressions (A) et (B) soient, dans toute l’étendue de la voûte, plus petites que (A,) et (B,); a° que les expressions (A) et (b) soient , dans toute l’étendue de la voûte, plus petites que (A,) et (£,).

Si l’on veut négliger les résistances provenant du frottement et de la cohésion, on supposera dans les formules précédentes^, y, égaux à zéro. Dans le cas contraire, on évaluera ces quantités d’après les résultats rapportés